Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunki AiR i IBM, 2 sem., r. ak. 2013/2014

1. [9p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

x

2

+ y

2

= 9,

z = 4 −

x

2

+ y

2

3

i płaszczyzną z = 4. Wykonać odpowiedni rysunek.
[3p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [9p.] a) Obliczyć całkę

I

K

(xy + x + y) dx + (xy + x − y) dy

gdzie K jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywą x

2

+ y

2

− 2x = 0 zorientowaną dodatnio.

Wykonać rysunek krzywej K.
[3p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe

~

W =

 

2y

z

−

3z

2

x

!

~i −

1

z

~j −

 

z

3

x

2

+ x

2

!

~k

jest bezźródłowe.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [9p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia

3xy

0

− y = 3xy

4

ln x,

y(1) = 1

[3p.] b) Sprawdzić, czy równanie (y

2

x − y

3

)dx + (1 − y

2

x)dy = 0 jest równaniem różniczkowym

zupełnym. Jeśli nie - wyznaczyć, o ile to możliwe, czynnik całkujący tego równania.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [9p.] a) Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ y

0

= cos x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 2 i y

0

(0) = 0.

[3p.] b) Sprawdzić, czy funkcje y

1

(x) = e

x

, y

2

(x) = sin x i y

3

(x) = cos x tworzą układ

fundamentalny.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [9p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(2 − x)

n

√

n

3

+ 1 · 4

n

oraz określić rodzaj zbieżności szeregu na końcach tego przedziału.

[3p.] b) Wyznaczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

1

4n

2

− 1

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [5p.] Rozwinąć funkcję f (x) =

1

(2 + x)

2

w szereg Maclaurina.