UKSW                                                                                                ALGEBRA  LINIOWA 
Matematyka, Informatyka i ekonometria                                                Kazimierz Jezuita 
 

 

 

ZADANIA   DOMOWE  -   Seria 3 

1.  Metoda operacji elementarnych na wierszach, twierdzenie Kroneckera-Capellego, rząd macierzy.                                                                                             

Określić ilość rozwiązań układu równań. Podać liczbę parametrów opisujących zbiór rozwiązań. 
Czy zbiór rozwiązań stanowi podprzestrzeń liniową?  

                      a)   

2

4

3

2

1

3

2

3

2

3

1

























z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

                             b)          

2

3

2

2

3

7

2

3





















t

x

t

z

y

x

z

y

x

 

  2. Macierz odwrotna, wzór Cramera. 

       Rozwiązać układ równań metodą macierzy odwrotnej oraz ze wzoru Cramera..  

                 a)          

3

2

2

1

2

3

5



















z

y

x

z

y

x

z

y

x

                                b)       

2

2

1

4





























z

y

x

t

y

x

t

z

x

t

z

y

                                                                         

  3. Metoda operacji elementarnych na wierszach, twierdzenie Kroneckera-Capellego, rząd macierzy .  

Dla jakich wartości parametrów a, b układ równań posiada jedno rozwiązanie? Określić liczbę 
rozwiązań w pozostałych przypadkach.  

                   a)     

1

2

3

9

8

5

2

3





















az

y

x

z

y

x

b

z

y

x

                          b)       

a

z

ay

ax

az

y

x

a

z

y

x





















3

3

5

3

2

4

 

  4.  Obraz, jądro oraz macierz przekształcenia liniowego, układ równań liniowych.                                                                                                                                                                      

W powyższych zadaniach 1,2,3 zapisać układ równań w postaci macierzowej 

b

Ax



. Traktując 

macierz 

A

 jako macierz przekształcenia liniowego f znaleźć jądro i obraz tego przekształcenia 

(podać ich wymiary ). W oparciu o te właściwości przekształcenia f określić ilość rozwiązań 
układu równań. 

5.  Liniowa niezależność wektorów, macierz przekształcenia liniowego a układ równań liniowych.                                                                                                                                                                  

W powyższych zadaniach 1,2,3 zapisać układ równań w postaci macierzowej 

b

Ax



. Badając 

liniową niezależność wektorów kolumnowych macierzy 

A

 oraz wektora 

b

 określić ilość 

rozwiązań układu równań. Sprawdzić czy powłoka liniowa rozpięta przez wektory kolumnowe 
macierzy 

A

stanowi obraz przekształcenia liniowego f ? 

  6.  Wielomiany, układ równań liniowych.                                                                                                                                                                   

Znaleźć wielomian 

]

[

3





R

w

 , dla którego  

2

)

1

(





w

 ,  

4

)

2

(





w

,  

2

)

3

(





w

, 

10

)

4

(



w

. 

7.   Wielomiany, przestrzeń liniowa, baza..                                                                                                                                                                                                             

Dobrać wielomian 

)

(

5

x

w

 tak, aby zbiór wielomianów  





5

4

3

2

1

,

,

,

,

w

w

w

w

w

, gdzie  

       

3

4

1

)

(

x

x

x

w





 , 

x

x

x

w

2

)

(

4

2





,  

2

4

3

3

)

(

x

x

x

w





 ,  

1

)

(

4

4





x

x

w

 

tworzył bazę w przestrzeni liniowej 

]

[

4



R

.  

8.  Podprzestrzeni liniowa, baza, układ równań liniowych jednorodnych.                                                                                                                                                                     

Zbiór wektorów 

4

R

V



, których współrzędne ( w bazie zero-jedynkowej ) spełniają warunki:                    

                     

0

2

3

0

4

2

3

4

3

2

1

4

3

2

1

















x

x

x

x

x

x

x

x

 

 tworzy podprzestrzeń liniową. Wybrać bazę w tej podprzestrzeni.