Powtórzenie.
I. Obliczyć wartość wyrażenia.
1) 100
1
2
,
2) 25
0,5
,
3) 16
3
2
,
4) 8
2
3
,
5) 9
−
1
2
,
6)
µ
25
4
¶
1
2
,
7) (0, 25)
−
1
2
,
8) (0, 01)
−
1
2
,
9) (0, 001)
1
3
,
10)
µ
2
1
4
¶
−
1
2
,
11) (0, 125)
−
1
3
,
12) 3
1
2
· 27
1
6
,
13) 2
1
2
·
√
32,
14)
3
√
3 · 3
2
3
,
15)
"µ
2
3
¶
−1
− 0, 75
#
−1
.
II. Przedstawić dany pierwiastek w postaci potęgi.
1)
3
√
x,
2)
5
√
y,
3)
10
√
z,
4)
4
√
a
3
,
5)
7
√
b
5
,
6)
1
√
t
,
7)
1
4
√
d
,
8)
1
5
√
x
2
,
9)
a
√
x,
10)
a
p
y
b
,
11)
1
m
√
x
n
.
III. Przedstawić dane wyrażenie w postaci pierwiastka.
1) x
1
5
,
2) y
2
3
,
3) z
0,1
,
4) a
1
m
,
5) b
3
n
,
6) x
a
3
,
7) y
a
b
,
8) a
−
1
2
,
9) b
−
1
7
,
10) m
−
3
5
,
11) t
−
1
a
,
12) a
1
2
· a
1
3
,
13) b
1
2
· b
−
1
3
,
14) x
−0,2
· x
1,4
,
15)
√
x ·
4
√
x,
16)
3
√
x
2
·
4
√
x
3
,
17)
6
√
x
5
· x
−
1
3
,
18)
8
√
x
5
4
√
x
.
1
IV. Obliczyć wartość wyrażenia.
1) log
4
16,
2) log
2
32,
3) log
2
1
4
,
4) log 0, 1,
5) log 0, 001,
6) log
2
√
2,
7) log
3
4
√
3,
8) log
2
3
√
8,
9) log
1/2
4,
10) log
1/4
16,
11) log
1/3
1
9
,
12) log
0,1
10,
13) log
2/3
4
9
,
14) log 20 + log 5,
15) log 50 − log 5.
V. Rozwiązać równania stopnia pierwszego.
1) mx − n = 0,
2)
1
2
x = 7,
3)
2
3
x − 4 = 0,
4) 0, 5x −
1
4
= 0,
5)
1
2
x +
1
3
x +
3
4
x − 2x = 5,
6) mx + 3 = 2x − 7,
7) ax + b = cx + d,
8)
x
a
+
1
b
= 5,
9)
x − 1
a − b
=
x + 1
a + b
,
10)
x − 1
x + 1
=
x
x + 4
.
VI. Rozwiązać równania.
1) x
2
− 7x + 12 = 0,
2) x
2
− 8x + 16 = 0,
3) x
2
− 2x + 3 = 0
4) x
2
− 25 = 0,
5) 4x
2
− 9 = 0,
6) x
2
+ 7 = 0,
7) x
2
− 3x = 0,
8) 5x
2
+ 4x = 0,
9) x
2
+ mx = 0,
10) ax
2
+ bx = 0,
11)
x + 4
x + 2
−
x
x − 4
= 2,
12) x
3
− 1 = 0,
13) x
3
+ 8 = 0,
14) x
3
− 4x = 0,
15) 2x
3
− 3x
2
= 0,
16) x
3
− 4x
2
+ 3x = 0,
17) x
3
+ 2x
2
+ 5x = 0,
18) x
4
− 5x
2
+ 4 = 0.
2
VII. Roziązać układ równań liniowych.
1)
½
x + y = 7
x − y = 2
2)
½
2x + 3y = 5
2x − y = 3
3)
½
3x + 2y = 7
4x + 3y = 10
4)
½
ax + y = 3
2x + 3y = 4
5)
½
ax + by = 1
2x + y = 3
6)
½
ax + by = 5
cx + dy = 6
7)
½
mx + ny = a
px + ry = b
8)
2x + y + z = 7
3x − y + z = 4
4x + 5z = 19
VIII. Przedstawić graficznie kolejne trzy funkcje na jednym układzie współrzędnych.
1) y = x
2
,
y = x
2
+ 2,
y = x
2
− 1.
2) y = x
2
,
y = (x + 2)
2
,
y = (x − 1)
2
.
3) y = x
2
,
y = −x
2
,
y = −(x − 2)
2
.
4) y =
1
x
,
y =
1
x−1
,
y =
1
x
+ 1.
5) y = 3
x
,
3
x
− 1,
y = 3
−x
.
6) y = log
3
x,
y = log
3
(x − 2),
y = log
3
(x + 1).
IX. Rozwiązać nieróności.
1) 4x + 3 > 2x + 6,
2) 2x + 5 ≤ 6x + 9,
3)
1
2
x +
2
3
>
1
4
+ 2,
4) (2x + 3)
2
+ (x − 1)(x + 1) < 5x
2
− 6,
5) x
2
− 5x + 4 < 0,
6) x
2
− 3x + 2 ≥ 0,
7) 2x
2
+ 5x ≤ 0,
8) x
2
− 9 < 0,
9) 4x
2
− 1 > 0,
10)
x + 1
x + 2
< 0,
11)
2x + 1
x − 1
≥ 1,
12)
x
2
− 2x
x + 4
< 0,
13)
2x + 3
1 − x
2
> 0,
14)
x
2
− 4x − 5
x − x
2
≥ 0.
3
X. Rrozwiązać układ nierówności.
1)
½
2x + 3 > 0
3x − 1 < x + 5
2)
½
3x + 4 < 4x + 6
2x + 5 > x + 6
3)
½
3x + 2 > 2x − 5
1
4
x − 1 > 0
4) 2x + 3 < 3x + 1 < x + 9,
5) 2x + 3 > 3x + 4 > x + 6.
XI. Wyznaczyć funkcję odwrotną względem danej funkcji.
1) y =
1
3
x − 2,
2) v = 5t − 10,
3) y = 3
x
,
4) s = 5
t
,
5) y = log x,
6) a = log
2
b,
7) y =
x + 1
x − 1
.
Odpowiedzi I.
1) 10,
2) 5,
3) 64,
4) 4,
5)
1
3
,
6)
5
2
,
7) 2,
8) 10,
9) 10,
10)
2
3
,
11) 2,
12) 3,
13) 8,
14) 3,
15)
4
3
.
II.
1) x
1
3
,
2) y
1
5
,
3) 2
1
10
,
4) a
3
4
,
5) b
5
7
,
6) t
−
1
2
,
7) d
−
1
4
,
8) b
−
2
5
,
9) x
1
a
,
10) y
b
a
,
11) x
−
n
m
.
4
III.
1)
5
√
x,
2)
3
p
y
2
,
3)
10
√
z,
4)
m
√
a,
5)
n
√
b
3
,
6)
3
√
x
a
,
7)
b
√
y
a
,
8)
1
√
a
,
9)
1
7
√
b
,
10)
1
5
√
m
3
,
11)
1
a
√
t
,
12)
6
√
a
5
,
13)
6
√
b,
14)
5
√
x
6
,
15)
4
√
x
3
,
16)
12
√
x
17
,
17)
√
x,
18)
8
√
x
3
.
IV.
1) 2,
2) 5,
3) − 2,
4) − 1,
5) − 3
6)
1
2
,
7)
1
4
,
8) 1,
9) − 2,
10) − 2,
11) 2,
12) − 1,
13) 2,
14) 2,
15) 1.
V.
1) x =
n
m
,
2) x = 14,
3) x = 6,
4) x =
1
2
,
5) x = −
5
12
,
6) x =
10
2 − m
,
7) x =
d − b
a − c
,
8) x =
a(5b + 1)
b
,
9) x =
a
b
,
10) x = 2.
5
VI.
1) x
1
= 2, x
2
= 4,
2) x
0
= 4,
3) x ∈ ∅,
4) x
1
= −5, x
2
= 5,
5) x
1
= −
2
3
, x
2
=
2
3
,
6) x ∈ ∅,
7) x
1
= 0, x
2
= 3,
8) x
1
= −
4
5
, x
2
= 0,
9) x
1
= −m, x
2
= 0,
10) x
1
= −
b
a
, x
2
= 0,
11) x
1
= 0, x
2
= 1,
12) x = 1,
13) x = −2,
14) x = 0, x = ±2,
15) x
1
= 0, x
2
=
3
2
,
16) x
1
= 0 x
2
= 1, x
3
= 2,
17) x = 0,
18) x = ±1, x = ±
√
2.
VII.
1) x =
9
2
, y =
5
2
,
2) x =
7
4
, y =
1
2
,
3) x = 1, y = 2,
4) x =
5
3a − 2
, y =
4a − 6
3a − 2
,
5) x =
1 − 3b
a − 2b
, y =
3a − 2
a − 2b
,
6) x =
5d − 6b
ad − bc
, y =
6a − 5c
ad − bc
,
7) x =
ar − bn
mr − np
, y =
bm − ap
mr − np
,
8) x = 1, y = 2, z = 3.
IX.
1) x ∈ (
3
2
, +∞),
2) x ∈ h−1, +∞),
3) x ∈ (
19
6
, +∞),
4) x ∈ (−∞, −
7
6
),
5) x ∈ (1, 4),
6) x ∈ (−∞, 1i ∪ h2, +∞),
7) h−
5
2
, 0i,
8) x ∈ (−3, 3),
9) x ∈ (−∞, −
1
2
) ∪ (
1
2
, +∞),
10) x ∈ (−2, −1),
11) x ∈ (−∞, −2i ∪ (1, +∞),
12) x ∈ (−∞, −4) ∪ (0, 2),
13) x ∈ (−∞, −
3
2
) ∪ (−1, 1),
14) x ∈ h−1, 0) ∪ (1, 5i.
6
X.
1) x ∈ (−
3
2
, 3),
2) x ∈ (1, +∞),
3) x ∈ (4, +∞),
4) x ∈ (−2, 4),
5) x ∈ ∅.
XI.
1) y = 3x + 6,
2) v =
1
5
t + 2,
3) y = log
2
x,
4) s = log
5
t,
5) y = 10
x
,
6) a = 2
b
,
7) y =
x + 1
x − 1
.
Macierze, wyznaczniki i układy równań.
I. Obliczyć wartość wyznacznika.
1)
¯
¯
¯
¯
5 3
4 8
¯
¯
¯
¯ ,
2)
¯
¯
¯
¯
17 3
34 7
¯
¯
¯
¯ ,
3)
¯
¯
¯
¯
x x + y
y x + y
¯
¯
¯
¯ ,
4)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 4 6
4 5 6
7 8 9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
5)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 3
1 1 2
3 2 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
6)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 3 2
1
0 2 1
1
0 3 2 −2
0 4 0
5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
7)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 3
2
0
1 2
4
3
2 3 −2 1
0 4
0
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
II. Rozwiązać równanie.
1)
¯
¯
¯
¯
2x 3x
1
4
¯
¯
¯
¯ = 10,
2)
¯
¯
¯
¯
x − 3 2
−1
x
¯
¯
¯
¯ = 0,
3)
¯
¯
¯
¯
3x + 4 −3
2
x
¯
¯
¯
¯ = 6,
4)
¯
¯
¯
¯
x
−2
2 x − 2
¯
¯
¯
¯ = 0,
5)
¯
¯
¯
¯
ax + b 1
cx + d 2
¯
¯
¯
¯ = 0,
6)
¯
¯
¯
¯
5
x
−10
0, 1
−1
¯
¯
¯
¯ = 0,
4)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
0
0 x
2
−2
1 x
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0,
5)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 x
2
5
1
2
−4
1
1
x
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0.
7
III. Rozwiązać nierówność.
1)
¯
¯
¯
¯
2x 3
2
1
¯
¯
¯
¯ > 0,
2)
¯
¯
¯
¯
x − 6 4
−2
x
¯
¯
¯
¯ < 0,
3)
¯
¯
¯
¯
2 − x x
−1
x
¯
¯
¯
¯ < 0,
4)
¯
¯
¯
¯
1
x−2
x
2
0
x − 1
¯
¯
¯
¯ < 0,
5)
¯
¯
¯
¯
1
x+1
1
1
x + 2
¯
¯
¯
¯ > 0.
IV. Dane są macierze
A =
·
1
2
2 −3
¸
,
B =
·
0 1
2
3 0 −1
¸
, C =
·
0 3
2 4
¸
,
D =
2
0
1
2
0 −1
, E =
·
1 0
0 1
¸
,
F =
x y z
a
b c
m n p
, G =
0 0 2
0 2 0
2 0 0
,
H =
1 2 0 1
3 2 0 1
0 1 2 1
, L =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Znaleźć macierze.
M
1
= A + C,
M
2
= 3A + 2C,
M
3
= A − E,
M
4
= B + D
T
,
M
5
= A · C,
M
6
= A · E,
M
7
= A · C
T
,
M
8
= B · D,
M
9
= D · B,
M
10
= D · E,
M
11
= E · D,
M
12
= F · G,
M
13
= G · F,
M
14
= H
T
· L,
M
15
= L · H.
V. Dla jakich wartości x i y macierze A i B są równe.
1) A =
£
x + 1 y
¤
,
B =
£
2y x − 1
¤
,
2) A =
£ √
3 4
¤
,
B =
£
3
x
log
2
y
¤
,
3) A =
·
x + 2
0
3
y + 1
¸
,
B =
·
y + 1
0
3
2x
¸
.
VI. Dla jakich wartości x, y i z macierze A i B są równe.
1) A =
£
x + y x + z y + z
¤
,
B =
£
3 4 −1
¤
,
2) A =
·
x + y 0
x − z z
¸
,
B =
·
2
0
1 y − 3
¸
.
8
VII. Dla jakich wartości x i y spełnione są równania.
1) A + B = C, gdzie A =
·
x
2
y −1
¸
,
B =
·
y
−2
−x
1
¸
,
C =
·
4 0
2 0
¸
,
2) 2A − B = C, gdzie A =
·
x 3
x 3
¸
,
B =
·
y
1
−y 0
¸
,
C =
·
3 5
x 6
¸
,
3) A + B = C, gdzie A =
·
ax x − y
mx
3
¸
,
B =
·
by y − x
ny
1
¸
,
C =
·
c 0
d 4
¸
.
VIII. Dla jakich wartości x i y spełnione są równania.
1) A · B = C, gdzie A =
·
1 2
1 1
¸
,
B =
·
x
y
¸
,
C =
·
1
0
¸
,
2) A · B = C, gdzie A =
·
4 2
2 1
¸
,
B =
·
x
y
¸
,
C =
·
2
1
¸
,
3) A · B = C, gdzie A =
·
1 1
2 2
¸
,
B =
·
x
y
¸
,
C =
·
3
4
¸
.
IX. Dla jakich wartości x macierz A jest osobliwa?
1) A =
·
x − 8 −2
8
x
¸
,
2) A =
·
x + 2 2
x + 1 x
¸
,
3) A =
·
x + 2 2
−2
x
¸
,
4) A =
1 2 3
7 8 x
4 5 6
,
5) A =
·
4 − log x
1
4
log x
¸
.
X. Znaleźć macierz odwrotną względem macierzy A.
1) A =
·
2 4
1 3
¸
,
2) A =
2 0 0
0 2 0
0 0 2
,
3) A =
1 2 3
2 1 1
3 0 0
.
XI. Rozwiązać układ równań za pomocą macierzy odwrotnej.
1)
½
x + y = 3
x − y = 1
2)
½
2x + y = 1
x + y = 0
3)
2x − 4y + 3z = 1
x − 2y + 4z = 3
3x − y + 5z = 2
9
XII. Rozwiązać układ równań za pomocą wzorów Cramera.
1)
½
2x − y = 3
x + 2y = 4
2)
½
ax + by = r
mx + ny = s
3)
x + y = 3
2x − z = −1
y + z = 5
4)
x + 2y + 3z = 6
2x + y + z = 2
3x − y + 2z = 4
XIII. Dla jakich wartości a dany układ równań jest oznaczony.
1)
½
ax + y = 2
4x + y = 3
2)
½
x + ay = 2
2x + y = 4
XIV. Dla jakich wartości a dany układ równań ma niezerowe rozwiązania. Znaleźć te rozwiązania.
1)
½
ax + y = 0
2x + y = 0
2)
ax − y + z = 0
2x + y + z = 0
3x + 3y + 2z = 0
Odpowiedzi.
I.
1) 28,
2) 17,
3) x
2
− y
2
,
4) 0,
5) 4,
6) − 22,
7) 112.
II.
1) x = 2,
2) x
1
= 1, x
2
= 2,
3) x
1
= −
4
3
, x
2
= 0,
4) x ∈ ∅,
5) x =
d − 2b
2a − c
,
6) x = 0,
7) x = −1 ±
√
5,
8) x ∈ ∅.
III.
1) x ∈ (3, +∞),
2) x ∈ (2.4),
3) x ∈ (−∞, 0) ∪ (3, +∞),
4) x ∈ (1, 2),
5) x ∈ (−1, +∞).
10
IV.
M
1
=
·
1 5
4 1
¸
,
M
2
=
·
3
12
10 −1
¸
,
M
3
=
·
0
2
2 −4
¸
,
M
4
=
·
2 2
2
3 2 −2
¸
,
M
5
=
·
4
11
−6 −6
¸
,
M
6
=
·
1
2
2 −3
¸
,
M
7
=
·
6
10
−92 −8
¸
,
M
8
=
·
1 0
6 1
¸
,
M
9
=
0
2 4
6
1 0
−3 0 1
,
M
10
=
2
0
1
2
0 −1
,
M
11
nie istnieje,
M
12
=
2z 2y
2x
2c 2b
2a
2p 2n 2m
,
M
13
=
2m 2n 2p
2a
2b 2c
2x 2y 2z
,
M
14
=
1 3 0
2 2 1
0 0 2
1 1 1
,
M
15
=
1 2 0 1
3 2 0 1
0 1 2 1
,
V.
1) x = 3, y = 2,
2) x =
1
2
, y = 2,
3) x = 2, y = 3.
VI.
1) x = 4, y = −1, z = 0,
2) x = 0, y = 2, z = 3.
VII.
1) x = 1, y = 3,
2) x = 1, y = 0,
3) x =
cn − bd
an − bm
, y =
ad − cm
an − bm
.
VIII.
1) x = 0, y = 1,
2) y = 1 − 2x, x ∈ R,
3) x ∈ ∅, y ∈ ∅.
IX.
1) x = 4,
2) x = ±
√
2,
3) x ∈ ∅,
4) x = 9,
5) x = 100.
11
X.
1) A
−1
=
·
3
2
−2
−
1
2
1
1
¸
,
2) A
−1
=
1
2
0 0
0
1
2
0
0 0
1
2
,
3) A
−1
=
0
0
1
3
−1
3
−
5
3
1
−2
1
.
XI.
1) x = 2, y = 1,
2) x = 1, y = −1,
3) x = −1, y = 0, z = 1.
XII.
1) x = 2, y = 1,
2) x =
nr − bs
an − bm
, y =
as − mr
an − bm
,
3) x = 1, y = 2, z = 3,
4) x = 0, y = 0, z = 0.
XIII.
1) a 6= 4,
2) a 6=
1
2
.
XIV.
1) a = 2, y = −2x x ∈ R,
2) a = 4, x = −
1
3
z, y = −
1
3
z, z ∈ R.
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej.
I. Znaleźć dziedzinę funkcji.
1) f (x) =
√
2x − 4,
2) f (x) = log(3 − 2x),
3) f (x) = log(x − x
2
),
4) f (x) =
√
x
2
− 4,
5) f (x) =
√
x
2
− 4x + 4,
6) f (x) = ln(10x − x
2
− 25),
7) f (x) = ln
x − 1
x − 2
,
8) f (x) = ln(x − 1) + ln(x − 2),
9) f (x) =
p
log(x − 3).
12
II Obliczyć pochodną funkcji.
1) y = x
5
,
2) y = x
1/3
,
3) y = x
0,1
,
4) y = x
−3
,
5) y =
3
√
x,
6) y =
1
x
4
,
7) y = t
3
,
8) K =
1
r
,
9) v =
√
t,
10) y = x
4
+ 3x
2
+ 5x + 7,
11) u = t
7
+ 2t
5
+
1
t
3
,
12) w =
3
√
s +
1
s
2
+
√
3,
13) F =
√
t + 4
4
√
t
3
,
14) y = x
2
· e
x
,
15) y = x
3
lnx,
16) y = t
4
· 2
t
,
17) y =
e
x
x
,
18) u =
lnt
t
2
19)y =
x
2
+ 2x
e
x
,
20) y =
2x + 3
3x + 2
,
21) K =
t
2
+ 3
2t + 1
.
III Obliczyć pochodną funkcji złożonej.
1) y = e
20x
,
2) y = e
2−3x
,
3) T = e
5s+3
,
4) k = e
t
3
,
5) y = ln3x,
6) y = ln(5x + 3),
7) y = ln(x
2
+ 5x),
8) y = (x
2
+ 1)
10
,
9) y = (1 + lnx)
5
,
10) y =
√
3x + 7,
11) y =
7
p
(2x + 1)
2
.
IV Narysować funkcję i jej pochodną (na tym samym układzie współrzędnych).
1) y = 4x,
2) y =
1
2
x,
3) y = 1 − x,
4) y = e
2x
,
5) y = e
−x
,
6) y = x
2
,
7) y = lnx,
V Wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest rosnąca.
1) y = x
2
− 2x,
2) y = x
3
− 3x,
3) y = ln(x
2
− 2x).
VI Wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest malejąca.
1) y =
1
x
,
2) y =
1
3
x
3
−
3
2
x
2
, +2x,
3) y = −x
2
+ 2x.
13
VII Obliczyć wartość funkcji oraz jej pochodną w danym punkcie.
1) f (x) = x
2
+ 2x,
x
0
= 2,
2) f (x) = x
3
− 9x,
x
0
= 1,
3) f (x) =
1
x
,
x
0
=
1
2
,
4) f (x) = x · e
x
,
x
0
= 0,
5) f (x) =
lnx
x
,
x
0
= 1,
6) f (x) = (x
2
+ 1)
5
,
x
0
= 0,
7) f (x) =
x − 1
x + 1
,
x
0
= 1,
8) f (x) = e
x
+ e
2x
+ e
−x
,
x
0
= ln2.
VIII Obliczyć pochodną drugiego rzędu (w zad. 1, 2, 3 również trzeciego rzędu).
1) y = x
4
+ 5x
2
+ 3x,
2) y = e
2x
+ e
−x
,
3) y = lnx,
4) K = e
−5t
,
5) R = e
t
2
,
6) s = ln(2t + 3).
IX Wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest wypukła ku górze
(zad. 1, 2, 3) oraz wypukła ku dołowi (zad. 4,5,6).
1) f (x) = x
2
− 3x,
2) f (x) = x
3
− 9x,
3) f (x) = lnx,
4) f (x) = 4 − 2x
2
,
5) f (x) = 12x − x
3
,
6) f (x) = x
4
− x
3
.
X Wyznaczyć przedziały, w których funkcja rośnie coraz szybciej
(zad. 1, 2), maleje coraz wolniej (zad. 3, 4).
1) f (x) = x
3
− 3x,
2) f (x) = x +
1
x
,
3) f (x) = 12x − x
3
,
4) f (x) =
1
x
.
XI Wyznaczyć ekstrema funkcji.
1) f (x) = x
2
− 6x + 9,
2) f (x) = x
2
+ 4x + 5,
3) f (x) = x
3
,
4) f (x) = e
−
1
2
x
2
,
5) f (x) = e
x
+ e
−x
,
6) f (x) = x
4
− 6x
2
.
14
XII Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji.
1) f (x) = x
3
,
2) f (x) =
1
3
x
3
− x
2
,
3) f (x) = 2x −
1
x
,
4) f (x) = e
−
1
2
x
2
.
XIII Wyznaczyć miejsca zerowe, ekstrema i punkty przegięcia funkcji oraz
naszkicować jej wykres.
1) f (x) = x
3
+ 6x
2
,
2) f (x) = x
3
+ 6x
2
+ 9x,
3) f (x) = 4x
2
−
1
4
x
4
,
4) f (x) =
lnx
x
.
Odpowiedzi.
I.
1) x ∈ h2, +∞),
2) x ∈ (−∞,
3
2
),
3) x ∈ (0, 1),
4) x ∈ (−∞, −2i ∪ h2, +∞),
5) x ∈ R,
6) x ∈ ∅,
7) x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, +∞),
8) x ∈ (2, +∞),
9) x ∈ h4, +∞).
15
II.
1) 5x
4
,
2)
1
3
3
√
x
2
,
3) 0, 1y
−0,9
4) − 3x
−4
,
5)
1
3
3
√
x
2
,
6) − 4e
−5
,
7) 3t
2
,
8) −
1
r
2
,
9)
1
2
√
t
,
10) 4x
3
+ 6x + 5,
11) 7t
6
+ 10t
4
−
3
t
4
,
12)
1
3
3
√
s
2
−
2
s
3
,
13)
1
2
√
t
+
3
4
√
t
,
14) (2x + x
2
)e
x
,
15) (3lnx + 1)x
2
,
16) (4 + tln2)t
3
2
t
,
17)
e
x
(x − 1)
x
2
,
18)
1 − 2lnt
t
3
,
19)
2 − x
2
e
x
,
20) −
5
(3x + 2)
2
,
21)
2t
2
+ 2t − 6
(2t + 1)
2
.
III.
1) 20e
20x
,
2) − 3e
2−3x
,
3) 5e
5s+3
,
4) 3t
2
e
t
3
,
5)
1
x
,
6)
5
5x + 3
,
7)
2x + 5
x
2
+ 5x
,
8) 20x(x
2
+ 1)
11
,
9)
5(1 + lnx)
4
x
,
10)
3
2
√
3x + 7
,
11)
4
7
7
p
(2x + 1)
5
.
V.
1) x ∈ (1, +∞),
2) x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞),
3) x ∈ (2, +∞).
VI.
1) x ∈ R \ {0},
2) x ∈ (1, 2),
3) x ∈ (1, +∞).
16
VII.
1) f (2) = 8, f
0
(2) = 6,
2) f (1) = −8, f
0
(1) = −6,
3) f (
1
2
) = 2, f
0
(
1
2
) = −4,
4) f (0) = 0, f
0
(0) = 1,
5) f (1) = 0, f
0
(1) = 1,
6) f (0) = 1, f
0
(0) = 5,
7) f (1) = 0, f
0
(1) =
1
2
,
8) f (ln2) = 6, 5, f
0
(ln2) = 9, 5.
VIII.
1) y
0
= 4x
3
+ 10x + 3,
y
00
= 12x
2
+ 10,
y
000
= 24x,
2) y
0
= 2e
2x
− e
−x
,
y
00
= 4e
2x
+ e
−x
,
y
000
= 8e
2x
− e
−x
,
3) y
0
=
1
x
,
y
00
= −
1
x
2
,
y
000
=
2
x
3
,
4) K
0
= −5e
−5t
,
K
00
= 25e
−5t
,
5) R
0
= 2te
t
2
,
R
00
= (2 + 4t
2
)e
t
2
,
6) s
0
=
2
2t + 3
,
s
00
= −
4
(2t + 3)
2
,
IX.
1) x ∈ ∅,
2) x ∈ (−∞, 0),
3) x ∈ (0, +∞),
4) x ∈ ∅,
5) x ∈ (−∞, 0),
6) x ∈ (−∞, 0) ∪ (
1
2
, +∞).
X.
1) x ∈ (1, +∞),
2) x ∈ (1, +∞),
3) x ∈ (−∞, −2),
4) x ∈ (0, +∞).
XI.
1) f
min
(3) = 0,
2) f
min
(−2) = 1,
3) Brak ekstremów,
4) f
max
(0) = 1,
5) f
min
(0) = 2,
6) f
min
(−
√
3) = f
min
(
√
3) = −9, f
max
(0) = 0.
17
XII.
1) (0, 0),
2) (1, −
2
3
),
3) Brak punktów przegięcia,
4) (1, −
1
√
e
), (−1, −
1
√
e
).
XIII.
1) Miejsca zerowe (0, 0), (−6, 0),
f
max
(−4) = 160, f
min
(0) = 0,
punkt przegięcia (−2, 16).
2) Miejsca zerowe (0, 0), (−3, 0),
f
max
(−3) = 0, f
min
(−1) = 4,
punkt przegięcia (−2, −2).
3) Miejsca zerowe (0, 0), (−4, 0), (4, 0)
f
max
(−
√
8) = f
max
(
√
8 = 16, f
min
(0) = 0,
punkty przegięcia
¡
−
q
8
3
,
80
9
¢
,
¡q
8
3
,
80
9
¢
.
4) Miejsce zerowe (1, 0),
f
max
(e) =
1
e
,
punkt przegięcia
¡
e
3
2
,
3
2
e
−
3
2
¢
.
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.
I Określić i przedstawić graficznie dziedzinę funkcji.
1) f (x, y) =
√
x + lny,
2) f (x, y) = log(x + 2) −
p
y − 1,
3) f (x, y) =
p
2y − x,
4) f (x, y) =
√
y − x − ln(x − 1),
5) f (x, y) =
p
y − 2x − ln(y + x),
6) f (x, y) = log(y − x) −
p
x + 1 − y,
7) f (x, y) = log(y − x
2
+ 1),
8) f (x, y) =
p
y − x
2
+ ln(1 − x
2
− y),
9) f (x, y) =
√
y − e
x
− log(y + e
x
− 1),
10) f (x, y) =
√
y −
p
lnx − y,
10) f (x, y) =
p
y − lnx − log[ln(x + 1) − y].
18
II Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji.
1) z = x
5
+ y
3
+ e
x
− lny,
2) z = x
0,5
+ y
−0,2
+ e
3x
− 2
y
,
3) z =
1
x
+
2
y
2
−
3
x
3
+
8
y
4
,
4) z =
√
xy,
5) u = x
2
+ 3y
3
− 4z
5
+ xy
4
− 3z
2
x
5
− 2y
4
z
7
,
6) s = 3t
2
+ 4t
5
r
7
,
7) w = t
2
+ r
5
+ e
−t
+ ln(2r + 3),
8) T = u
1
2
+ v
−3,5
− e
3u
,
9) K = t
2
y
3
+ 4ty
5
− t
4
e
2y
,
10) z = e
2x+3y
+ ln(5x − 4y),
11) z = e
x
2
−y
3
+ ln(3x
4
− 7y + 2),
12) z =
x
y
+
y
2
x
3
,
13) z = (3x
2
− 5y
4
)
10
,
14) u = t
2
3
√
s +
1
r
,
15) v =
t + 2s
3t + s
.
III Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji.
1) z = x
4
+ 3y
2
+ e
2x
− e
−y
,
2) z =
1
x
+
2
y
2
+ x
4
y
5
,
3) u = e
2x−3t
+
x
2
t
,
4) w = t
5
v
3
+ e
5t
− e
−2v
,
5) R = u
2
v
3
−
1
u
+ lnv + e
2u−5v
+ (2u + 3)
2
.
Odpowiedzi.
I.
1)
½
x ≥ 0
y > 0
2)
½
x > −2
y ≥ 1
3) y ≥
1
2
x
4)
½
y ≥ x
x > 1
5)
½
y ≥ 2x
y > −x
6)
½
x ≤ x + 1
y > x
7) y > x
2
− 1
8)
½
y ≥ x
2
y < 1 − x
2
9)
½
y ≥ e
x
y > 1 − e
x
10)
½
y ≥ 0
y ≤ lnx
11)
x ≥ lnx
y < ln(x + 1)
x > −1
19
II.
1) z
0
x
= 5x
4
+ e
x
,
z
0
y
= 3y
2
−
1
y
.
2) z
0
x
= 0, 5x
−0,5
+ 3e
3x
,
z
0
y
= −0, 2y
−1,2
− 2
y
ln2.
3) z
0
x
= −
1
x
2
+
9
x
4
,
z
0
y
= −
4
y
3
−
32
y
5
.
4) z
0
x
=
1
2
p
y
x
,
z
0
y
=
1
2
q
x
y
.
5) u
0
x
= 2x + y
4
− 15z
2
x
4
,
u
0
y
= 9y
2
+ 4xy
3
− 8y
3
z
7
,
u
0
z
= −20z
4
− 6zx
5
− 14y
4
z
6
.
6) s
0
t
= 6t + 20t
4
r
7
,
s
0
r
= 28t
5
r
6
.
7) w
0
t
= 2t − e
−t
,
w
0
r
= 5r
4
+
2
2r+3
.
8) T
0
u
=
1
2
u
−
1
2
− 3e
3u
,
t
0
v
= −3, 5v
−4,5
.
9) K
0
t
= 2ty
3
+ 4y
5
− 4t
3
e
2y
,
K
0
y
= 3t
2
y
2
+ 20ty
4
− 2t
4
e
2y
.
10) z
0
x
= 2e
2x+3y
+
5
5x−4y
,
z
0
y
= 3e
2x+3y
−
4
5x−4y
.
11) z
0
x
= 2xe
x
2
−y
3
+
12x
3
3x
4
−7y+2
,
z
0
y
= −3y
2
e
x
2
−y
3
−
7
3x
4
−7y+2
.
12) z
0
x
=
1
y
−
3y
2
x
4
,
z
0
y
= −
x
y
2
2y
x
3
.
13) z
0
x
= 60x(3x
2
− 5y
4
),
z
0
y
= −200y
3
(3x
2
− 5y
4
).
14) u
0
t
=
3
√
s,
u
0
r
= −
1
r
2
,
u
0
s
=
t
2
3
3
√
s
2
.
15) v
0
s
=
5t
(3t+3)
2
,
v
0
t
= −
5s
(3t+s)
2
.
III.
1) z
00
xx
= 12x
2
+ 4e
2x
,
z
00
yy
= 6 − e
−y
,
z
00
xy
= 0.
2) z
00
xx
=
2
x
3
,
z
00
yy
=
12
y
4
+ 20x
4
y
3
,
z
00
xy
= 20x
3
y
4
.
3) u
00
xx
= 4e
2x−3t
+
2x
t
,
u
00
tt
= 9r
2x−3t
+
2x
2
t
3
+ 20x
4
y
3
,
u
00
xt
= −6e
2x−3t
−
2x
t
2
.
4) w
00
tt
= 20t
3
v
3
,
w
00
vv
= 6t
5
v − 4e
−2v
,
w
00
tv
= 15t
4
v
2
.
5) R
00
uu
= 2v
3
−
2
v
3
− 10e
2u−5v
+ 8,
R
00
vv
= 6u
2
v −
1
v
2
+ 25e
2u−5v
,
R
00
uv
= 6uv
2
− 10e
2u−5v
.
20
Rachunek całkowy
I Obliczyć całki nieoznaczone.
1)
Z
(x
2
+ x
3
+ x
5
)dx,
2)
Z
(t
5
− 5t
4
− 8t)dt,
3)
Z
(x
1
2
+ x
2
3
− x
0,2
)dx,
4)
Z
(s
1
4
+ 2s
−3
+ 4s
−
1
2
)ds,
5)
Z
(
√
x +
3
√
x +
4
√
x
3
)dx,
6)
Z ³
1
√
t
+
1
3
√
t
2
´
dt,
7)
Z ³
1
x
2
−
2
x
3
+
5
x
6
´
dx,
8)
Z ³
3
t
4
−
4
t
5
+ 7
´
dt,
9)
Z ³
t
√
t −
1
√
t
´
dt,
10)
Z
(
3
√
s
2
−
4
√
s
3
)ds,
11)
Z
(2x + 5)
2
dx,
12)
Z
(2x + 3)(2x − 3)dx,
13)
Z
x
2
− 1
x − 1
dx,
14)
Z
x
3
+ x
2
+ x − 3
x
4
dx.
II Obliczyć całki.
1)
Z
(e
x
+ e
2x
− 6e
−3x
)dx,
2)
Z
(e
5t
− 7e
−t
+ e
3
)dt,
3)
Z
(e
mx
− e
nx
+ e
3x+4
)dx,
4)
Z
(
√
e
x
+
4
√
e
3x
)dx,
5)
Z ³
1
e
x
−
2
e
2x
+
1
3
´
dx,
6)
Z
(2
x
+ 2
3x
+ 2
−x
)dx.
III Obliczyć całki.
1)
Z ³
1
x
+
1
x − 1
+
2
x + 1
´
dx,
2)
Z ³
1
3x
+
1
2x − 1
+
2
4x + 3
´
dx,
3)
Z ³
2x
x
2
+ 1
−
x
x
2
+ 4
+
6x
2
x
3
+ 1
+
x
3
x
4
+ 2
´
dx,
4)
Z
(t + 1)
2
t
3
dt,
21
IV Obliczyć całki oznaczone.
1)
Z
3
0
x
2
dx,
2)
Z
2
1
(4x + 1)dx,
3)
Z
1
0
(3t
2
+ 2t)dt,
4)
Z
1
1
2
1
t
2
dt,
5)
Z
e
1
1
x
dx,
6)
Z
2
0
e
x
dx,
7)
Z
ln2
0
e
t
dt,
8)
Z
4
1
1
√
x
dx,
9)
Z
3
2
1
r − 1
dr,
10)
Z
1
0
3
√
xdx,
11)
Z
2
0
(2t + 5)
2
dt,
12)
Z
2
0
√
e
x
dx.
V Obliczyć za pomocą całki oznaczonej pole obszaru ograniczonego osią OX
oraz krzywą f(x) w danym przedziale. Narysować wykres.
1) f (x) = 2x + 2
w przedziale h0, 2i,
2) f (x) = 8 − 2x
w przedziale h1, 2i,
3) f (x) = 6x − 3x
2
w przedziale h0, 2i,
4) f (x) = 12x − 6x
2
w przedziale h1, 2i,
5) f (x) = 3x
2
− 12x
w przedziale h4, 5i.
22
Odpowiedzi. I.
1)
1
3
x
3
+
1
4
x
4
+
1
6
x
6
+ C,
2)
1
6
t
6
− t
5
− 4t
2
+ C,
3)
2
3
x
3
2
+
3
5
x
5
3
−
5
6
x
1,2
+ C,
4)
4
5
s
5
4
− s
−2
− 8s
1
2
+ C,
5)
2
3
x
3
2
+
3
4
x
4
3
−
4
7
x
7
4
+ C,
6) 2t
1
2
− 3t
1
3
+ C,
7) −
1
x
+
1
x
2
−
1
x
5
+ C,
8) −
1
t
3
+
1
t
4
+ 7t + C,
9)
2
5
√
t
5
− 2
√
t + C,
10)
3
5
3
√
s
5
−
4
7
4
√
s
7
+ C,
11)
1
6
(2x + 5)
3
,
12)
4
3
x
3
− 9x + C,
13)
1
2
x
2
+ x + C,
14) ln|x| −
1
x
−
1
2x
2
+
1
x
3
+ C
.
II.
1)e
x
+
1
2e
2x
+ 2e
−3x
+ C,
2)
1
5
e
5t
+ 7e−t + C,
3)
1
m
e
mx
−
1
n
e
nx
+
1
3
e
3x+4
+ C,
4) 2e
x
2
+
4
3
e
3x
4
+ C,
5) − e
−x
+ e
−2x
+
1
3
x + C,
6)
2
x
ln2
+
2
3x
3ln2
−
2
−x
ln2
+ C.
III.
1) ln|x| + C,
2)
1
3
ln|x| +
1
2
ln|2x − 1| +
1
2
ln|4x + 3| + C,
3) ln|x
2
+ 1| −
1
2
ln|x
2
+ 4| + 2ln|x
3
+ 1| +
1
4
ln|x
4
+ 2| + C,
4) ln|t| −
2
t
−
1
2t
2
+ C.
IV.
1) 9,
2) 7,
3) 2,
4) 1,
5) 1,
6) e
2
− 1,
7) 1,
8) 2,
9) ln2,
10)
3
4
,
11)
604
3
,
12) 2(e − 1).
IV.
1) 8,
2) 5,
3) 4,
4) 4,
5) 7.
23