Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR gr. 1-4, 2 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj

a)

∞

X

n=1

(n!)

2

(2n)!

b)

∞

X

n=1

(−1)

n

n + 2

n

2

+ 1

[2p.] c) Sprawdzić, czy szereg

∞

X

n=1



n + 1

2n



n

3

spełnia warunek konieczny zbieżności.

2. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności i znaleźć sumę szeregu potęgowego

∞

X

n=0

x

n

n5

n

[2p.] b) Podać przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = 0
i przykład szeregu potęgowego, którego promień zbieżności wynosi R = ∞. Odpowiedź
uzasadnić w oparciu o dowolnie wybrane kryterium.

3. [4p.] Rozwinąć funkcję f (x) = ln(x

2

+ 5x + 6) w szereg Maclaurina. Podać przedział

zbieżności otrzymanego szeregu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+y tgx = sin 2x spełniającą warunek począt-

kowy y(0) = 1.

5. [4p.] Sprawdzić, czy równanie różniczkowe (ln y − 2x) dx +

 

x

y

− 2y

!

dy = 0 jest zupełne

i wyznaczyć jego całkę ogólną.

6. [4p.] a) Stosując transformatę Laplace’a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ 4y = e

t

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y

0

(0) = 1.

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej f (t) = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Funkcja f (x) = 3 − x dla x ∈ [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg

trygonometryczny Fouriera postaci

3

2

+

∞

X

n=1

6(1 − (−1)

n

)

π

2

n

2

cos



nπx

3



.

W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

1 − (−1)

n

n

2

.