METODY OBLICZENIOWE  

 

Elementy analizy matematycznej II 

 
 

ROZWIJANIE W SZEREG TAYLORA 

 

Rozwijanie funkcji jednej zmiennej   

 

taylor (wyrażenie, punkt

1

, n) 

 

Rozwijanie funkcji wielu zmiennych 

 
mtaylor (wyrażenie, punkt

2

, n) 

 
 

Oznaczenia: 

 

wyrażenie – wyrażenie algebraiczne reprezentujące rozwijaną funkcję.  
punkt

1 

– równanie np. x = x

0

 określające punkt, wokół którego rozwijany jest szereg. 

punkt

2

 – zbiór lub lista równań określających punkt, wokół którego rozwijany jest szereg. 

n – (opcjonalny argument) liczba wyrazów rozwinięcia. Domyślnie program oblicza sześć 

wyrazów rozwinięcia funkcji  

 

CAŁKOWANIE 

 

Całka nieoznaczona 

 

int (

wyrażenie

, symbol) 

 

Całka oznaczona 

 

int (

wyrażenie

, symbol = a..b) 

 

Całka wielokrotna 

 
int (

wyrażenie

, [symbol

1

 = a..b, symbol

2

 = c..d, . . .]) 

 
 

Oznaczenia: 
 
wyrażenie – całkowane wyrażenie. 
symbol – nazwa zmiennej ze względu na którą całkujemy. 

a, b, c, d – liczby oznaczające granice całkowania. Jeśli liczby te zadane są w formie 

zmiennoprzecinkowej do całkowania użyte są metody numeryczne.   

 

1.  a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję 

)

3

cos(

)

(

x

x

f



 w punkcie 

0



x

 dla domyślnej 

wartości n określającej liczbę wyrazów rozwinięcia.  

 

b) Następnie w jednym układzie współrzędnych wykreślić funkcję oraz szereg.  

Uwaga: Przed wykreśleniem szeregu należy, za pomocą komendy convert z 
opcją polynom, zamienić go na wyrażenie typu wielomianowego. 

 

2.  a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję 

x

x

x

f

2

e

)

(



 w punkcie 

1



x

 dla 

3

n



 i 

8

n



.  

 
b) W jednym układzie współrzędnych wykreślić funkcję oraz szeregi.  
 
c) Obliczyć wartość funkcji 

)

(x

f

 oraz wartość każdego rozwinięcia w 

5

x

 

. 

 

Odp:  f(-5) = 0.2156,    (n = 3) 1.1604,    (n = 8) 0.2119 

 

3.  a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję dwóch zmiennych 

2

( , )

ln( )

f x y

x

y



  w 

punkcie 

2

π

,

π





y

x

dla 

3

n



 i 

9

n



.  

b) Podać wartość funkcji 

)

,

(

y

x

f

 oraz każdego rozwinięcia w punkcie 

5,

3

x

y





. 

 

Odp.  f(5,3) = 27.4653,   (n = 3) 26.8084,   (n = 9) 27.4448 

 
4.  Obliczyć całki: 

 

      a)  ln(

)

x

x

dx



                          Odp: 

2

2

1

ln(

)

ln( )

2

4

x

x

x x

x

x





  

b) 



2

0

2

)

2

sin(

)

(

cos



dx

x

x

           Odp: 

1

2

 

c) 

2

2

3

1

2

4

2

2

3

1

4

(

)

x

x

x

y

dy dx







































  Odp: 

39

2



 

 

5.  Znaleźć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach: 

1

e

2

5

1

2

4











x

y

i

x

y

. 

 
Wskazówka: a) Wykreślić obie krzywe. b) Określić granice całkowania rozwiązując 
odpowiednie równania. c) Obliczyć odpowiednią całkę oznaczoną. 
 
Odp: 6.1818 

 

 

 

 

6. Za pomocą komendy int obliczyć numerycznie 

1

0

sin(

)

x

x

dx



. 

 

Odp: 0.7029578376 

 
 
7. Zaimplementować w formie procedury wzór trapezów  
           

1

0

1

2

2

n

i

n

i

h

I

Y

Y

Y

























 

 

W powyższym wzorze h jest stałą odległością pomiędzy kolejnymi węzłami X

i

, i = 0, ..., n, 

a Y

i

 oznaczają wartości funkcji w tych punktach. 

Parametrami formalnymi procedury będą: nazwa tablicy zawierającej wartości Y

i

, liczba 

podprzedziałów – n oraz h.  

 

8. Wykorzystać procedurę zdefiniowaną w zadaniu 7 do obliczenia całki z funkcji dyskretnej, 

wygenerowanej poniższym kodem oraz zbadać dokładność obliczeń w zależności od liczby 
węzłów.  

 
> f:=x->ln(x^2+1): 
> n:=10: # liczba podprzedzialów (liczba węzlów - 1)   
> a:=0.: b:=4.: h:=(b-a)/n;  
> X:=Array(0..n,[seq(a+h*i,i=0..n)]); 
> Y:=map(f,X); 

 

Wskazówka: dokładność obliczeń zbadać obliczając błąd względny procentowy pomiędzy 
otrzymanym wynikiem, a całką obliczoną za pomocą procedur ścisłych (symbolicznych) z 
funkcji analitycznej (zmienna f).