1.Układ termodynamiczny-obiekt wyodrębniony do 
rozważań z otaczającego środowiska. obiekty znajdujące się 
na zewnątrz układu nazywamy otoczeniem. Granicę między 
układem a otoczeniem nazywamy osłoną lub ścianką.
a)zamknięty-nie wymienia masy z otoczeniem, może 
wymieniać energię
b)otwarty-może wymieniać masę i energię z otoczeniem
c)izolowany-całkowicie niezależny od wpływu otoczenia(nie 
wymienia ani energii ani masy)
osłony:
a)nieprzepuszczalna-nie dopuszcza do wymiany masy między 
układem a otoczeniem
b)pólprzepuszczalna-pozwala na przepływ niektórych 
substancji i jednocześnie nie dopuszcza do wymiany innych
c)diatermiczna-pozwala na zmianę stanu układu zamkniętego 
przez wymianę energii z otoczeniem na sposób ciepła
d)adiabatyczna-pozwala na zmianę układu zamkniętego 
jedynie przez wykonanie na nim pracy
Parametry stanu:
-Objętość właściwa-

objętość

 zajmowana w dowolnych 

warunkach przez substancję o 

masie

 1 

kg

, wyrażona w 

metrach sześciennych

 na 

kilogram

. Jest odwrotnością 

gęstości

.Objętość właściwa odnosi się zwykle do gazów i jest 

jedną z 

funkcji stanu

. Znając jej wartość i wartość dowolnego 

innego 

parametru stanu

, można wyznaczyć pozostałe funkcje i

parametry stanu.
-Gęstość-

masa

 jednostki 

objętości

, dla substancji 

jednorodnych określana jako stosunek masy m do objętości V:

 Gęstość jest cechą charakterystyczną substancji, a 

w określonych 

warunkach standardowych

 stanowi jedną z 

najważniejszych cech substancji – służy do obliczania masy i 
ciężaru określonej objętości substancji.
-Ciężar właściwy-γ, stosunek 

ciężaru

 ciała do jego 

objętości

:

 W odróżnieniu od gęstości, ciężar właściwy zależy 

też od 

siły ciążenia

, czyli w warunkach nieważkości wynosi 

zero, gdy gęstość pozostaje taka sama (podobnie jak masa). 

γ

 

stanowi ciężar odniesiony do jednostki objętości płynu:

γ

 = ρ 

g. Jednostką ciężaru właściwego jest  1kg / (m

2

 s

2 

), co wynika

z poniższego zapisu:(kg/m

3

 )(m/s

2

) = (N m)(g m

3

 s

2

) = (N m 

s

2

)/(m m

3 

s

2

) = (N/m

2

)(1/m) = Pa/m

-Temperatura- jest miarą stanu cieplnego danego ciała. 
Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów 

równowagi termodynamicznej

, z termodynamicznego bowiem

punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną 
własność dwóch układów pozostających w równowadze ze 
sobą. Temperatura jest związana ze średnią 

energią kinetyczną

ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany 

układ

 i 

jest miarą tej energii.
-Ciśnienie-to 

wielkość skalarna

 określona jako wartość 

siły

 

działającej prostopadle do powierzchni podzielona przez 
powierzchnię na jaką ona działa, co przedstawia zależność:

 W przypadku 

gazów

 w stanie ustalonym w 

spoczynku, ciśnienie jakie gaz wywiera na ścianki naczynia 
jest funkcją 

objętości

, 

masy

 i 

temperatury

 i dlatego w 

termodynamice

 traktowane jest jako 

funkcja stanu

.

-Strumień objętościowy-(objętościowe natężenie przepływu) 
- iloczyn 

prędkości

 (v) czynnika przepływającego przez 

przewód rurowy (rurę) i powierzchni przekroju S tego 
przewodu.Q = vS
-------------------------------------------------------------
2. Gaz doskonały definiować można zarówno na poziomie 
mikroskopowym (przez podanie właściwości elementów, z 
których jest zbudowany), jak i na poziomie makroskopowym 
(poprzez podanie jego właściwości jako całości). Równanie 
stanu - równanie Clapeyrona
 Pełna postać równania stanu gazu doskonałego jest 
następująca:p V = n R T i nazywane jest ono równaniem 
Clapeyrona. Przy czym p oznacza ciśnienie gazu, V - 
objetość, T - temperaturę, n - liczbę moli gazu a R jest tzw. 
stałą gazową równą R = 8, 314 J/mol·K.  Nic nie przeszkodzi, 
używając związku R = N

A

 k zapisać równania następująco:p 

V = N k T gdzie k = R / N

A

 jest stałą Boltzmanna.Na uwagę 

zasługuje fakt, że wymiarem prawej (i lewej) strony jest 
wymiar energii.  

4.roztwory gazów (udziały masowe, molowe objętościowe) 
Wielkości zastępcze dla roztworów gazowych-Oblicza się w 
ten sposób, że mnoży się wielkości indywidualne przez 
udziały i sumuje się tak obliczone iloczyny.
a)udziały gramowe – jeżeli jednostka danej wielkości zawiera 

w mianowniku kg np. R
b)udziały molowe (objętościowe) jeżeli jednostka danej 
wielkości zawiera w mianowniku kmol np. M [kg/kmol]
c)objętościowe - jeżeli m3 lub mm3

Roztwór gazowy jest to 

roztwór

 w którym wszystkie 

składniki są 

gazami

. Roztwory gazowe mieszają się bez 

ograniczeń ilościowych. Zjawisko to wynika z tego, że 
odległości między 

cząsteczkami

 gazów są duże a 

oddziaływania międzycząsteczkowe

 bardzo słabe. Gazy w 

temperaturze i ciśnieniu większym od ciśnienia i temperatury 

punktu krytycznego

, mają wiele właściwości cieczy i mogą w 

nich rozpuszczać się 

ciecze

 i 

ciała stałe

.

5.   Ciepło właściwe

 

 

Całkowite   ciepło   przejęte   przez   ciało   o   masie   m   podczas
podgrzewania od T

1

 do T

2

 jest równe ciepłu dostarczonemu z

zewnątrz i ciepłu tarcia (ciepło wewnątrz ciał) Q

c 1-2  

=Q

1-2

+Q

f

przy   czym

 

)

t

t

(

CI

m

Q

1

2

2

t

1

t

2

1

c

−

⋅

=

−

przekształcając   wg.

)

t

t

(

m

Q

CI

CI

1

2

2

1

c

2

t

1

t

2

t

1

t

−

=

⇒

−

   

K

kg

J

⋅

)

dt

dQ

(

m

1

C

c

=

α

  Średnie ciepło

właściwe  

2

t

1

t

CI

  jest   to   ilość   ciepła   jaką   należy   dostarczyć

jednej jednostce ilości substancji, aby zmienić temperaturę o
1K w całym rozpatrywanym okresie temp. Zależy od:rodzaju
ciała ,temperatury t

1

  t

2

,warunków ogrzewania ciał. Stosunek

C

p

/C

v

=

χ

  Jeżeli mam ciało o masie m i podgrzewam od t do

∆

t+t   to   nastąpi   przyrost   ciepła  

∆

Q

c

 

)

t

(

m

Q

CI

c

t

t

t

∆

⋅

∆

=

∆

+

dt

dQ

t

m

Q

)

t

(

C

c

m

1

c

lim

0

t

⋅

=

∆

⋅

∆

=

→

∆

2

t

1

t

CI

-rośnie wraz ze wzrostem t i jest wysokością prostokąta

o  szerokości  (t

2

-t

1

).  F pole  figury nieregularnej  równe  polu

prostokąta   o   wysokości.   Wielkości   ciepła   właściwego   C   i
szerokości t

2

-t

1

.

 

Pole figury F=(t

2

-t

1

)*c

_______________________________________________

6.

pierwsza   zasada   termodynamiki,   pojęcie   entalpii,   praca

 

 

absolutna i techniczna

I zasada termodynamiki
W   układzie   odosobnionym   tzn.   osłoniętym   osłoną   adiabatyczną,   ilość
energii   wewnętrznej   układ   jest   stała   E

d

=

∆

E

u

+E

w

  [J]  

⇒

  równ   bilansu

energetycznego   można   traktować   jako   I   zasadę   termodynamiki   dot.
Układu zamkniętego. Energia doprowadzona do układu wyodrębnionego
osłoną   adiabatyczną   pozostaje   częściowo   w   układzie   a   część   jest
wyprowadzona z układu. Interpretacja graficzna – wykr. Sankeya

Energia   układu   jest   sumą   E

p

,   E

k

,   E

w

,   E

j

,   E

ch

;   E

u

=E

p

+E

k

+E

ch

+E

j

+E

w

;  

E

w

-zależy  od  temp,   stanu   skupienia  gazów  rzeczywistych.   Jeżeli  układ

działa w sposób ustalony (jego energi nie zmienia się w czasie lub zmienia
się w sposób periodyczny i po skończonej liczbie cykli wraca do wart.

Początkowych)   to   bilans   energetyczny   przyjmuje   postać  

w

d

E

E





=

ponieważ  

0

>

w

E

  to   do   czynnego   silnika  

⇒

>

0

d

E

że  jest   rzeczą

niemożliwą   skonstruowanie   perpetum   mobile   pierwszego   rodzaju
(silnika   pracującego   bez   zasilania   energią   z   zewnątrz).

0

   

,

0

  

,

>

=

>

=

L

E

E

E

E

w

d

w

d

idem

E

E

u

u

=

=

∆

  

,

0

pojęcie entalpii
To wielkość termodynamiczna określająca stan termodynamiczny układu i
równa   jest   sumie   energii   wewnętrznej   U   układu   oraz   iloczynowi   jego
objętości i ciśnienia. Zmiana entalpii przy stałym ciśnieniu jest miarą ilości
ciepła wymienionego przez układ z otoczeniem. I – entalpia, U – energia
wewnętrzna,   p   –   ciśnienie   statyczne   bezwzgl.,   V   –   objętość   całkowita
ciała.     I = U + p V  (funkcja Gipsa). Entalpia jest funkcją tych samych
parametrów stanu co energia wewnętrzna. Entalpia dla gazów doskonałych
i półdoskonałych: i=u+pV=C

v

T+RT=T(R+C

v

)=C

p

T, C

p

-C

v

=R

Entalpia – sposób obliczania

a)

ciała stałe i ciecze i=u+pv, gdzie v - obj. właść., p - bezwzględne
ciśnienie statyczne, u – właściwa energia wewnętrzna

b)

gaz   doskonały   (funkcja   tylko   temp,   nie   zależy   od   ciśnienia   i
objętości) i=c

p

T+u

o

, gdzie c

p

 – ciepło wł. przy stałym ciśnieniu, T

– temp, u

o

 – energia otoczenia

c)

gaz półdoskonały (funkcja tylko temp)

o

T

p

u

T

I

c

i

+

=

0

; gdzie 

T

0

p

I

c

- średnie ciepło właściwe od 0 doT, T – temp

d)

para nasycona mokra i=i`+x(i``-i`), gdzie i – entalpia pary nasyc.
mokrej, i` - entalpia cieczy, i`` - ilość pary suchej nasyconej, x –
stopień wilgotności

e)

para przegrzana i=i``q

p

, gdzie q

p

 – ciepło przegrzania pary

f)

para mokra nasycona i=q+r+pr, gdzie r – entalpia parowani

praca absolutna bezwzględna
Jest   to   praca   wykonana   przez   czynnik   termodynamiczny   wtedy   gdy
ciśnienie otoczenia jest równe zero. Pracę tę można obliczyć rozpatrując
układ cylinder – tłok

Przy  

∞

  małym  dx czynnik  wykonuje  pracę  dl=kdx,  gdzie  k  – siła,  dx

droga. Przy pracy bez tarcia siłę k równoważy ciśnienie działające na tłok.
Stąd: k=pA, gdzie p – ciśnienie, A- przekrój, dl=p A dx 

⇒

 dl=p dv

p –  bezwzględne ciśnienie statyczne wewn. cylindra
dv – przyrost objętości w cylindrze

Praca bezwzględna 

∫

=

−

2

1

2

1

pdv

dl

; interpr. graficzna (założenie – znam

zależność p od v)

L

1-2

  – zależy od drogi przemiany a  nie  tylko  od stanu początkowego  i

końcowego
L

1-2

 – dotyczy przemian zachodzących bez strat na rzecz tarcia (wtedy dl

<pdv)
Zastosowanie: w układach otwartych i zamkniętych, pseudoodwr. dl = p
dv - dl

t 

= p dv - dQ

f

  stąd dl < p dv

dl

t

 – praca na rzecz tarcia, dQ

f

 – ciepło na rzecz tarcia

praca techniczna
Pracę fizyczną rozpatrujemy wg  idealnej maszyny przepływowej tzn. 
-

nie   występuje   tarcie   poruszających   się   względem   siebie
powierzchni

-

zawory nie stawiają oporu

-

w wewnętrznym zwrotnym położeniu tłok dotyka cylindra

Praca techniczna element. dL

t

 = -Vdp, L

t

>0 gdy dp<0

Praca

 

skończona

 

L

t

 

1-2

 

=

(

pdV − pdV −Vdp)=

¿

p

1

V

1

+

∫

1

2

pdV − p

2

V

2

=

∫

1

2

pdV −d ( pV )=

∫

1

2

¿

∫

−

2

1

Vdp

dL

t

>0 gdy dp<0;                dL

t

<0 gdy dp>0

7.

przemiany termodynamiczne gazów doskonałych

 

 

Wyróżniamy następujące przemiany gazowe:
przemiana izotermiczna (prawo Boyle`a i Mariotte`a)

T =const

pV =const

p

1

V

1

=

p

2

V

2

pV =nRT

Praca bezwzględna

pdV =RT

∫

1

2

dV

V

=

RT ln

V

2

V

1

=

¿

p

1

V

1

ln

V

2

V

1

L

1−2

=

∫

1

2

¿

Praca techniczna

L

t

=

L

1−2

=

Q

1−2

przemiana izobaryczna (prawo Gay-Lussaca)

p=const

dx   –   odległość
przesunięcia
tłoka

Jeżeli:
dv>0 to dl>0
dv<0 to dl<0

L

t

=L

n

+L

1-2

+L

w

= p

1

v

1

+L

1-2

 -p

2

v

2

L

n

 – praca napełniania

L

1-2

 – praca przemiany zamknietej

L

w

 – praca wytłaczania

zał. p

1

>p

2

a)

w.z.p.   –   przemiana
napełniania

b)

z.z.p. – ilość czynnika
= const

V

T

=

const

V

1

T

1

=

V

2

T

2

Praca bezwzględna

pdV =

¿

∆ Vp

L

1−2

=

∫

1

2

¿

Praca techniczna

L

t

=

p

(

V

1

−

V

2

)

+

p

(

V

2

−

V

1

)

=

0

Ciepło bezwzględne

C

p

dT =

¿

m ∙ ∆T ∙ C

p

Q

1−2

=

∫

1

2

¿

przemiana izochoryczna

V =const

p

T

=

const

p

1

T

1

=

p

2

T

2

Praca bezwzględna

L

1−2

=

0

Praca techniczna

Vdp=

¿

V

(

p

1

−

p

2

)

L

t

=

∫

1

2

¿

Ciepło bezwzględne

Q

1−2

=

∆U =m∙ ∆ T ∙ C

p

przemiana adiabatyczna

p V

k

=

const

k =

C

p

C

v

T

1

T

2

=

(

p

1

p

2

)

k −1

k

T

2

T

1

=

(

V

2

V

1

)

k−1

p

1

p

2

=

(

V

2

V

1

)

k

Praca bezwzględna

L

1−2 ad

=

Q

1−2

−

∆ U =m∙ C

v

(

T

1

−

T

2

)

Praca techniczna

L

t

=

H

d

−

H

w

=

m∙ C

p

(

T

1

−

T

2

)

Ciepło bezwzględne

Q

1−2

=

0

przemiana politropowa

p V

ϑ

=

const

ϑ =

C

p

C

v

            

T

1

T

2

=

(

p

1

p

2

)

ϑ −1

ϑ

T

2

T

1

=

(

V

2

V

1

)

ϑ−1

p

1

p

2

=

(

V

2

V

1

)

ϑ

Praca bezwzględna

L

1−2

=

p

1

V

1

k −1

(

1−

T

2

T

1

)

Praca techniczna

L

t

=

H

d

−

H

w

=

m∙ C

p

(

T

1

−

T

2

)

L

t

=

ν ∙ L

1−2

Ciepło bezwzględne

Q

1−2

=

m∙ c (T

2

−

T

1

)

c=c

v

∙

ϑ−k
ϑ −1

8.

II zasada termodynamiki, entropia, zasada wzrostu entropii

 

 

II zasada termodynamiki
sformułowanie
a)

Plancka. Jest rzeczą niemożliwą skonstr. takiego silnika (maszyny
działającej   periodycznie),   którego   działanie   polegało   by   na
podnoszeniu   ciężarów   i   równoczesnym   ochładzaniu   jednego
źródła ciepła. Silnik taki nosi nazwę perpetum mobile II rodzaju.

b)

Clausjusa ciepło  nie może przejść samorzutnie od ciała o temp
niższej do ciała o temp wyższej. Aby spowodować taki przepływ
ciepła   musimy   zastosować   lewo   bieżną   maszynę   cieplną   i
wkładać do niej energię z zewnątrz, tzn. wywoływać zmiany w
innych ciałach.

•

Samorzutne przejście – zjawisko któremu nie towarzyszą żadne
zmiany w otoczeniu (otoczenie nie oddziałuje na układ)

c)

Schmidta – nie można całkowicie odwrócić przemiany, w której
występuje tarcie. Pracę w całości można zmienić na ciepło przez
tarcie, jednak z tego ciepła nie można w całości odzyskać pracy.

d)

Ostwalda   –   perpetum   mobile   II   rodzaju   jest   niemożliwe   –
DOWÓD

czyli cykl pracy silnika stąd 

∆

S

PM II R

=0 bo entropia jest wielkością stanu a

stan w punkcie 1-2 jest sobie równy to 

∆

=0;  

π

=

∆

S

PM II R

+S

ŹR

=0 - 

ŹR

T

Q

;

Q – ciepło tarcia

π

 > 0 sprzeczne z prawem wzrostu entropii

e)

entropia   układu   zamkniętego     i   izolowanego   nie   może   maleć
podczas   dowolnej   przemiany   i   wzrastać   przy   przemianach
nieodwracalnych.

Entropia
Jest   to   funkcja   stanu   termodynamicznego,   której   zmiana   równa   się

ilorazowi   dostarczonego   ciepłą   i   temperatury  

T

dq

dS

=

;   S   –   entropia

całkowita

T

d q

ds

=

;  s  –   entropia  właściwa   w  odniesieniu  do   1kg  czynnika;  dla

źródła  

∆

S   =  -  

źr

źr

T

Q

źródło   oddaje  energię   więc   przyrost  entropii  jest

ujemny.   Entropia   mówi   nam   o   kierunku   przemian   zachodzących   w

przyrodzie.

 

∮

dS =

∮

dQ

T

=

0

S

2

−

S

1

=

∫

1

2

dQ

T

  -   nie   zależy   od   stanów

pośrednich, 

S (1)=

∫

0

1

dQ

T

zasada wzrostu entropii
- we wszystkich procesach odwracalnych suma  entropii wszystkich ciał
biorących udział w zjawisku jest stała
- suma wszystkich przyrostów jest równa zero (proces odwracalny)
- w procesach nieodwracalnych suma wszystkich ciał biorących udział w
zjawisku jest różna
- suma  wszystkich przyrostów jest  różna od zera  dla  ciał w procesach
nieodwracalnych
Wyróżniamy dwa przypadki:
I przemiana odwracalna 
a)

T

cz

 = T

źr

 ; b) brak tarcia dQ

t

 = 0

przyrost entropii układu odosobnionego  

∆

s =  

π

, natomiast elementarny

przyrost ozn. d

π

 = ds.

u

+ds

ot

sdm

T

dQ

ds

cz

u

+

=

- przyrost entropii układu

zb

źr

ot

ds

ds

d s

+

=

- przyrost entropii otoczenia















−

=

π

⇒

−

−

+

=

π

źr

cz

źr

cz

T

1

T

1

d Q

d

sdm

T

dQ

sdm

dT

dQ

d

0

d

T

T

cz

źr

=

π

⇒

=

  Wniosek:  W   układzie   odosobnionym   sumą

przyrostów   entropii   wszystkich   ciał   uczestniczących   w   zjawisku
odwracalnym jest = 0. Warunek ten jest spełniony nawet w najmniejszej
części zjawiska.
II przemiana nieodwracalna tzn. t

źr

≠

t

cz

9.

para nasycona i przegrzana obj. Właściwa, gęstośc pary

 

 

Para nasycona, 

para

 będąca w równowadze 

termodynamicznej z fazą skondensowaną. Para 
nasycona pozbawiona kropel 

cieczy

 nosi nazwę pary 

nasyconej suchej.

Para przegrzana, para nienasycona, 

para

 w temperaturze 

wyższej aniżeli temperatura 

pary nasyconej

. Para przegrzana 

nie jest w stanie równowagi termodynamicznej z fazą 
skondensowaną.

Temperatura i ciśnienie pary przegrzanej są wzajemnie 
niezależne. Podwyższanie temperatury pary przegrzanej 
zwiększa sprawność energetyczną obiegu siłowni parowej.

Objętość właściwa – 

objętość

 zajmowana w dowolnych warunkach przez

substancję o 

masie

 1 

kg

, wyrażona w 

metrach sześciennych

 na 

kilogram

.

W termodynamice nie jest istotna wartość całkowitej entalpii, lecz jej 
przyrost lub spadek w danym procesie. Przyrost entalpii występuje w 

sprężarkach

, natomiast spadek — w 

turbinach cieplnych

.

 

12.Elementy wymiany ciepla:
przewodzenie ciepła – przenoszenie ciepła w obrębie danego
ciała od jednych drobin do drugich lub przez dyfuzję
Prawo Fouriera- gęstość przewodzonego 

strumienia ciepła

 jest

wprost proporcjonalna do 

gradientu

 

temperatury

.

(

)

2

1

T

T

A

s

t

Q

Q

−

=

=

•

λ

•

Q

-   strumień   ciepła   [W];   T

1

,T

2

-   temperatury   [K];  

Q   -   ilość   przewodzonego   ciepła   [J];   t-   czas[s];    
λ-   współczynnik   przewodzenia   ciepła   [w/(m*K)];   s-   droga
przewodzenia   ciepła   [m];   A-   powierzchnia   przewodząca
ciepło [m

2

]

konwekcja  – (unoszenie ciepła) ciepło płynie z cząsteczkami
płynu   od   ściany   przegrody   do   rdzenia   strumienia   lub
odwrotnie
promieniowanie  –   ciepło   przenosi   się   od   jednego   ciała   do
drugiego w postaci energii promienistej (za pośrednictwem fal
elektromagnetycznych)
Prawo NEWTONA- (równanie wnikania ciepła)

(

)

2

1

T

T

A

Q

−

=

•

α

T

1

-T 

2

=ΔT – różnica temperatur, 

α

 - współczynnik wnikania 

ciepła [W/(m 

2

*K), A – powierzchnia ścianki lub 

powierzchnia międzyfazowa [m

2

]

Prawo STEFANA-BALTZMANNA

 

 -   opisuje gęstość 

strumienia ciepła wypromieniowanego przez ciało doskonale 
czarne. 





























−













=

4

2

4

1

100

100

T

T

C

q

C=5,67 [W/(m

2

*K

4

) – stała promieniowania ciała doskonale 

czarnego; T

1

, T

2

 – temperatury bezwzględne odpowiednio 

powierzchni promieniującej i powierzchni otaczających
_______________________________________
13.Powietrze wilgotne

wilgotność powietrza - zawartość pary wodnej w powietrzu.

∫

=

gyzdF

N

ρ

η

wilgotność bezwzględna - masa pary 

wodnej wyrażona w gramach zawarta w 1 m³ powietrza,

V

m

w

=

ρ

∫

∫

=

dF

y

g

ydF

g

2

sin

sin

α

ρ

α

η

ρ

wilgotność właściwa - masa 

pary wodnej wyrażona w gramach przypadająca na 1 kg 
powietrza (powietrza ważonego razem z parą wodną), 

ps

pw

m

m

x

=

wilgotność względna - wyrażony w procentach stosunek 
ciśnienia cząstkowego pary wodnej zawartej w powietrzu do 
prężności pary wodnej nasyconej w tej samej temperaturze, 

wn

w

m

m

=

φ

 (w – pary wodnej; wn – pary wodnej nasyconej)

prężność pary wodnej - ciśnienie parcjalne (cząstkowe), 
wywierane przez parę wodną w powietrzu.
entalpia pary wilgotnej- jest równa sumie entalpi pow. 
suchego i pary wodnej.

(

)

r

x

t

c

x

c

i

pw

p

⋅

+

⋅

+

=

(

)

c

c

x

c

pw

p

=

⋅

+

________________________________________
14.

   Lepkość 

 

 –   jest to zdolność cieczy do stawiania oporu przy 

wzajemnym przesuwaniu się jej cząstek. Jest to 
hydrodynamiczna cecha cieczy rzeczywistej, co oznacza, że 
ujawnia się dopiero w czasie jej ruchu. Przejawia się ona 
powstawaniem sił stycznych przy wzajemnym przesuwaniu 
się
jej warstw po sobie. Lepkość jest przyczyną występujących 
podczas ruchu oporów, a tym samym  strat energii 
mechanicznej strumienia.
Hipoteza Newtona – tarcie wewnętrzne w ruchu laminarnym
Na granicy pomiędzy warstwami wody powstaje siła tarcia 
(oporu) płynu T, która przeciwdziała
ruchowi górnej płyty i jest proporcjonalna do:
• gradientu prędkości dυ /dy w kierunku prostopadłym do 
ruchu,
• powierzchni styku warstw A,
gdzie współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik 
lepkości dynamicznej μ (zależny od fizycznych właściwości 
cieczy, tzn. od jej rodzaju i temperatury).

dy

d

A

T

ν

µ

⋅

⋅

=

Dzieląc obie strony równania przez powierzchnię 
A, otrzymamy wzór Newtona postaci:

dy

d

ν

µ

τ

⋅

=

gdzie τ jest naprężeniem stycznym (wielkością 
oporu przypadającą na jednostkę powierzchni
płyty).

Moduł w powyższych wzorach pozwala uwzględnić 
bezwzględną wartość naprężenia, którego znak
zależy od:
– obranego kierunku osi y,
– tego, czy rozpatrujemy oddziaływanie górnej warstwy 
cieczy na dolną, czy odwrotnie.
Powyższe prawo jest słuszne dla:
• niewielkich prędkości i niewielkich rozmiarów szczeliny. Po
ich przekroczeniu ruch przestaje
być laminarny i występują zaburzenia, w wyniku których 
naprężenia styczne wzrastają
ponad te, określone wzorem Newtona. Ruch ten nosi nazwę 
turbulentnego;
• cieczy newtonowskich, spełniających równanie (I-2) (np. 
czekolada, płynny beton nie
podlegają powyższej teorii Newtona).
________________________________________

15. Statyka płynów:
Równanie równowagi statycznej (wyprowadzenie)

z

p

k

y

p

j

x

p

i

gradp

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

Ze wzgl. na dowolność 

obszaru całkowania V można 
napisać:

0

=

−

gradp

F

m

ρ

w układzie współrzędnych 
kartezjańskich równanie to 
można wyrazić w postaci 
trzech rów. skalarnych

X,Y,Z-siła składowa w 
określonym kierunku-
składowa jednolita

dV=dxdydz jest w 
równowadze, jeżeli rzuty sił na
osie układu są równe zeru, 
zatem można napisać:

Wykorzystując fakt,że masa 
elementu płynu wynosi:

pdxdydz

dV

dm

=

=

ρ

Po dodaniu stronami trzech 
składowych można napisać:

dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

Zdz

Ydy

Xdx

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

+

+

)

(

ρ

Prawa strona jest różniczką 
zupełną ciśnienia dp, wobec 
czego można napisać:

(

)

Zdz

Ydy

Xdx

dp

+

+

=

ρ

Parcie hydrostatyczne (parcie, 

 

 napór

 

 )   – siła nacisku jaką płyn 

wywiera na daną powierzchnię. Siła ta jest normalna do danej 
powierzchni.

Parcie jest związane z ciśnieniem wzorem

→

→

=

S

pd

P

d

gdzie:

→

S

d

 – wektor powierzchni nieskończenie małego fragmentu 

ds powierzchni S,
p – ciśnienie hydrostatyczne panujące na poziomie, na którym
znajduje się powierzchnia ds.

Ponieważ rozpatrywane są nieskończenie małe elementy, 
przyjmuje się, że ciśnienie jest stałe na poziomie każdej takiej 
powierzchni ds.

Dla powierzchni płaskich i stałego ciśnienia w każdym 
punkcie powierzchni, wzór na parcie upraszcza się do postaci:

pS

P

=

Płyn w stanie spoczynku wywiera napór hydrostatyczny 
zarówno na dno jak i ścianę naczynia.

Parcie na ścianę poziomą można zapisać:

ghS

N

ρ

=

gdzie
N – parcie (napór) hydrostatyczne,
ρ – gęstość cieczy,
h – wysokość słupa cieczy;
S – powierzchnia ściany

Wzór na parcie dla ściany pionowej:

S

gh

N

0

ρ

=

gdzie
h

0

 – głębokość środka ciężkości.

Środek naporu oznacza punkt, w którym wypadkowa siła 
naporu przebija rozpatrywaną ścianę. Na powierzchni płaskiej
rozpatrujemy element powierzchniowy.

położony w odległości y od osi x. Odległość środka naporu 

Σ

 

od osi x oznaczamy jako 

η

. Z warunku równowagi momentów

względem osi x otrzymamy:
Ponieważ jednak

zdF

g

N

∫

=

ρ

oraz     

α

sin

y

z

=

Otrzymamy wyrażenia:   

                

x

J

dF

y

=

∫

2

        

s

M

ydF

=

∫

  

Stanowią odpowiednio 
geometryczny moment 
bezwładności i moment 
statyczny figury płaskiej 
względem osi x. Po 
przekształceniach otrzymamy:

x

x

M

J

ydF

dF

y

=

∫

∫

=

2

η

Odległość środka naporu hydrostatycznego od krawędzi 
przecięcia lustra cieczy i rozpatrywanej ściany jest równa 
ilorazowi geometrycznego momentu bezwładności i momentu
statycznego względem tej krawędzi.
Jeżeli oznaczymy jako y

s

 odległość środka geometrycznego od

osi x oraz uwzględniając, że:

∫

=

=

s

x

Fy

ydF

M

otrzymamy:

                     

s

x

Fy

J

=

η

Na podstawie twierdzenia Steinera

F

y

J

J

s

ox

x

2

+

=

i ostatecznie:

F

y

J

y

F

y

F

y

J

s

ox

s

s

s

ox

+

=

+

=

2

η

Z   zależności   tej   wynika
jednoznacznie,   że   środek
naporu   hydrostatycznego   leży
zawsze   głębiej   niż   środek
geometryczny   figury   płaskiej,
jaką   tworzy   rozpatrywana
ściana

.

_________________________________________
16.Kinematyka płynów Rownanie ciaglosci :
Pochodna substancjonalna (dH/dt) ma ona określony sens 
fizyczny, gdyż d/dt dotyczy zmiany tego samego 
poruszającego się elementu płynu, czyli zmiany związanej z 
jego „substancją”.Jest ona sumą pochodnej lokalnej ∂H/∂t i 
pochodnej konwekcyjnej (v

⋅∇

)H. Pochodna ∂H/∂t oznacza 

zmianę wielkości H w czasie. Pochodna (v

⋅∇

)H wyraża 

zmianę wielkości H przy przesunięciu punktu o współrz. X,y,z
po torze co łączy się z polem prędkości w otoczeniu tego 
punktu. 

(

)

H

v

t

H

dt

dH

∇

⋅

+

∂

∂

=

gdzie 

∇

jest operatorem nabla:

z

k

y

j

x

i

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

Wyrażenie 

(

)

∇

⋅

v

 jest iloczynem skalarnym dwóch 

wektorów, tj. wektora prędkości i operatora nabla

∇

Równanie ciągłości:
strumienie masy przepływającej

 

(dopływ-odpływ) przez 

powierzchni

e

 

A musz

a równać się akumulacji

 

masy:

dA

V

dt

m

n

A

ρ

∫

∫

=

•

masa zakumulowana w objętości V jest równa:

dt

t

V

m

∂

∂

=

ρ

łącząc te dwie wielkości, otrzymuje się:

0

1

=

∫

∫

+

∂

∂

vdA

V

t

A

ρ

ρ

dla prostopadłościanu przyrost masy jest równy:
dla osi x:

dxd yd zdt

x

V

d ydzdt

V

d ydzdt

dx

x

V

V

x

x

x

x

∂

∂

=

−

∂

∂

+

)

(

)

)

(

(

ρ

ρ

ρ

ρ

dla osi y:

dxdydzdt

y

V

dxdzdt

V

dxdzdt

dy

y

V

V

y

y

y

y

∂

∂

=

−

∂

∂

+

)

(

)

)

(

(

ρ

ρ

ρ

ρ

dla osi z:

dxd yd zdt

z

V

d xdydt

V

d xdydt

dz

z

V

V

z

z

z

z

∂

∂

=

−

∂

∂

+

)

(

)

)

(

(

ρ

ρ

ρ

ρ

R

d xdydzdt

z

V

z

−

∂

∂

)

(

ρ

A

dxdydzdt

t

dxdydz

dxdydz

dt

t

dxdydz

dt

t

dt

t

dxdydz

t

−

∂

∂

=

−

∂

∂

+

∂

∂

+

→



+

−

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

)

(

)

(

R+A=0

rowy

jednowymia

przeplyw

x

V

owy

trójwymiar

przeplyw

z

V

y

V

x

V

v

div

cons

v

div

t

v

div

a

divergencj

z

V

y

V

x

V

dxdydzdt

z

V

y

V

x

V

t

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

(

0

(

0

0

)

(

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

)

(

)

(

)

(

(

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

=

=

+

∂

∂

−

−

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

Strumień objętości

  [m

3

/s]jest iloczynem skalarnym 

prędkości v i

 

odpowiednio zorientowanego 

wektora elementu powierzchni dA.

_________________________________________
17.dynamika płynów doskonałych: równanie 

Bernoulliego (założenia, interpretacja 

 

 

fizyczna

 

  i 

   

graficzna), przykłady zastosowania r.Bernoulliego 

(pomiar prędkości rurką Pitota, Prandtla, zwężki, 
ustalony i 

 

 

nieustalony wypływ przez otwory

 

 , przelew)

 

 

Równanie Bernoulliego

 

    opisuje zachowanie gęstości 

energii całkowitej na 

linii prądu

. Obowiązuje w 

podstawowej wersji dla 

stacjonarnego przepływu

 

nieściśliwego 

płynu idealnego

, a w wersji rozszerzonej dla 

idealnego 

płynu barotropowego

. Równanie Bernoulliego 

wynika z 

zasady zachowania energii

 i według intencji jego 

autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów 
hydrodynamicznych.

Wyprowadzenie wzoru bernulliego
- przepływ jednowymiarowy, przepływ bezwirowy

→

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

s

p

F

s

V

V

t

v

m

ρ

1

równanie Eulera dla przepływu 

jednowymiarowego
przepływ ustalony

)

2

(

)

2

(

1

/*

1

2

2

V

d

d s

V

s

ds

s

V

V

d s

s

p

ds

F

ds

s

V

V

d s

s

p

F

s

V

V

d

V

m

m

=

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

+

∂

∂

ρ

ρ

siły masowe są potencjalne 

s

U

F

m

∂

∂

=

U-potencjał

const

g

g

z

g

V

g

const

p

gz

V

const

p

gz

V

Bern

równ

const

p

gz

V

const

równania

postac

const

dp

gz

V

z

g

U

ziemskiego

pola

potencjale

const

R

U

V

R

U

V

d

dR

dU

V

d

dp

R

dR

dp

ds

s

p

dU

ds

s

U

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

→

=

+

+

=

=

+

−

=

+

−

−

=

=

→

=

=

∂

∂

=

∂

∂

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

2

:

/

2

/*

2

.

.

2

1

2

*

2

0

)

2

(

)

2

(

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

Zastosowanie równania Bernoulliego:

-

rurka Pitota

 pomiar :prędkości nurtu rzeki ;    w 

lotnictwie do pomiaru prędkości 

statków powietrznych

.

- 

Rurka Prandtla

 - pomiar ciśnienia dynamicznego

- 

zwężki tam 

 gdzie wymagane jest wytworzenie 

podciśnienia

, np. w 

wodnych pompkach

 próżniowych. Jest 

również stosowana do sterowania, np. w przepływowych 

bojlerach gazowych

. 

- ustalony i nieustalony wypływ przez otwory  

???

- przelew  do pomiaru strumienia objętości w przewodach 
(kanałach) otwartych 

18. przepływ laminarny i turbulentny, doświadczenie 

Reynoldsa

Ruch laminarny i turbulentny
Ruch laminarny (warstwy się nie nakładają) tory cząstek 

mało różnią się od siebie. Pozostające w ruchu medium 
można traktować jako zbiór oddzielnych warstw, 

poruszających się względem siebie z różną prędkością i 
nie mieszających się ze sobą. Ruch taki występuje w 

mediach o dużej lepkości (μ), np. lawa wulkaniczna. 
Re<2300

Ruch turbulentny ( warstwy mieszają się ze sobą) ruch 
cząstek płynu powoduje mieszanie się ze sobą rożnych 

warstw, Ruch ten występuje w mediach o względnie malej 
lepkości (μ), np. woda, powietrze. Re>50000

Opis doświadczenia Reynoldsa (1883)

Ćwiczenie polega na obserwacji zachowania się strugi 
barwnika (fluoresceiny) przy różnych

średnich prędkościach przepływu wody w przewodzie i na
obliczeniu w każdym przypadku liczby

Reynoldsa. Urządzenie użyte w tym doświadczeniu 
pozwala na regulację prędkości przepływu w

przewodzie oraz prędkości wypływu barwnej strugi. Przy 
przepływie o charakterze laminarnym,

kiedy strugi cieczy są równoległe i nie następuje wymiana 
elementów płynu pomiędzy sąsiednimi

warstwami, struga barwnika rysuje się ostro i wyraźnie, 
biegnąc prawie równolegle do ścianki

przewodu. Powyżej pewnej prędkości przepływu w rurze 
struga ta tuż za wylotem rurki podlega

intensywnemu rozproszeniu, a następnie bardzo prędko 
zabarwia całą masę wody w przewodzie.

19.przepływ laminarny w przewodzie kołowym – 
prawo Hagena-Pouiseuilla z wyprowadzeniem

Prawo Hagena-Poiseuille'a - prawo fizyczne opisujące 
zależność między strumieniem objętości cieczy a jej 
lepkością (która wynika z tarcia wewnętrznego), 
gradientem ciśnień (który jest 

bodźcem 

termodynamicznym

 powodującym przepływ płynu), a 

także wielkościami opisującymi wielkość naczynia 
(długość, promień przekroju poprzecznego).Przy 

stacjonarnym

 (tj. niezmiennym w czasie), 

laminarnym

 

przepływie

 nieściśliwego, 

lepkiego

 

płynu

 w cylin-

drycznym przewodzie (tj. w rurze o stałym, kołowym 
przekroju), 

strumień objętości

 przepływu (

objętość

 

przepływającego płynu na jednostkę 

czasu

) propor-

cjonalny jest do 

gradientu ciśnienia

 wzdłuż przewodu, a 

zatem i do różnicy 

ciśnień

 na końcach przewodu:

gdzie poszczególne symbole oznaczają:

ΦV – strumień objętości przepływu,
V, dV/dt – objętość, pochodna objętości 
względem czasu,
z – 

współrzędna walcowa

, długość liczona 

wzdłuż osi przewodu,
vs – średnia prędkość płynu w kierunku z,
r – promień wewnętrzny przewodu,
η – współczynnik 

lepkości dynamicznej

 

płynu,
p – ciśnienie uśrednione w przekroju 
przewodu,
-dp/dz – gradient ciśnienia wzdłuż osi z,
Δp – różnica ciśnień na końcach 
przewodu,
l – długość przewodu.

Spadkiem hydraulicznym nazywamy stosunek spadku 

wysokości hydraulicznej

 

do odległości 

na jakiej

spadek ten nastąpił
Bardziej ściśle, spadek hydrauliczny jest to wzięta ze 
znakiem ujemnym pochodna wysokości hydraulicznej 
hwzględem odległości l, na której nastąpiła zmiana 
parametru .
20.

 

S

  

traty ciśnienia w przewodzie: wskutek tarcia wzór 

 

 

Darcy-Weisbacha, na oporach   miejscowych

Straty ci

 

 ś  nienia podczas tarcia

 

 

Straty ciśnienia są wywołane tarciem 
wewnętrznym płynu w obszarze warstwy 
przyściennej.Straty te nazywane też są stratami 
liniowymi.
Straty ciśnienia

p

str

i

=

λ

Lρ v

2

2D

z

str

i

=

λ

L v

2

2Dg

Wzór ten umożliwia obliczenie strat ciśnienia 
wskutek tarcia, dotyczy przepływu laminarnego

i turbulentnego, ale współczynnik λ w obu 
przypadkach przyjmuje inna wartość
Równanie Darcyego-Weisbacha- równanie opisujące 
spadek 

ciśnienia

 

płynu

 na skutek oporów jego 

przepływu

 w przewodzie.

D

l

v

p

2

*

*

*

2

ρ

λ

=

∆

λ - współczynnik oporu - f(Re)
l- długość przewodu

[1]

D - średnica (ew. 

zastępcza

) przewodu

v - prędkość płynu
ρ - gęstość płynu
Straty ci

 

 ś  nienia w wyniku oporów miejscowych

 

 

Opory miejscowe są spowodowane zmiana 
wartości i kierunku prędkości. Zmiany te
zachodzą w różnych miejscach przewodu i są 
spowodowane takimi przeszkodami, jak kolana,
przewężenia, rozszerzenia, rozgałęzienia.

p

str

m

=

ξ

ρ v

2

2

Przy przepływie cieczy stratę często wyraża sie w 
metrach słupa danej cieczy, a mianowicie:

z

str

m

=

ξ

v

2

2g

Współczynniki strat miejscowych ξ są określone 
na drodze doświadczalnej.
opracowanie na

21.uogólnione równanie Bernoulliego (ze stratami), 
przykłady zastosowań do obliczania przepływów w 

przewodach 

uogólnione prawo Bernoulliego + ze stratami

ρ

ξ

ρ

λ

ρ

ρ

ρ

2

2

)

(

2

2

2

2

2

1

1

2

1

V

p

di

L

V

p

p

p

p

p

p

p

gh

p

gh

p

V

m

i

i

i

i

t

L

m

t

str

str

L

=

∑

=

∑

∑

+

∑

=

∑

∑

+

+

=

+

+

- współczynnik ξ możemy obliczyć dla nagłego 
rozszerzenia przewodu

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

)

(

2

)

2

2

(

2

)

(

2

)

(

]

)

(

2

[

)

(

]

)

(

2

[

)

(

)

(

2

2

2

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

p

p

V

V

A

V

V

A

V

p

V

V

A

V

V

m

p

V

V

p

p

p

p

V

p

V

L

L

L

L

L

−

=

−

+

−

=

−

+

−

−

=

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

+

+

=

+

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

)

1

(

2

2

)

1

(

)

(

2

A

A

V

p

V

A

A

p

A

A

V

V

V

pL

A

A

V

V

A

V

A

V

L

L

−

=

=

−

=

−

=

=

⇒

−

ξ

ρ

ξ

ρ

ρ

Przykłady zastosowań do obliczania przepływów w 
przewodach:

wypływ cieczy ze zbiornika, lewar hydrauliczny, inżektory

22.

 

W

   

yznaczanie współczynnika tarcia wewnętrznego 

 

 

λ

  

,   

wykres zależność 

 

 

λ

   od liczby

 

    Reynoldsa i chropowatości 

 

 

ścian przewodu

W

   

yznaczanie współczynnika tarcia wewnętrznego 

 

 

λ

  

Współczynnik tarcia podczas przepływu laminarnego w 
przewodzie o przekroju kołowym może być wyznaczony w 
sposób analityczny z wzoru Hagena-Poiseuille’a.  Po 

uwzględnieniu 

́

v

=

v

 wzór ten przyjmuje 

postać

v=

p

str

D

2

32μL

Podstawiając  liczbę Reynoldsa

ℜ=

vD

v

otrzymuje się

p

str

=

64Lρ v

2

Re2D

Współczynnik tarcia λ podczas przepływu 
laminarnego wynosi 

λ=

64

ℜ

Współczynnik tarcia podczas przepływu 
turbulentnego może być określony tylko 
eksperymentalnie. Wzór Blasiusa :

λ=

0,3164

ℜ

1 /4

Ten wzór potęgowy dotyczy przepływów w przewodach 
gładkich.
Współczynnik tarcia w warstwie przy

 

 ś  ciennej, 

 

 

wpływ chropowato

 

 ś  ci przewodu

 

 

Straty ciśnienia wskutek tarcia obliczane są ze 
wzoru Darcy-Weisbacha

p

str

=

λ

Lρ v

2

2D

gdzie 

λ 

- współczynnik tarcia wewnętrznego płynu

w przewodzie
prostoliniowym o średnicy D i długości L, inaczej:

p

str

=

λ

64Lρ v

2

Re2D



Współczynnik tarcia:

λ=

64

ℜ

Wpływ chropowatości na wartość współczynnika 
_, a wiec i na opory tarcia jest złożony.
Grubość podwarstwy laminarnej decyduje o tym, 
czy przewód może być uznany za
hydraulicznie gładki
a) lam k 

<δ 

(czyli chropowatość bezwzględna k 

mniejsza od grubości podwarstwowej warstwy
laminarnej) – brak wpływu chropowatości na 
współczynnik tarcia.
b) lam k 

>δ 

(zakres przejściowy) – wpływ 

chropowatości zmienia sie wraz ze zmiana liczby
Reynoldsa
c) lam k 

>>δ 

(chropowatość bezwzględna dużo 

większą niż grubość warstwy laminarnej) – w
pełni rozwinięty wpływ chropowatości – 
współczynnik tarcia 

λ 

nie zależy od Re.

Chropowatość bezwzględna to średnia 
wysokość nierównomierności ścian rury.

23.

 

P

   

rzepływ w kanałach otwartych (spadek hydrauliczny, 

 

 

obliczanie strumienia  objętości, optymalny przekrój)
Przepływ w kanałach otwartych Ciecz wypełnia tylko części 
tego przekroju, niezależnie od tego czy jest to rurociąg, czy 
odkryty kanał. Istotą kanału otwartego jest istnienie 
swobodnej powierzchni cieczy, w skutek czego na ciecz jest 
wywierane to samo ciśnienie ( najczęściej atmosferyczne). 
Pojęcie spadku hydraulicznego wykorzystywane jest 
najczęściej w hydrologii i hydrogeologii. Stosowane jest 
głównie przy opisie ruchu wód w strefie przypowierzchniowej
płytkich gruntów

I =

h

str

L

=

Δ h

L

=

z

1

−

z

2

L

przepływy w kanałach otwartych

 

 ,   równanie jednostronne, 

prędkość, przekrój optymalny, wzór chezy’ego 
- wzór chezy’ego

I

r

c

V

n

sr

=

- przekrój optymalny- max strumień objętości przepływający 
kanałem o stałym nachyleniu i stałym przekroju 
poprzecznym- kształt okrągły będzie najbardziej optymalny
Strumie

 

 ń 

   obj

   ę

  to

   ś  ci 

   

vdA=liint

vndA=liint

́

v=liint

¿

A

¿

❑

¿

A

¿

❑

¿

A

¿

❑

v

n

¿ ¿

dA=liint

¿

A

¿

❑

vdAcos α

jest iloczynem skalarnym predkosci v i 
odpowiednio
zorientowanego wektora elementu powierzchni 
Da

  24.

 

O

   

pływ ciał – rotametr

 

 

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

,

,

2

,

,

2

min

.

.

.

2

.

2

2

)

(

2

,

2

)

(

),

(

4

1

*

)

(

2

)

(

2

0

2

)

(

0

v

DH

C

R

a

ko

dla

opor

zaw ietrzna

stro na

v

k

p

p

do wietrzna

stro na

v

k

p

p

v

k

k

p

p

v

k

p

v

k

p

cisnienie

z

f

Q

d

D

A

A

c

A

gV

vA

Q

A

c

gV

v

V

A

c

gV

gV

W

gV

G

R

W

G

A

x

pa

a

pa

a

pa

p

n

pa

p

pa

n

x

p

p

plywaka

p

x

p

plywaka

p

x

p

plywaka

plynu

plywaka

p

x

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

π

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

=

−

=

+

=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

−

=

=

−

=

=

−

−

=

=

=

+

−

Rotametr, właśc. przepływomierz o zmiennym przekroju – 

przyrząd

 do pomiaru natężenia przepływu 

płynów

. Ma postać 

pionowej szklanej rury, rozszerzającej się ku górze. W rurze 
umieszczony jest 

pływak

. Płyn wprowadza się od dołu rury. 

Ruch płynu powoduje unoszenie pływaka do położenia, w 
którym 

zrównoważą się

 działające nań 

siły

: ciężkości, wyporu

i tarcia.
Opływ ciała- zestawienia tematyczne

a)

podczas opływu przez wiatr budynków 
powstaje określony rozkład prędkości, który 
prowadzi do rozkładu ciśnień na 
powierzchniach tych ciał, czyli do działania sił 
aerodynamicznych na te powierzchnie,

b)

drobne ciała są poddawane działaniu oporu 
płynu podczas takich procesów, jak 
wentylacja,,  sedymentacja, aeracja

c)

działanie wiatru na kominy fabryczne, 
budynków, wzniesienia i zagłębienia terenu 
wytwarza określony rozkład prędkości i stref 
oderwań co ma decydujący wpływ na 
rozprzestrzenianie się zanieczyszczeń w 
atmosferze

25.

 

P

   

rzepływ w ośrodkach porowatych – prawo Darcy, 

 

 

przykład obliczania dopływu  wody do studni, rowu

Porowatość ośrodka w ogólności 

V

V

p

=

ε

Porowatość 

powierzchniowa 

V

A

=

η

Przepływ w ośrodku porowatym (prawo Darcyego)

EGO

prawoDARCY

dx

dh

k

u

JI

wspFILTRAC

k

I

k

u

ny

hydraulicz

spadek

I

L

h

l

g

p

z

g

p

z

h

h

h

−

=

−

=

−

=

∆

+

−

+

=

−

=

*

:

/

)

(

)

(

1

1

2

2

1

1

ρ

ρ

Dopływ do rowu

Q

h

H

sk

L

depresji

krzywej

zasięa

h

H

L

sk

Q

H

h

L

x

depresji

krzywej

rów

h

h

x

sk

Q

dh

h

dx

sk

Q

LTRACJI

pręrędkość

u

dx

dh

hsk

hsu

Q

h

h

x

2

)

(

.

.

2

,

.

.

2

*

2

0

2

2

0

2

2

0

2

0

0

−

=

→

−

=

=

=

−

−

=

=

∫

=

∫

−

=

=

Dopływ do studni

0

,

*

0

,

,

0

)

(

.

.

ln

2

2

,

ln

2

2

*

2

2

*

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

0

2

0

2

0

0

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

=

=

=

+

∂

∂

−

−

=

=

=

−

=

⇒

=

=

=

z

p

y

p

x

p

gra dp

k

v

v

div

co nst

v

d iv

t

g o

d epresyjn e

leja

za sięa

h

H

r

R

k

Q

H

h

R

r

h

h

r

r

k

Q

d

h

r

dv

k

Q

d v

d h

rh k

u

v

Q

o

ρ

ρ

ρ

ε

π

π

π

π

π