Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”
WETI, IBM gr.1-3, 2 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć całkę
Z Z
V
Z
(2x+3y−z) dxdydz, gdzie V jest graniastosłupem ograniczonym
płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, z = 3 i x + y = 2. Wykonać odpowiedni rysunek.
2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
x
2
+ y
2
+ z
2
= 4
i
x
2
+ y
2
= 3z
2
znajdującej się wewnątrz tych powierzchni. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
Z
K
2xydx + xdy
gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru określonego nierównościami
x
2
+ y
2
¬ 1 oraz y ¬ 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) jedno z zastosowań geometrycznych całek
krzywoliniowych skierowanych.
4. [4p.] Uzasadnić, że całka
Z
L
cos 4ydx − 4x sin 4ydy
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(2,
π
4
) do punktu B(1,
π
6
).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
S
Z
(xz +
q
1 + 4y)dS, gdzie S jest częścią powierzchni y = x
2
zawartą między płaszczyznami z = 0, z = 2 i y = 1. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOZ.
6. [4p.] Wyznaczyć gradient pola skalarnego F (x, y, z) = z − arctg
y
x
. Dla otrzymanego pola
wektorowego ~
W = grad F wyznaczyć jego dywergencję.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę
Z
S
Z
xdydz + ydxdz + zdxdy
jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni kuli o równaniu x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
.