UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita

ZADANIA DOMOWE - Seria 2

1. Grupa, element neutralny , element odwrotny.

Wykazać, że

)

,

(



Z

, gdzie

2







b

a

b

a 

jest grupą. Wyznaczyć postać elementu neutralnego

e

oraz elementu odwrotnego

1



a

.

2. Grupa, podgrupa.

Znaleźć najmniejszą podgrupę grupy

)

,

(



Z

zawierającą następujące liczby:

a)





6

,

4



b)

 

5

,

3

3. Grupa, homomorfizm, izomorfizm.

Wykazać, że przekształcenie

Z

Z

f



:

postaci

m

m

f

5

)

(



jest homomorfizmem

grupy

)

,

(



Z

. Czy jest ono izomorfizmem?

4. Grupa, podgrupa, twierdzenie Lagrange’a, grupa abelowa.

Wykazać na trzy różne sposoby, że zbiór A={e,a,b,c,d} z działaniem opisanym w tabelce

e

a

b

c

d

e

e

a

b

c

d

a

a

e

c

d

b

b

b

d

a

e

c

c

c

b

d

a

e

d

d

c

e

b

a

nie jest grupą.

a) sprawdzając aksjomaty grupy, b) korzystając z twierdzenia Lagrange’a,
c) korzystając z faktu, że każda grupa posiadająca nie więcej niż 5 elementów jest abelowa.

5. Grupa przekształceń, podgrupa, grupa abelowa.

Opisać grupę przekształceń symetrii trójkąta równobocznego podając tabelkę mnożenia oraz
wyznaczyć jej podgrupy. Czy jest to grupa abelowa?

6. Ciało, równanie kwadratowe.

W ciele

)

2

(

Q

rozwiązać równanie

0

2

2

3

)

2

2

4

(

2











x

x

7. Definicja ciała. .

Czy zbiór liczb





)

5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

0



A

z dwoma działaniami: dodawaniem i mnożeniem modulo 6

jest ciałem?

8. Definicja przestrzeni liniowej.

Czy zbiór

2

R

z dodawaniem

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

1

2

1

2

2

1

1

y

y

x

x

y

x

y

x









i mnożeniem przez liczbę

)

,

(

)

,

(

y

x

y

x







jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.

9. Podprzestrzeń liniowa.

Czy zbiór

3

R

S



taki, że































e

dowo

R

s

t

ustalone

R

u

v

a

gdzie

u

s

v

t

a

x

R

x

S

ln

,

,

,

,

:

3

3

jest podprzestrzenią liniową?

10. Przekształcenie liniowe.

Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi?

a)

R

R

f



2

:

,





2

1

2

1

3

2

)

,

(

x

x

x

x

f





b)

R

R

f



2

:

,





2

2

1

2

1

2

3

)

,

(

x

x

x

x

f





c)

2

:

R

R

f



,

)

2

,

(

)

(

2

x

x

x

f



d)

2

3

:

R

R

f



,