LISTA ZADAŃ Z MATEMATYKI NR 1                        Niedziela, 4 października 2009r. 

     I ROK  G i K             

Jest to pierwsza Lista z zakresu: 
1.     Przestrzeń wektorowa  R x ...x R = R

n

  (Stark-Mostowski) ;  

    -      wektor jako ciąg ,  
    -      równość wektorów – układy równań 

-

  wersory,  podzbiory OX, OY,...,OXY ,... 

-

  suma wektorów  –  interpretacja fizyczna , interpretacja geometryczna-prawo równoległoboku 

-      mnoŜenie wektora przez skalar – równoległość wektorów 

    -     własności algebraiczne działań – podział odcinka w zadanej proporcji   
    -     *ogólne pojęcie przestrzeni wektorowej 
    -      zmiana układu współrzędnych 
2.     Iloczyn skalarny 

-

     Definicja, własności 

-

  – prostopadłość wektorów 

3.    Norma 

-

     Norma = długość  wektora – własności 

-

     kąt między wektorami  

-

    rzuty wektora na oś : prostopadły, ukośny 

4.  Iloczyn wektorowy 

-   Definicja, własności 
-   pole trójkąta (wieloboku) w R³ 
-   wzory Cramera w R³ 

6.     Iloczyn mieszany 

-  Definicja, własności 
-  objętość równoległościanu w R³ 

Literatura: 
1.T.Jurlewicz,Zb.Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 1 Oficyna wyd. GiS Wrocław 
2. Stark-Mostowski ELEMENTY ALGEBRY WYśSZEJ  PWN Warszawa 
3. W. Stankiewicz ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYśSZYCH UCZELNI TECHNICZNYCH cz. IA  
i cz. IB PWN Warszawa1998 i póŜniejsze 
 
ZADANIA: 
1.Obliczyć odległość między punktami  P=(5,-2,1) i Q=(-3,0,-4) 
2. Obliczyć długość obwodu trójkąta P=(5,-2,1) , Q=(1,1,1) i R=(-3,0,-4)  
3. Sprawdzić czy trójkąt P=(1,0,02), Q=(4,1,2) i R=(2,7,2) jest trójkatem prostokątnym. 
4. Sprawdzić czy trójkąt P=(-1,1,2), Q=(5,8,2) i R=(11,6,2) ma kąt wewnętrzny rozwarty?. 
5. Dane są dwa przeciwległe wierzchołki rombu A= (8,-2 ,1) i C= (10,12,1)n i długość jego boku AB =10.            
ZnaleŜć pozostałe wierzchołki leŜące na wysokości z = 1. 
6.ZnaleŜć odległości środków odcinków AB i CD gdzie A=(0,5,3), B=(2,1,4),C=(1,-1,5) i D=(2,5,-1).  To samo 
przy podziale 2:3 i 3:4 odpowiednio. 
7. ZnaleŜć wektory jednostkowe dla  wektorów  4i-3j; 12i+3j-4k.  
8. Wektor tworzy z dwiema osiami współrzędnych kąty 60 stopni .ZnaleŜć kąt nachylenia tego wektora do 
trzeciej osi. 
9. Z pomiarów otrzymaliśmy wierzchołki czworokąta  A=(5,2,6), B=(6,4,4), C=(4,3,2) i D=(3,1,4). Czy to jest 
kwadrat?. 
10. Dane są cztery wektory a=i+5j+3k, b=6i-4j-2k, c=-5j+7k, d=-20i+27j-35k. Dobrać liczby 

αβχ tak, by  αa, 

βb, χc oraz d tworzyły łamaną zamknięta (Początek kaŜdego następnego wektora jest końcem poprzedniego). 
12. Obliczyć wartość wyraŜenia (iloczyny skalarne)  3a

•a - 4a•b +2c•c  gdzie a=(2,5,1) , b= (3,-2,4)                   

i c=(1,-1,1). 
13 Obliczyć kąt między wektorami (8,4,1) i (2,-2,1). 
14. Na jakiej wysokości  h naleŜy umieścić wektor  (10,20,h) aby był prostopadły do (5, -5, 100). 
15. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach  
16. Obliczyć pole równoległoboku (2,3,-6), (6,4,4), (3,7,4) 
17. Obliczyć objętość równoległościanu (oraz czworościanu) o wierzchołkach  (1,1,1), (-1,1,1), (1,-1,1) i (1,1,-1) 
18. ZnaleŜć rzut prostopadły wektora (1,3,5) na  wektor (3,-2,1). 
19.ZnaleŜć wektor jednostkowy prostopadły do wektorów (1,-2,0) i (0,3,-2) 
20. Jakie warunki musza spełniac wektory P,  Q i R  aby istniał prostopadłościan którego przekątnymi ścian 
wychodzącymi z jednego wierzchołka będą te wektory? 
21. ZnaleŜć punkt podziału odcinka o końcach (1,2,3,4) i (4,3,2,1) w proporcji 2:3. 
22.Obliczyć długość wektora a=5p-4q gdzie p iq są wzajemnie prostopadłymi wersorami. 
 
                                                                                                   Józef Osada