ZADANIA Z MATEMATYKI
opracowała
mgr inż. Joanna Korzeniewska
Spis treści
I. Wartość bezwzględna .................................................................................................................................................... 2
II. Działania na zbiorach .................................................................................................................................................... 3
III. Funkcja liniowa i kwadratowa ...................................................................................................................................... 3
IV. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna ........................................................................................................................... 5
V. Funkcja wielomianowa i wymierna .............................................................................................................................. 7
VI. Dziedziny i wykresy ...................................................................................................................................................... 8
VII. Granice i ciągłość ........................................................................................................................................................ 9
VIII. Asymptoty ................................................................................................................................................................ 11
IX. Pochodna funkcji ........................................................................................................................................................ 11
X. Przebieg zmienności funkcji ........................................................................................................................................ 13
XI. Całki nieoznaczone ..................................................................................................................................................... 14
XII. Całki oznaczone ......................................................................................................................................................... 15
XIII. Całki niewłaściwe ..................................................................................................................................................... 16
XIV. Równania różniczkowe ............................................................................................................................................ 16
Literatura......................................................................................................................................................................... 17
Zadanie 1.Przedstaw wyrażenie w prostszej postaci:
1. x 4x 4 2
2
4. 9x 12x 4 3
2. 5x 20x 20 2
5. x 10x 25 5
3. 9 6x x 3
Zadanie 2.Oblicz
1. 2 √3 √3 4
4. 2√3 √7 2√6 4
2. 2 3√2 1 √2
5. 1 √3 √3 √5
3. √2 √3 2 √5
6. 5 3√2 √5 2
Zadanie 3.Rozwiąż równania z wartością bezwzględną.
1. |x| 2 5
6. 4x 12x 9 12
2. |x 2| 4
7. | 1| | 2| 3
3. |2x 3| 10
8. | 2| | 1| 2
4. 22 x 10
9. |2 1| |3 1| 2
5. x 2x 1 6
10. | 3| | 4| 5
Zadanie 4.Rozwiąż nierównania z wartością bezwzględną.
1. |x 1| 1
6. 4x 12x 9 12
2. 2|x 2| 6
7. | 1| |2 1| 2
3. |3 4x| 9
8. |2 1| |2 | 6
4. x 4x 4 3
9. | 1| | 2| 3
5. x 6x 9 3
10. |2 3| | 1| 5
Zadanie 1. Dane są zbiory. Wyznacz zbiory ", $, " % $, " & $, "\$ :
3
1. " (: * + , | 1| 4- ; $ /: * + , 3 3 20
2. " (: * + , 4 3 1 - ; $ (: * + , | 3| 2-
3. " (: * + , 2| 1| 4- ; $ (: * + , 1 5 2-4. " (: * + , | 2| 3- ; $ (: * + , | 1| 1-
1
5. " (: * + , | 2| 3- ; $ /: * + , 2 1 10
4 2
6. " (: * + , |2 6| 4- ; $ /: * + , 1 3 3 00
2
7. " (: * + , 25- ; $ /: * + , 1 10
III. Funkcja liniowa i kwadratowa
Zadanie 1.Dana jest funkcja
1.y x 2x3
4. fx 2x 5x 3
2. y 2x 4x 6
5. fx 3x 4x 1
3. y 2x 3x 5
6. y 2x 10x 12
a)podaj współczynniki trójmianu kwadratowego
b)wyznacz wyróżnik trójmianu kwadratowego
c)określ współrzędne wierzchołka paraboli
d)podaj postać kanoniczną funkcji kwadratowej
e)znajdź miejsce zerowe funkcji jeżeli to możliwe
f)rozłóż na czynniki liniowe jeżeli to możliwe
g)narysuj wykres funkcji
h)podaj przedziały monotoniczności.
i)dla jakich argumentów funkcja przybiera wartości dodatnie
Zadanie 2.Rozwiąż równania i nierówności kwadratowe.
1. 3 35 0
5. 8 15 0
2.6 7 3
6. 3 5 1
3.2 9 5 2 1
7. 4 9 0
4. 4 3 0
8.4 0
Zadanie 3.Dla jakich wartości parametru m (4 * +) równanie ma dwa różne rozwiązania.
1. 24 5 4 1 0
3. 4 44 4 3 0
2. 2 3 1 4 0
4. 4 1 4 2 2 0
Zadanie 4.Dla jakich wartości parametru k (5 * +) równanie nie ma rozwiązania.
1. 3 24 4 1 4 3 0
3. 4 4 3 4 3 0
2. 24 1 4 3 0
4. 4 2 24 5 4 0
Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru k równanie ma dwa różne pierwiastki tego samego znaku: 1.2 4 4 6 0
3. 4 1 24 4 2 0
2. 24 2 44 0
4. 4 1 24 24 3 0
Zadanie 6.Napisz wzór funkcji liniowej, gdy :
6
a)jej wykres jest nachylony do osi pod kątem 1 oraz miejscem zerowym jest 2√3
b) jej wykres jest równoległy do prostej 7 4 6 i przechodzi przez punkt 81,7
c)jej wykres jest prostopadły do prostej 7 2 5 i przecina OY w punkcie 6.
Zadanie 7. Oblicz dla jakich wartości k funkcja liniowa :
1. 9 25 6 4 jest malejąca
2. 9 :1;<=? 3
>
jest rosnąca
3. 9 =;<@ 5
;AB
jest nierosnąca
IV. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Zadanie 1. Wykonaj działania na logarytmach
log
4. 2IJKL√L @
1.
√3
log 9 log 27
B
5. 4IJKL 1<1IJKL @
9 1
2. logB F G
1 √3
6. log 3 · log 4 · log1 2
3 logB 9 log 26 2 log √13
3.
1
log
1
@ 5 logH 3
Zadanie 2. Narysować funkcje wykładnicze
1. 9 2N<B
N
1
4. 9 F4G 1
2. 9 3|N|
5. 9 1 2NAB
1 |N|
3. 9 F2G
1 NA1
6. 9 2 · F2G 2
Zadanie 3. Narysować funkcje logarytmiczne
1. 9 log 1 2
4. 9 2 logB 3
1
2. 9 logB 2 2
IJK
1
L N
5. 9 F
3. 9 log
2G
1|| 1
6. 9 log
Zadanie 4. Rozwiąż równania i nierówności wykładnicze
1. 2NA> 32
10. √5 2=NA √5 2ONAB
1 A=
2. 2|=NAB| F
1
2G
11. 2=NAB 16
3. √61AN 6N<=
=NAB
1
12. F2G 16
4. 3NA= · 271AN 91NA1
1 NA=
5. 7NLA@N<> 1
13. 4N · 8 F2G
6. 2N<1 2N 112
1 NLA1N<@
1
14. F
7. 4N<B 4N 72
3G
27
NA1
8. 4N 3 · 2N 2 0
1
15. 3N< 3
9. 7N 6 · 7N 5 0
16. 0,2 N 251NA
19. 3N 3N<B 3
18. 5N 6 · 5N 5 0
20. 4N<B 4N 72
Zadanie 5. Rozwiąż równania i nierówności logarytmiczne
1. log1 2 2
13. logB logR 2
2. logN 64 3
14. logO log=H
1
3. logN<B 57
1
2
15. log 1 2
4. lnQ 7
16. log 6 8 3
5. logx logx 1 log6
17. logS,1 1 2logS,110 2
6. ln2x lnx 1 1
18.2 lnx 1 2ln5 T10
7. logB 3 logB 1
19. logB 3 logB 1 1
3
8. log Flog= F2 log1GG 1
20. log>AN 2 1
9. 2 log 1 log 3
21. log
NA1 4 1
10. Flog
22. log
G 2
B 1 4G logB 1 4
F1 logB
1
11. log
23. loglog
N<4 8 2
0
12. log
1
NLAB2 2 2
24. log@ 2 logS,S= 4 4 1
Zadanie 6.Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania 1. 4N 3 · 2N 4 0
3. 4N 2N< 4 1 0
2. 9N 3N<B 1 34 0
4. 9N 10 · 3N 54 3 0
V. Funkcja wielomianowa i wymierna
Zadanie 1. Rozwiąż równania i nierówności wielomianowe
1. 4 3 0
10. 2 12 13
2. 2 1 1 0
11. 2 3 2 0
3.5 1 1 0
12. 9 3 2 1 0
4. 21 8 8 = 9 0
13. 1 3 5 15 0
5.2> @ 64 32 0
14.51 15 3 0
6. 2@ 6= 41 12 6 18 0
15. = 41 5 0
7. = 31 3 1 9
16. 3 1 2 4 0
8. 1 3 4 0
17. 4 3 2 3 1 3 4 1 0
9. 1 3 2 0
18. 1 2 6 12
Zadanie 2. Narysować wykres funkcji i podać równania asymptot :
2
3
1. 9 1 3
8. 7 4
7
2 2
2. 9 √2
9. 7 2 3
3
2
3. 9 2 1
10. 7
5
2 1
4. 9 2 4
11. 7 U U
2 3
3
5. 7
12. 7 U 2U
3 10
6. 7
|| 2
4
11. 7 || 3
3 7
7. 7
2
5
12. 7 || 1
Zadanie 3. Rozwiąż równania i nierówności wymierne
2 1
4
1.
1
2 1 5
4. 2 2
1 1
2.
9 7
2 3
5. 1 1
1
5
3.1
2 5
6. 4 3
7.
3 9 1 16
2 3 2
10.
0
6
8.
4
3 5 3
11. 5 6 1
4
1
9.
5 1
12. 7 6 0
VI. Dziedziny i wykresy
Zadanie 1.Wyznacz dziedzinę funkcji :
1. 9 V 5
2 1 1
2. 9 V 2
4
NL
3. 9 QNA arcsin 4
3 1
4. 9 2\] N
N< arctg
5. 9 4 3 2
69 2 6 5 .
7. 9 1 7 3 21 2
1 2
8. 9 T F 6G
Zadanie 2. Narysować wykresy funkcji i podać dziedzinę oraz zbiór wartości: 2 1 * ∞, a1b
1. 9 _ln 1 * 1, Q a
g 2 * c4a, a0b
e
1
Q\]N * cQa, ∞
2. 9
ln 2 * 0,
a
f
Q
e
a
d 25 * c1Q ,5
1
g arcsinx 1 * c4a, a0b
e
5. 9 _ln F 2G 2 * c 4 , 3ba
3. 9 | 4| 1 * 0, √3 a
2NL<N * 3,3
f
3
e
a
d2 √3 * c√3
|NAB|
3 , ∞
g 1
F
* ∞, 2
6. 9
3G
a
f 3
d
4 * c2, ∞ a
g 1 2 * ∞, a3b
e
1
4. 9
2N 1 * 3,
a
f
2
e
a
d ln 2 √3 * c12 ,∞
VII. Granice i ciągłość
1.Oblicz granicę funkcji w punkcie S
2
1. lim
4
6. lim
NiAO 7
NiA 1 2 4 8
2 1
2. lim
7. lim 2 9
Ni= 5 2
NiS
5 4
√3 √3
3. lim
8. lim
NiAB
1 1
NiS
2
√ 5 3
9
4. lim
9. lim
Ni
2
Ni1 3
2
2 √ 3
5. lim
10. lim
NiB 1 1
NiB
1
2.Oblicz granice na krańcach nieskończoności.
1. lim 1 3 9
5 1
Ni<j
7. lim
NiAj 3 2 1
2. lim 21 3 18
NiAj
7 6
8. lim
3. lim 2= 31 6 12 8
NiAj
3 5
NiAj
4. lim > 4= 5
9. lim 2 1
NiAj
Ni<j
1 8
10. lim 4 4
5. lim
Ni<j
Ni<j 3 5 8
√= 3
7 8
11. lim
6. lim
NiAj 3 4 3
Ni<j 2 16 64
√ 5 5
12. lim
Ni<j
4 3
1. lim
2
9
Nik 4
4. lim
7. lim
Ni1k 3
k 2 1
NiB
2 3
2. lim
3
NiBl
5. lim
2 7
Ni=k 4
8. lim
NiA>l 36
2 1
3. lim
4
NiSl 2
6. lim
Ni@l 20
Zadanie 4. Oblicz granice
mn]1N
mn]>N
1.limNiS
5. lim
1 N
N
Ni ∞
N
9. limNiS 1N
2. limNiSmn]1N op1N
6. lim
N N
10. lim
1 6 N
N
@N
Ni ∞ N<B
Ni ∞
N
mn]N
mn]=N
3. limNiS
7.lim
11. lim
1 B N
=N
NiS opLN
Ni ∞
N
Nmn]N
4. limNi 1 1 N
12. lim
N<1 N
∞
8. lim
N
NiS NLqrmN
Ni ∞ N<@
Zadanie 5.Oblicz następujące granice stosując regułę de l’ Hospitala 1. lim √ 1 2
1. lim √ 3 √5
Ni1
2 6
NiB
√ 1
3 8
2. lim
2
NiA
2. lim
∞
2 1
Ni 4 4
st5
3. lim
uvT2 st
NiS st4
3. lim
NiS uvT
= 1 3 5 2
4. lim
3 4
4. lim
Ni
1 4 5 2
Ni ∞
8 1
Zadanie 6. Sprawdź , czy funkcja jest ciągła w podanym punkcie 1. 9 31 2 1 r 0
5. 9 w 6 4 x 3a
2 3 S 3
4
2. 9 1 r 4
6. 9 / 5 6 * ∞, 2
2 * c2, ∞ a a
3. 9 √ 2 r 7
S 2
4. 9 / 2 3 * ∞, 1
2 * c1, ∞ a S 1a
Zadanie 1.Wyznacz asymptoty poziome i pionowe wykresu funkcji, gdy: 1
2
1. 9 1
4. 9 1
2
2. 9
5. 9
1
2 1
4 5
2 2
3. 9
6. 9
2
4
Zadanie 2.Wyznacz równanie asymptoty ukośnej wykresu funkcji f, gdy:
3
1. 9 1
3. 9 2
2 2
1
2. 9
1
4. 9 1
Zadanie 3. Wyznacz równania asymptot funkcji
uvT
1. 7
3. 7 QN
21 3
5. 7 1
4. 7 4
3 1
1
2. 7
6. 7 2||
IX. Pochodna funkcji
Zadanie 1.wyznacz pochodne funkcji.
1. 9 √
1
9. 9 2 3
2. 9 √y
10. 9 3 2 1 1
3. 9 √y
y
11. 9 3 1
y
4. 9 √
12. 9 3 4
√y
13. 9 4QA=N
5. 9 3 4
14. 9 QN
6. 9 3 4 2
1
15. 9 2 T
7. 9 7O 2> 3= √3
16. 9 T√z{u
3 1
8. 9 2 5
Zadanie 2. Oblicz pochodne w punkcie |
1. 9 4 2; | 2
2. 9 √2 1 ; | 5
1
3. 9 2 ;| 3
4. 9 2 1 QN; | 0
}
5. 9 uvT2 ; | 3
Zadanie 3.Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie p, jeśli 1. 9 3 5, 8 1,3
6. 9 2 3, 8 2,3
2. 9 2√ , 8 4,4
7. 9 3√ , 8 9, 9
1
2
3. 9 2 ,8 S,4
8. 9 1 ,8 S,4
6
5
4
5
4. 9 2 ,8 S,2
9. 9 1 ,8 S,4
5. 9 4 , 8 S, 2
10. 9 2 , 8 S, 1
Zadanie 4.Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: 3
1. 9 1
2
7. 9 1
1
2. 9
2 2
5 @ = 1
8. 9
1
3. 9 = 2 1
1 3
9. 9
4. 9 1 3 2
2
5. 9 1 16 16
10. 9 1
6. 9 3
Zadanie 5. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji :
9 @ = 2 1
~ 9 16
9
z 9 2
1 1
9
Zadanie 6. Wyznaczyć drugą pochodną funkcji 9 : 9
Q 9 @ = 2 1
1
t 9 3 QN
1
~ 9 1
9 T
z 9 √3
v 9 T
9 √3 2
9 QN
Zadanie 3.Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia jej wykresu (o ile istnieją) :
= 1
9 12 6 3 2 1
9 1
= 1
1 T
~ 9
Q 9
4 3 2 2
z 9
9 9 ln 1
1
X. Przebieg zmienności funkcji
Zadanie 1. Wykonać przebieg zmienności funkcji
1. fx 2x1 3x 12x 18
2. fx xx 4
3. fx L<B
LA=
4. fx AB
5. fx xeA
6. fx 2x1 x 8x 2
7. fx 2xx 1
8. fx y
A
9. fx y
B< L
10. fx xeA
Zadanie 1. Oblicz całki
1.
14. <1
<B
2. ~ 1
15. uvT z{u
3. L
16. BANL
BAN
4. 6
N
17. : B ?
5. 10z{u
√BANL
18. NyAR
6. NL<N
NL
=
NL<N<=
19. 162N 1
7. uvT z{u
20.
N
8. NyAy
√NB<√N
NA
9. 21 3
21.
>LA@
10.
N
NLAB L
22. qrm
<1mn]
11. N<B
NL<N<
23. √
√N
12. mn]√N
√N
24. mn]\]N
N
13. \]N
N
Zadanie 2. Obliczyć całki:
1. N
11. 1 T
2. QNz{u
12. z{u
3. uvT3
13. QNuvT 1N
4. T
14. zst
5. 3Nz{u
15.
N
NLAN<@S
6. N
qrmLN
=
16. =N<@
7. QN
NLA>N<B1
8. cos 2 uvT
17.
NL
N<1 NLAN<BS
9. T
18.
B
y
B>NAB
10. Q L
19. N
RNLAN
Zadanie 3. Obliczyć całki :
1.
N
NLA=NA@
5.
B
NN_<B L
2.
B
NLAON<1
6.
B
HNyA>NL<=N
=
3.
B
ANLA=N
7. NAN
N<B y
4. NL<N<B
NyANL
8.
N
N<1 NL<N<@
=
Zadanie 1. Oblicz całki oznaczone
R
x= x1 16x 16x
1. 3 2x dx
10. √2 9
19.
S
S
B
x 16
dx
S
B
1
2. 3 x 4x dx
11. 4
20. | 2|
AB
AB
A
S
T1
6
3. 3x= x 1 dx
12.
21. z{u
AB
B
S
1
B
B :1 √x1 √x ?
13. QAN
L
4.
dx
22.
S
√ T
S
√x
B
S x 2x 2 x1
14. 3x 5 dx
S
5.
23. √1 4
AB
AB
x 1
dx
A>
B
S x1 2x 3x 6
15. 3 x 4x dx
B
6.
24. 1
S
A
x 2
dx
AB
=
16. 2x= 3x 4 dx
L T
7. |4 3 |
A
25.
S
B
1
S
B :1 √
y x1 √yx?
B
8. uvT
17.
dx
26. 2 1 QAN
A6
S
√x
S
S x 2x 2 x1
9. T
18.
AB
x 1
dx
B
Zadanie 2. Znajdź pola powierzchni figur ograniczonych podanymi krzywymi 1. 7 5 B 7 0, 6, 0
2. 7 3 7 0, 2, 2
3. 7 √, 7 0, 0, 4
4. 7 ||, 7 0, 2, 5
5. 7 1, 7 1, 0
6. 7 6, 7 2
7. 7 3 , 7 0, 1
8. 7 4 7 0
9. 7 √ 4, 7 0, 0
10. 7 ||, 7 1
11. 7 1, 7 0, 1, 2
12. 7 = 3, 7
Zadanie 1. Zbadaj zbieżność następujących całek niewłaściwych :
j
1.
N
R
B N
√\]N
8.
14. N
S
1 4
RAN
1
2.
N y
j
j
NA
9.
15.
N
B NANL
Aj 1 8
B
j
3. √ T
S
=
16. QAN
10. N
S
√=AN
S
4. L zst
S
B
17. j N
11. √A\]N
S N<B
B
S
N
5.
S
A
R
j
18.
N
12. N
y
S
Aj @NLA=N<B
6. j QA1N
√RAN
S
j
13. N
L
S
7.
mn]N
B =
XIV. Równania różniczkowe
Zadanie 1. Rozwiąż równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych 27
1
1. 7
5. 7 uvT
7
2.
7
7 7 1
6.1 7 0
3. 7 1 7 1 7 0
7. 7 1 1 7 0
37 7
4. 7
8. 7 71 7
Zadanie 2. Rozwiąż równania różniczkowe jednorodne
1.y 2xy 0
3. ycosx ysinx 0
2. y
4. y ytgx 0
B<L
Zadanie 3. Rozwiąż równania różniczkowe jednorodne
7 N
1. /yx yx 0a
y0 2
3.
A=a
70 1
2. /x 1 y 2y 0a
y2 2
4. /7 27 0a
71 2
1. Joanna Kujawa- „Zbiór zadań z matematyki dla szkół średnich”
2. Krzysztof Kłoczkow- „Zbiór zadań z matematyki dla licealistów kl. I-III.”
3. Krzysztof Kłoczkow- „Analiza matematyczna dla licealistów.”
4. Marek Lassak- „Zadania z analizy matematycznej”
5. Alicja Cewe i Halina Nahorska „Matura z matematyki od roku 2010 ”