Zestaw nr 7

Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegi¸ecia wykresu.

Asymptoty

November 20, 2009

Przyk ladowe zadania z rozwi¸

azaniami

Zadanie 1. Znajd´

z r´

ownanie asymptot funkcji f je´

sli:

a) f (x) =

2x−3

x+1

Rozwi¸

azanie: Funkcja f jest nieokre´

slona dla x = −1. Liczymy granice jednostronne funkcji f w

x = −1 :

lim

x→−1

−

2x − 3

x + 1

= ∞

lim

x→−1

+

2x − 3

x + 1

= −∞

Wniosek: funkcja f posiada asymptot¸

e pionow¸

a w punkcie x = −1.

Badamy granice funkcji przy x → ∞ oraz x → −∞.

lim

x→∞

2x − 3

x + 1

= 2

lim

x→−∞

2x − 3

x + 1

= 2

Wniosek: funkcja posiada asymptot¸

e poziom¸

a (dwustronn¸

a) o r´

ownaniu y = 2. Sprawdzamy czy

istnieje asymptota uko´

sna, w tym celu liczymy granice

lim

x→∞

2x − 3

x(x + 1)

= 0

lim

x→−∞

2x − 3

x(x + 1)

= 0

Wniosek: brak asymptot uko´

snych.

b)f (x) = x −

4

x

2

1

Rozwi¸

azanie: Funkcja f jest nieokre´

slona dla x = 0. Liczymy granice jednostronne funkcji f w

x = 0 :

lim

x→0

−

x −

4

x

2

= −∞

lim

x→0

+

x −

4

x

2

= −∞

Wniosek: funkcja posiada asymptot¸

e pionow¸

a w punkcie x = 0.

Badamy granice funkcji przy x → ∞ oraz x → −∞.

lim

x→∞

x −

4

x

2

= ∞

lim

x→−∞

x −

4

x

2

= −∞

Wniosek: funkcja nie posiada asymptoty poziomej. Sprawdzamy czy istnieje asymptota uko´

sna, w

tym celu liczymy granice

lim

x→∞

2x − 3

x(x + 1)

= 0

lim

x→−∞

2x − 3

x(x + 1)

= 0

Wniosek: brak asymptot uko´

snych.

c) f (x) =

x

3

(x+1)(x−2)

Rozwi¸

azanie: Funkcja f jest nieokre´

slona dla x = −1 oraz x = 2. Liczymy granice jednostronne

funkcji f w x = −1 :

lim

x→−1

−

x

3

(x + 1)(x − 2)

= −∞

lim

x→−1

+

x

3

(x + 1)(x − 2)

= ∞

oraz w punkcie x = 2

lim

x→2

−

x

3

(x + 1)(x − 2)

= −∞

lim

x→2

+

x

3

(x + 1)(x − 2)

= ∞

Wniosek: funkcja posiada asymptoty pionowe w punktach x = −1 oraz x = 2.

Badamy granice funkcji przy x → ∞ oraz x → −∞.

lim

x→∞

x

3

(x + 1)(x − 2)

= ∞

lim

x→−∞

x

3

(x + 1)(x − 2)

= −∞

Wniosek: funkcja nie posiada asymptot poziomych.

2

Sprawdzamy czy istnieje asymptota uko´

sna, w tym celu liczymy granice

lim

x→∞

x

3

x(x + 1)(x − 2)

= 1

oraz

lim

x→∞

x

3

(x + 1)(x − 2)

− 1 · x = 1

co daje asymptot¸

e uko´

sna y = x + 1 przy x → ∞. Podobnie sprawdzamy czy istnieje asymptota

uko´

sna przy x → −∞. Liczymy granice

lim

x→−∞

x

3

x(x + 1)(x − 2)

= 1

oraz

lim

x→−∞

x

3

(x + 1)(x − 2)

− 1 · x = 1

co daje asymptot¸

e uko´

sn¸

a y = x + 1 przy x → ∞.

Zadanie 2. Wyznacz przedzia ly monotoniczno´

sci nast¸

epuj¸

acych funkcji

a) f (x) = x

3

+ 5x − 9

Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn¸

a f

0

(x) = 3x

2

+ 5 oraz zauwa˙zamy, ˙ze nier´

owno´

s´

c

3x

2

+ 5 > 0

jest spe lniona dla dowolnego x ∈ R. Czyli f (x) = x

3

+ 5x − 9 lest rosn¸

aca w ca lej swojej dziedzinie.

b) f (x) = 2x

3

+ −9x

2

+ 12x

Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn¸

a f

0

(x) = 6x

2

+ 18x + 12 oraz rozwi¸

azujemy nier´

owno´

s´

c

6x

2

+ 18x + 12 > 0

lub r´

ownowa˙zn¸

a jej

x

2

+ 3x + 2 > 0.

W tym celu obliczamy pierwiastki r´

ownania

x

2

+ 3x + 2 = 0

∆ = 9 − 4 · 2 = 1 co daje x

1

= −2 lub x

2

= −1. Zatem dla x ∈ (−∞, −2) ∪ (−1, ∞) funkcja jest

rosn¸

aca, natomiast dla x ∈ (−2, −1) jest funkcj¸

a malej¸

ac¸

a.

c) f (x) =

x

2

−3

x

2

+3

Rozwi¸

azanie: Liczymy najpierw pochodn¸

a f

0

(x) =

2x(x

2

+3)−2x(x

2

−3)

(x

2

+3)

2

=

12x

(x

2

+3)

2

oraz rozwi¸

azujemy

nier´

owno´

s´

c f

0

(x) > 0. Mamy wi¸

ec f

0

(x) > 0 wtedy i tylko wtedy gdy 6x > 0. Zatem dla x > 0

funkcja jest rosn¸

aca natomiast dla x < 0 funkcja jest malej¸

aca.

Zadanie 3. Wyznacz ekstrema funkcji f je´

sli:

3

a) f (x) = x

2

− 3x + 8

Rozwi¸

azanie: Liczymy pochodn¸

a f

0

(x) = 2x − 3 i rozwi¸

azujemy r´

ownanie f

0

(x) = 0 co w naszym

przypadku daje 2x − 3 = 0 oraz x

0

= 1.5 Z postaci pochodnej otrzymujemy, ˙ze dla x < 1.5 zachodzi

f

0

(x) < 0 oraz dla x > 1.5 zachodzi f

0

(x) > 0, co daje, ze w punkcie x

0

= 1.5 funkcja f osiaga

minimum lokalne.

b) f (x) = x

4

− 4x

2

+ 4

Rozwi¸

azanie: Liczymy pochodn¸

a f

0

(x) = 4x

3

− 8x i rozwi¸

azujemy r´

ownanie f

0

(x) = 0. Mamy

4x

3

− 8x = 4x(x

2

− 2), co daje nast¸epuj¸

ace rozwi¸

azania x

1

= 0 lub x

2

= −

√

2 lub x

3

=

√

2.

Analizujemy teraz zachowanie pochodnej w otoczeniach tych trzech punkt´

ow korzystaj¸

ac z wykresu

funkcji y = 4x(x

2

− 2).

W lewostronnym otoczeniu punktu x

1

= 0 pochodna f

0

jest dodatnia a w prawostronnym ujemna,

zatem w x

1

= 0 funkcja f przyjmuje lokalne maksimum.

W lewostronnym otoczeniu punktu x

2

= −

√

2 pochodna f

0

jest ujemna a w prawostronnym do-

datnia, zatem w x

2

= −

√

2 funkcja f przyjmuje lokalne minimum.

W lewostronnym otoczeniu punktu x

3

=

√

2 pochodna f

0

jest ujemna a w prawostronnym dodatnia,

zatem w x

2

=

√

2 funkcja f przyjmuje lokalne minimum.

c) f (x) =

x+1

x

2

+4

Rozwi¸

azanie: Obliczamy pochodn¸

a f

0

(x) =

1(x

2

+4)−2x(x+1)

(x

2

+4)

2

=

−x

2

−2x+4

(x

2

+4)

2

oraz rozwi¸

azujemy

r´

ownanie f

0

(x) = 0. Wiadomo, ˙ze f

0

(x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy −x

2

− 2x + 4 = 0. Rozwi¸azuj¸ac

to r´

ownanie otrzymujemy: ∆ = 20 oraz x

1

= −1 −

√

5, x

2

= −1 +

√

5. Pochodna w lewostronnym

otoczeniu punktu x

1

jest ujemna a w prawostronnym otoczeniu dodatnia, zatem w x

1

funkcja f

osi¸

aga minimum lokalne. Podobnie, pochodna w lewostronnym otoczeniu punktu x

2

jest dodatnia

a w prawostronnym otoczeniu ujemna, zatem w x

2

funkcja osi¸

aga maksimum lokalne.

Zadanie 4. Znajd´

z najwi¸

eksze i najmniejsze warto´

sci funkcji na wskazanych przedzia lach

a) f (x) = x

2

+ 2x − 4, dla x ∈ [0, 2]

Rozwi¸

azanie: Liczymy pochodn¸

a f

0

(x) = 2x+2, otrzymujemy miejsce zerowe pochodnej x

0

= −1.

W punkt x

0

= −1 nie nale˙zy do przedzia lu [0, 2]. Funkcja f nie ma lokalnych ekstrem´

ow w przedziale

[0, 2]. Liczymy warto´

sci funkcji w punktach brzegowych. Otrzymujemy f (0) = −4 f (2) = 4 czyli

najwi¸eksza warto´

s´

c funkcji f, w przedziale [0, 2], wynosi 4 a najmniejsza -4.

b) f (x) = x

2

+ 2x − 4, dla x ∈ [−2, 2]

Rozwi¸

azanie: Liczymy pochodn¸

a f

0

(x) = 2x+2, otrzymujemy miejsce zerowe pochodnej x

0

= −1.

W punkcie x

0

= −1 ∈ [−2, 2] funkcja f ma minimum lokalne. Liczymy warto´

sci funkcji w punktach

brzegowych oraz w x

0

, otrzymujemy f (−2) = −4, f (2) = 4 oraz f (−1) = −5. W przedziale [−2, 2]

funkcja osiaga najwi¸

eksz¸

a warto´

s´

c 4 dla x

1

= 2 oraz najmniejsz¸

a warto´

s´

c -5 w punkcie x

0

= −1.

c) f (x) =

2x+5

x+1

dla x ∈ [−3, −1) ∪ (−1, 3]

Rozwi¸

azanie: W punkcie x = −1 funkcja jest nieokre´

slona.

lim

x→−1

−

2x + 5

x + 1

= −∞

lim

x→−1

+

2x + 5

x + 1

= ∞

4

czyli w x = −1 istnieje asymptota pionowa funkcji f. Zatem funkcja f nie osi¸

aga w tym zbiorze ani

sko´

nczonej warto´

sci maksymalnej ani sko´

nczonej minimalnej.

Zadanie 5. Wyznaczy´

c punkty przegi¸

ecia, przedzia ly wypuk lo´

sci oraz wkl¸

es lo´

sci funkcji

a) f (x) = 3x

4

+ 7x + 1 dla x ∈ (0, ∞)

Rozwi¸

azanie: Liczymy pierwsz¸

a pochodn¸

a f

0

(x) = 12x

3

+ 7 oraz drug¸

a f

00

(x) = 36x

2

. Dla

dowolnego x ∈ (0, ∞) zachodzi f

00

(x) > 0 czyli funkcja jest wypuk la w ca lej swojej dziedzinie.

b) f (x) = e

x−1

+ 2

Rozwi¸

azanie: Liczymy pierwsz¸

a pochodn¸

a f

0

(x) = e

x−1

oraz drug¸

a f

00

(x) = e

x−1

. Dla dowolnego

x ∈ (−∞, ∞) zachodzi f

00

(x) > 0 czyli funkcja jest wypuk la w ca lej swojej dziedzinie.

c) f (x) = x

4

− x

3

− x

2

Rozwi¸

azanie: Liczymy pierwsz¸

a pochodn¸

a f

0

(x) = 4x

3

−3x

2

−2x oraz drug¸a f

00

(x) = 12x

2

−6x−2.

Szukamy pierwiastk´

ow r´

ownania 12x

2

− 6x − 2 = 0. Po obliczeniach otrzymujemy pierwiastki

x

1

=

6−

√

132

24

oraz x

2

=

6+

√

132

24

.

Dla x ∈ (−∞, x

1

) mamy f

00

(x) > 0 czyli funkcja f jest wypuk la w tym przedziale. Dla x ∈ (x

2

, ∞)

mamy f

00

(x) > 0 czyli funkcja f jest wypuk la w tym przedziale. Natomiast dla x ∈ (x

1

, x

2

) mamy

f

00

(x) < 0 czyli funkcja f jest wkl¸

es la w tym przedziale. Punkty x

1

oraz x

2

s¸

a punktami przegi¸

ecia.

1

Zadania do samodzielnego rozwi¸

azania

Zadanie 1.1. Znajd´

z r´

ownanie asymptot funkcji f je´

sli:

a) f (x) =

2x−3

x+1

Odp. Asymptota pionowa w x = −1, asymptota pozioma y = 2, brak asymptot uko´

snych.

b) f (x) =

7x+3
x−10

Odp. Asymptota pionowa w x = 10, asymptota pozioma y = 7, brak asymptot uko´

snych.

c) f (x) =

1

x

2

+1

Odp. asymptota pozioma y = 0.

d) f (x) =

1

1−x

2

Odp. Asymptota pionowa w x = 1 lub x = −1, asymptota pozioma y = 0, brak asymptot uko´

snych.

Zadanie 2.1. Wyznacz przedzia ly monotoniczno´

sci nast¸

epuj¸

acych funkcji

a) f (x) = −x

3

+ 3x

2

+ 2x + 2

Odp. Rosn¸

aca w (1 −

p10/6, 1 + p10/6), malej¸aca w (−∞, 1 − p10/6) oraz w (1 + p10/6, ∞).

b) f (x) =

5

1−x

Odp. Malej¸

aca w (−∞, 1), rosn¸

aca w (1, ∞.)

c) f (x) =

7x+3
x−10

Odp. Malej¸

aca w (−∞, 10) oraz w (10, ∞).

d) f (x) =

x

x

2

+4

5

Odp. Malej¸

aca w (−∞, −2) oraz w (2, ∞), rosn¸

aca w (−2, 2).

Zadanie 3.1. Wyznacz ekstrema funkcji f je´

sli:

a) f (x) = −x

3

+ 3x

2

+ 9x + 2

Odp. Min w x

1

= −1, max w x

2

= 3.

b) f (x) =

3x+2
x

2

+1

Odp. Min w x

1

= −

√

13

3

, max w x

2

=

√

13

3

.

c) f (x) =

9−x

2

x+5

Odp. Min w x

1

= −9, max w x

2

= −1.

d) f (x) =

x

2

2

+

1

x

Odp. Min w x

1

= 1.

Zadanie 4.1. Znajd´

z najwi¸

eksze i najmniejsze warto´

sci funkcji na wskazanych przedzia lach

a) f (x) = x

2

+ 2x − 4, dla x ∈ [0, 2]

Odp. Warto´

s´

c min f (0) = −4, warto´

s´

c max f (2) = 4

b) f (x) = 3

x−1

dla x ∈ [0, 2]

Odp. Warto´

s´

c min f (0) = 1/3, warto´

s´

c max f (2) = 1

c) f (x) = −3x

2

+ 6x + 9 dla x ∈ [−4, 2]

Odp. Warto´

s´

c min f (−4) = −63, warto´

s´

c max f (1) = 13.

d) f (x) =

x+1
x−2

dla x ∈ [3, 5]

Odp. Warto´

s´

c min f (5) = 2, max f (3) = 4.

Zadanie 5.1. Wyznaczy´

c punkty przegi¸

ecia, przedzia ly wypuk lo´

sci oraz wkl¸

es lo´

sci funkcji

a) f (x) =

x

2

+x−2

x−2

Odp. f wypuk la dla x > 2, wkl¸

es la dla x < 2. Brak punktu przegi¸

ecia.

b) f (x) = log(1 + x

2

)

Odp. f wypuk la dla x < −1 oraz x > 1, wkl¸

es la dla x ∈ (−1, 1). Punkty przegi¸

ecia dla x = 1 lub

x = −1.

c) f (x) = x

4

+ 2x

3

− 12x

2

− 2x + 1

Odp. Wypuk la w (−∞, −2) oraz (1, ∞). Wkl¸

es la (−2, 1), punkty przegi¸

ecia x = −2 lub x = 1.

d) f (x) =

x

x

2

+1

Odp.

Wypuk la w (−

√

3, 0) ∪ (

√

3, ∞). Wkl¸

es la w (−∞, −

√

3) ∪ (0,

√

3). Punkty przegi¸

ecia :

−

√

3, 0,

√

3.

6