D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
1
FUNKCJA JEDNEJ
ZMIENNEJ
X
i
Y
zbiory liczb rzeczywistych.
JeŜeli kaŜdej liczbie x ze zbioru X przyporządkujemy według
pewnego przepisu dokładnie jedną liczbę y ze zbioru Y to w
zbiorze X została określona funkcja.
Zbiór X nazywamy dziedziną (polem, zapasem, zbiorem
argumentów) funkcji.
Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną (zakresem, zbiorem
wartości) funkcji.
Z reguły funkcję określamy przy pomocy wzoru
analitycznego. MoŜemy równieŜ określić funkcję wykresem,
przy pomocy tabeli lub słownie.
Przykłady funkcji:
3
3
1
r
V
∏
=
r>0
r – promień kuli
kaŜdej wartości r w sposób jednoznaczny odpowiada wartość
V –objętość kuli
)
(x
K
K =
K – koszt jednorodnej produkcji,
x – ilość produkcji
KaŜdej ilości odpowiada ściśle określony koszt
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
2
)
(x
f
q =
p – cena towaru
q - popyt
Koszt przeciętny jako funkcja ilości produkcji
x
x
K
x
K
)
(
)
(
=
K(x) – koszt jednorodnej produkcji w zaleŜności od jej ilości
x – ilość produkcji
Ciąg jako funkcja jednej zmiennej
Ciąg nieskończony
{ }
n
a
,
N
n ∈
dziedzina funkcji,
Zbiór wartości funkcji – dowolny podzbiór liczb
rzeczywistych
Granica ciągu
{ }
n
a
co zapisujemy:
a
a
n
n
=
∞
→
lim
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
3
jeŜeli dla kaŜdej liczby ε>0 moŜna dobrać taką liczbę N(ε), Ŝe
dla wszystkich wyrazów ciągu
{ }
n
a
o wskaźnikach
większych od N zachodzi
|a
n
–a |<ε
Ciąg mający granicę równą liczbie a
nazywamy ciągiem zbieŜnym do liczby a.
Ciąg nie mający granicy nazywamy ciągiem
rozbieŜnym.
Dla dwóch ciągów
{ }
n
a
i
{ }
n
b
zbieŜnych
prawdziwe są twierdzenia
:
a
a-ε
εεε
a+ε
εεε
•
•
•
•
•
•
•
•
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
4
1. JeŜeli ciąg
{ }
n
a
jest zbieŜny do a i ciąg
{ }
n
b
jest zbieŜny do b to suma ciągów
jest zbieŜna do a + b,
2. róŜnica ciągów jest zbieŜna do a-b
3. iloczyn ciągów jest zbieŜny do a ⋅⋅⋅⋅ b
4. iloraz ciągów jest zbieŜny do a/b pod
warunkiem, Ŝe wyrazy ciągu b są róŜne
od zera oraz granica ciągu
0
≠
b
5. jeŜeli ciąg
{ }
n
a
jest zbieŜny i wyrazy
tego ciągu są nieujemne oraz λ jest liczbą
rzeczywistą dodatnią to:
(
)
λ
λ
n
n
n
n
a
a
∞
→
∞
→
= lim
lim
6. JeŜeli ciąg
{ }
n
λ
jest zbieŜny i a jest
liczbą rzeczywistą dodatnią
n
n
n
a
a
n
λ
λ
∞
→
=
∞
→
lim
lim
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
5
O CIĄGACH
♦ Ciąg nieskończony, który ma granicę
skończoną, nazywamy ciągiem zbieŜnym.
Wszystkie inne ciągi nazywamy ciągami
rozbieŜnymi.
Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
2
2
6
7
3
5
3
2
n
n
n
n
a
n
−
+
+
−
=
Dzielimy licznik i mianownik przez najwyŜszą
potęgę zmiennej naturalnej występującą w
mianowniku ułamka
3
1
6
2
lim
−
=
−
=
∞
→
n
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
6
♦ JeŜeli licznik i mianownik ułamka są
wielomianami tego samego stopnia względem
zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka
przy
∞
→
n
równa się stosunkowi
współczynników przy najwyŜszych potęgach n.
♦ JeŜeli mianownik ułamka jest wielomianem
stopnia wyŜszego względem liczby naturalnej n,
niŜ licznik to granica takiego ułamka przy
∞
→
n
równa się zeru.
♦ JeŜeli licznik ułamka jest wielomianem stopnia
wyŜszego względem liczby naturalnej n, niŜ
mianownik to granica takiego ułamka przy
∞
→
n
równa się
∞
.
przykłady ciągów
∞
→
−
+
−
=
−
+
−
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
3
15
8
5
2
lim
3
15
8
5
2
lim
2
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
7
0
3
0
4
2
3
1
5
4
lim
4
2
3
1
5
4
lim
5
3
5
4
2
2
5
3
=
=
=
−
+
+
−
=
=
−
+
+
−
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
8
2
1
1
3
2
lim
1
3
2
lim
3
3
3
=
=
+
+
=
=
+
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
♦ Ciąg o wyrazie ogólnym
n
n
q
a =
ma
skończoną granicę tylko dla –1<q≤1, przy czym:
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
8
JeŜeli -1<q<1, to
0
lim
=
∞
→
n
n
q
,
JeŜeli q = 1, to q
n
= 1, więc
1
lim
=
→∞
n
n
q
(
)
0
1
99
,
0
lim
=
+
∞
→
n
n
n
JeŜeli ciąg {a
n
} o wyrazach nieujemnych ma
granicę a, to ciąg
{ }
p
n
a
, gdzie p jest ustaloną
liczbą naturalną, ma granicę
p
a
.
n
n
n
n
2
7
5
4
lim
2
−
−
+
∞
→
Korzystamy z wzoru
b
a
b
a
b
a
+
−
=
−
2
2
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
9
(
)
4
5
2
4
5
2
7
5
4
7
5
lim
2
7
5
4
7
5
lim
2
7
5
4
4
7
5
4
lim
2
2
2
2
2
2
=
+
=
+
−
+
−
=
=
+
−
+
−
=
=
+
−
+
−
−
+
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
JeŜeli wyrazy ogólne trzech ciągów {a
n
}, {b
n
},
{c
n
}spełniają dla n≥n
0
a
n
≤b
n
≤c
n
.
JeŜeli ciągi {a
n
} i {c
n
} mają wspólną granicę g,
tzn:
g
c
a
n
n
n
n
=
=
∞
→
∞
→
lim
lim
to ciąg {b
n
} ma tę samą granicę, czyli:
g
b
n
n
=
∞
→
lim
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
10
przykład
n
n
n
n
n
7
5
3
lim
+
+
∞
→
Zwróćmy uwagę, Ŝe:
n
n
n
n
n
n
n
7
7
7
7
5
3
7
+
+
〈
+
+
〈
czyli
7
lim
=
∞
→
n
n
a
gdy
∞
→
n
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
11
e
n
n
n
=
+
∞
→
1
1
lim
e=2,71828
podstawa logarytmów naturalnych.
Wzór ogólniejszy:
(
)
e
a
n
a
n
n
=
+
∞
→
1
1
lim
jeŜeli
0
0
lim
≠
=
∞
→
n
n
n
a
a
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
12
Przykład
Kapitał K=1000 zł podlega
oprocentowaniu R=6% rocznie w ciągu
t=3 lata. Obliczyć kapitał końcowy.
a) gdy odsetki są dopisywane do
kapitału w końcu kaŜdego roku
b) gdy odsetki są dopisywane do
kapitału n razy w roku co 1/n roku
(obliczyć dla n=12)
c) gdy oprocentowanie odbywa się w
sposób ciągły tzn. gdy n→∞
Rozwiązanie
a)
( )
zl
R
K
K
t
1191
100
6
1
1000
100
1
3
1
=
+
=
+
=
D. Miszczyńska, Funkcja jednej zmiennej, ciągi, WSEH, Skierniewice.
13
b)
( )
zl
K
n
R
K
K
nt
n
2
,
1196
12
100
6
1
1000
100
1
3
12
12
=
⋅
+
=
=
+
=
⋅
c)
=
⋅
+
=
=
∞
→
∞
→
nt
n
n
n
n
R
K
K
K
100
1
lim
lim
100
100
100
100
1
lim
Rt
Rt
R
n
n
e
K
n
R
K
⋅
=
+
=
∞
→
2
,
1197
1000
100
3
6
=
⋅
=
⋅
e
K
Uwaga! Patrz strona 11