Pytanie 1
Prawa de Morgana dla zmiennych
)
~
(~
)
(
~
)
~
(~
)
(
~
q
p
q
p
q
p
q
p
∨
⇔
∧
∧
⇔
∨
Zaprzeczenie implikacji
)
~
(
)
(
~
q
p
q
p
∧
⇔
⇒
Prawo kontr pozycji
)
~
(~
)
(
q
p
q
p
⇒
⇔
⇒
Pytanie 2
Prawa de Morgana dla Kwantyfikatorów
))
(
_(~
)
(
_
(
~
))
(
_(~
)
(
_
(
~
x
x
x
x
x
x
x
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∀
⇒
∃
∃
⇒
∀
Prawa przestawiania kwantyfikatorów
)
,
(
_
_
)
,
(
_
)
,
(
_
_
)
,
(
_
)
,
(
_
_
)
,
(
_
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
y
x
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
∃
∀
⇔
∀
∃
∃
∃
⇔
∃
∃
∀
∀
⇔
∀
∀
Pytanie 3
Działania na zbiorach
Niech
.
,
X
B
A
⊂
Możemy zdefiniować
następujące
działania na zbiorach
Suma zbiorów A i B
)
()
(:
{
Bx
Ax
Xx
BA
∈∨
∈
∈=
∪
Iloczyn (część wspólna) zbiorów A i B
)
()
(:
{
Bx
Ax
Xx
BA
∈∧
∈
∈=
∩
Różnica zbiorów A i B
)
()
(:
{\
Bx
Ax
Xx
BA
∉∧
∈
∈=
Dopełnienie zbioru A do X
}
:
{
'
A
x
X
x
A
∉
∈
=
Jeśli dane są zbiory nie puste A i B to
można
utworzyć zbiór, który oznaczamy
B
A
×
złożony
ze wszystkich par uporządkowanych
y
x,
, gdzie
A
x
∈
i
B
y
∈
. Zbiór ten nazywamy
iloczynem (produktem) kartezjańskim
zbiorów A i B.
Pytanie 4
Definicja kresu dolnego i górnego,
twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z
góry gdy
istnieje liczba
R
M
∈
(zwana
ograniczeniem górnym
zbioru A) taka, że:
(
)
A
x
∈
∀
M
x
≤
Kresem górnym zbioru A nazywamy
najmniejsze z
ograniczeń górnych zbioru A. Oznaczamy
kres górny
przez symbol supA (supremum A)
2) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z
dołu gdy
istnieje liczba
R
m
∈
(zwana
ograniczeniem dolnym
zbioru A) taka, że:
(
)
A
x
∈
∀
x
m
≤
Kresem dolnym zbioru A nazywamy
największe z
ograniczeń dolnych zbioru A i
oznaczamy infA (infinium A)
Twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Każdy zbiór niepusty
R
A
⊂
ograniczony z
góry posiada dokładnie jeden kres górny
2) Każdy zbiór niepusty
R
A
⊂
ograniczony z
dołu posiada dokładnie jeden kres dolny
Pytanie 5
Wartość bezwzględna i jej własności:
Dla
R
x
∈
definiujemy jej wartość
bezwzględną wzorem:
<
−
≥
=
0
_
_
,
0
_
_
,
|
|
x
dla
x
x
dla
x
X
Własności:
x
x
x
y
x
y
x
y
dla
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
≤
≤
−
−
≤
−
≠
=
⋅
=
⋅
+
≤
+
≥
0
_
0
|
|
Pytanie 6
Definicja funkcji, iniekcja, suriekcja,
bijekcja, funkcja odwrotna, superpozycja
funkcji:
Niech
0
≠
X
,
0
≠
Y
. Zbiór
Y
X
f
×
⊂
nazywamy
funkcją, gdy dla każdego
X
x
∈
istnieje
dokładnie
jeden element
Y
y
∈
taki, że
f
y
x
∈
,
W skrócie:
(
)(
)
f
y
x
Y
y
X
x
∈
∈
∃
∈
∀
,
!
Piszemy
Y
X
f
→
:
oraz zamiast
f
y
x
∈
,
piszemy y = f(x)
Niech
Y
X
f
→
:
. Mówimy, że:
a) f jest iniekcją (albo inaczej funkcją
różnowartościową), gdy
(
)
( ) ( )
2
1
2
1
2
1
,
x
f
x
f
x
x
X
x
x
≠
⇒
≠
∈
∀
(Uwaga: korzystając z prawa
kontrapozycji, można powyższy warunek
zapisać w postaci
(
) ( ) ( )
)
,
2
1
2
1
2
1
x
x
x
f
x
f
X
x
x
=
⇒
=
∈
∀
b) f jest suriekcją (albo inaczej funkcją
„na”), gdy
(
)(
)
X
x
Y
y
∈
∃
∈
∀
f(x) = y
c) f jest bijekcją, gdy jest jednocześnie
iniekcją i suriekcją.
Pytanie 7
Zasada indukcji zupełnej:
Niech
( )
n
ϕ
będzie funkcją zdaniową,
której dziedziną jest zbiór liczb
naturalnych N. Jeśli:
1)
( )
1
ϕ
zachodzi
2) dla każdej liczby naturalnej u zachodzi
wynikanie
( )
(
)
1
+
⇒
n
n
ϕ
ϕ
to
( )
n
ϕ
zachodzi dla każdej liczby
naturalnej u.
Pytanie 8
Definicja ciągu liczbowego,
monotoniczność, ograniczoność:
Ciągiem liczbowym (nieskończonym)
nazywamy każdą funkcje f określoną na
zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej
funkcji nazywamy wyrazami ciągu i
oznaczamy
N
n
a
n
f
n
∈
≡
,
)
(
a ciąg o
wyrazach
n
a
zapisujemy symbolem (
n
a
)
lub a
1
, a
2
, a
3
...
Monotoniczność: Mówimy, że ciąg
)
(
n
a
jest:
1) niemalejący gdy
n
n
a
a
N
n
≥
∈
∀
+
1
)
(
rosnący gdy
n
n
a
a
N
n
>
∈
∀
+
1
)
(
2) nierosnący gdy
n
n
a
a
N
n
≤
∈
∀
+
1
)
(
malejący gdy
n
n
a
a
N
n
<
∈
∀
+
1
)
(
Jeśli ciąg jest niemalejący lub nierosnący
to nazywa się monotonicznym.
Ograniczoność: Ciąg
)
(
n
a
nazywa się
ograniczonym jeśli zbiór jego wyrazów
}
,
{
N
n
a
n
∈
jest zbiorem ograniczonym w
zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to,
że
K
a
N
n
R
K
n
≥
∈
∀
∈
∃
)
)(
(
(*)
L
a
N
n
R
L
n
≤
∈
∀
∈
∃
)
)(
(
Warunek (*) można zastąpić przez:
M
a
N
n
M
n
≤
∈
∀
≥
∃
)
)(
0
(
Pytanie 9
Ciągi zbieżne i ich własności:
Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę
(gdy istnieje liczba g taka że granica
g
a
n
n
=
∞
→
lim
). Gdy taka liczba nie
istnieje to ciąg nazywa się rozbieżnym.
Własności:
1) Jeśli ciąg
)
(
n
a
jest zbieżny, to ma
dokładnie jedną granicę.
2) Jeśli ciąg
)
(
n
a
jest zbieżny, to jest
ograniczony.
Z tego wynika:
a)
0
lim
0
lim
=
⇔
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
a
a
b)
g
a
g
a
n
n
n
n
=
⇒
=
∞
→
∞
→
lim
lim
Jeśli
a
a
n
n
=
∞
→
lim
i
b
b
n
n
=
∞
→
lim
gdzie
R
b
a
∈
,
to
1)
b
a
b
a
n
n
n
±
=
±
∞
→
)
(
lim
2)
b
a
b
a
n
n
n
⋅
=
⋅
∞
→
)
(
lim
3)
b
a
b
a
n
n
n
=
∞
→
)
(
lim
N
n
o
b
b
n
∈
≠
≠
,
,
0
Pytanie 10
Twierdzenie o trzech ciągach:
Jeśli
(
)
N
n
∈
∀
n
n
n
c
b
a
≤
≤
oraz
a
c
a
n
n
n
n
=
=
∞
→
∞
→
lim
lim
, to
a
b
n
n
=
∞
→
lim
Dowód: Niech ε > 0. Z założenia mamy
(
)(
)
k
n
N
k
≥
∀
∈
∃
ε
ε
<
−
∧
<
−
a
c
a
a
n
n
Koniunkcja nierówności
ε
ε
<
−
∧
<
−
a
c
a
a
n
n
implikuje
∧
<
−
n
a
a
ε
ε
+
<
a
c
n
I z założenia
ε
ε
+
<
≤
≤
<
−
a
c
b
a
a
n
n
n
Skąd mamy
ε
ε
+
<
<
−
a
b
a
n
zatem
(
)
ε
<
−
≥
∀
a
b
k
n
n
Co daje tezę.
Uwaga: Twierdzenie pozostaje
prawdziwe, jeśli zakładać, że
n
n
n
c
b
a
≤
≤
dla prawie wszystkich
N
n
∈
KWWS QRWDWHNSODQDOL]DPDWHPDW\F]QDZ]RU\"QRWDWND