D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

1

FUNKCJA JEDNEJ

ZMIENNEJ

X

i

Y

zbiory liczb rzeczywistych.

Jeżeli każdej liczbie x ze zbioru X przyporządkujemy według
pewnego przepisu dokładnie jedną liczbę y ze zbioru Y to w
zbiorze X została określona funkcja.
Zbiór X nazywamy dziedziną (polem, zapasem, zbiorem
argumentów) funkcji.
Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną (zakresem, zbiorem
wartości) funkcji.
Z reguły funkcję określamy przy pomocy wzoru
analitycznego. Możemy również określić funkcję wykresem,
przy pomocy tabeli lub słownie.
Przykłady funkcji:

3

3

1

r

V

∏

=

r>0

r – promień kuli
każdej wartości r w sposób jednoznaczny odpowiada wartość
V –objętość kuli

)

(x

K

K =

K – koszt jednorodnej produkcji,
x – ilość produkcji
Każdej ilości odpowiada ściśle określony koszt

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

2

)

(x

f

q =

p – cena towaru
q - popyt
Koszt przeciętny jako funkcja ilości produkcji

x

x

K

x

K

)

(

)

(

=

K(x) – koszt jednorodnej produkcji w zależności od jej ilości
x – ilość produkcji

Ciąg jako funkcja jednej zmiennej

Ciąg nieskończony

{ }

n

a

,

N

n ∈

dziedzina funkcji,

Zbiór wartości funkcji – dowolny podzbiór liczb
rzeczywistych

Granica ciągu

{ }

n

a

co zapisujemy:

a

a

n

n

=

∞

→

lim

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

3

jeżeli dla każdej liczby ε>0 można dobrać taką liczbę N(ε), że

dla wszystkich wyrazów ciągu

{ }

n

a

o wskaźnikach

większych od N zachodzi

|a

n

–a |<ε

Ciąg mający granicę równą liczbie a
nazywamy ciągiem zbieżnym do liczby a.
Ciąg nie mający granicy nazywamy ciągiem
rozbieżnym.

Dla dwóch ciągów

{ }

n

a

i

{ }

n

b

zbieżnych

prawdziwe są twierdzenia

:

a

a-ε

εεε

a+ε

εεε

•

•

•

•

•

•

•

•

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

4

1. Jeżeli ciąg

{ }

n

a

jest zbieżny do a i ciąg

{ }

n

b

jest zbieżny do b to suma ciągów

jest zbieżna do a + b,

2. różnica ciągów jest zbieżna do a-b
3. iloczyn ciągów jest zbieżny do a ⋅⋅⋅⋅ b
4. iloraz ciągów jest zbieżny do a/b pod

warunkiem, że wyrazy ciągu b są różne
od zera oraz granica ciągu

0

≠

b

5. jeżeli ciąg

{ }

n

a

jest zbieżny i wyrazy

tego ciągu są nieujemne oraz λ jest liczbą
rzeczywistą dodatnią to:

(

)

λ

λ

n

n

n

n

a

a

∞

→

∞

→

= lim

lim

6. Jeżeli ciąg

{ }

n

λ

jest zbieżny i a jest

liczbą rzeczywistą dodatnią

n

n

n

a

a

n

λ

λ

∞

→

=

∞

→

lim

lim

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

5

O CIĄGACH

♦ Ciąg nieskończony, który ma granicę
skończoną, nazywamy ciągiem zbieżnym.
Wszystkie inne ciągi nazywamy ciągami
rozbieżnymi.

Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

2

2

6

7

3

5

3

2

n

n

n

n

a

n

−

+

+

−

=

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą
potęgę zmiennej naturalnej występującą w
mianowniku ułamka

3

1

6

2

lim

−

=

−

=

∞

→

n

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

6

♦ Jeżeli licznik i mianownik ułamka są
wielomianami tego samego stopnia względem
zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka
przy

∞

→

n

równa się stosunkowi

współczynników przy najwyższych potęgach n.

♦ Jeżeli mianownik ułamka jest wielomianem
stopnia wyższego względem liczby naturalnej n,
niż licznik to granica takiego ułamka przy

∞

→

n

równa się zeru.

♦ Jeżeli licznik ułamka jest wielomianem stopnia
wyższego względem liczby naturalnej n, niż
mianownik to granica takiego ułamka przy

∞

→

n

równa się

∞

.

przykłady ciągów

∞

→

−

+

−

=

−

+

−

∞

→

∞

→

n

n

n

n

n

n

n

n

3

15

8

5

2

lim

3

15

8

5

2

lim

2

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

7

0

3

0

4

2

3

1

5

4

lim

4

2

3

1

5

4

lim

5

3

5

4

2

2

5

3

=

=

=

−

+

+

−

=

=

−

+

+

−

∞

→

∞

→

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

8

2

1

1

3

2

lim

1

3

2

lim

3

3

3

=

=





















+

+

=













=

+

∞

→

∞

→

n

n

n

n

n

n

♦ Ciąg o wyrazie ogólnym

n

n

q

a =

ma

skończoną granicę tylko dla –1<q≤1, przy czym:

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

8

Jeżeli -1<q<1, to

0

lim

=

∞

→

n

n

q

,

Jeżeli q = 1, to q

n

= 1, więc

1

lim

=

→∞

n

n

q

(

)

0

1

99

,

0

lim

=

+

∞

→

n

n

n

Jeżeli ciąg {a

n

} o wyrazach nieujemnych ma

granicę a, to ciąg

{ }

p

n

a

, gdzie p jest ustaloną

liczbą naturalną, ma granicę

p

a

.

n

n

n

n

2

7

5

4

lim

2

−

−

+

∞

→

Korzystamy z wzoru

b

a

b

a

b

a

+

−

=

−

2

2

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

9

(

)

4

5

2

4

5

2

7

5

4

7

5

lim

2

7

5

4

7

5

lim

2

7

5

4

4

7

5

4

lim

2

2

2

2

2

2

=

+

=

+

−

+

−

=

=

+

−

+

−

=

=

+

−

+

−

−

+

∞

→

∞

→

∞

→

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Jeżeli wyrazy ogólne trzech ciągów {a

n

}, {b

n

},

{c

n

}spełniają dla n≥n

0

a

n

≤b

n

≤c

n

.

Jeżeli ciągi {a

n

} i {c

n

} mają wspólną granicę g,

tzn:

g

c

a

n

n

n

n

=

=

∞

→

∞

→

lim

lim

to ciąg {b

n

} ma tę samą granicę, czyli:

g

b

n

n

=

∞

→

lim

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

10

przykład

n

n

n

n

n

7

5

3

lim

+

+

∞

→

Zwróćmy uwagę, że:

n

n

n

n

n

n

n

7

7

7

7

5

3

7

+

+

〈

+

+

〈

czyli

7

lim

=

∞

→

n

n

a

gdy

∞

→

n

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

11

e

n

n

n

=











 +

∞

→

1

1

lim

e=2,71828
podstawa logarytmów naturalnych.

Wzór ogólniejszy:

(

)

e

a

n

a

n

n

=

+

∞

→

1

1

lim

jeżeli

0

0

lim

≠

=

∞

→

n

n

n

a

a

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

12

Przykład

Kapitał K=1000 zł podlega
oprocentowaniu R=6% rocznie w ciągu
t=3 lata. Obliczyć kapitał końcowy.

a) gdy odsetki są dopisywane do

kapitału w końcu każdego roku

b) gdy odsetki są dopisywane do

kapitału n razy w roku co 1/n roku
(obliczyć dla n=12)

c) gdy oprocentowanie odbywa się w

sposób ciągły tzn. gdy n→∞

Rozwiązanie
a)

( )

zl

R

K

K

t

1191

100

6

1

1000

100

1

3

1

=











 +

=











 +

=

D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.

13

b)

( )

zl

K

n

R

K

K

nt

n

2

,

1196

12

100

6

1

1000

100

1

3

12

12

=













⋅

+

=

=











 +

=

⋅

c)

=













⋅

+

=

=

∞

→

∞

→

nt

n

n

n

n

R

K

K

K

100

1

lim

lim

100

100

100

100

1

lim

Rt

Rt

R

n

n

e

K

n

R

K

⋅

=



























 +

=

∞

→

2

,

1197

1000

100

3

6

=

⋅

=

⋅

e

K

Uwaga! Patrz strona 11