Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”

WETI, AiR gr.1-5, 2 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

q

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz, gdzie

V = {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

− y ¬ 0}

Wykonać odpowiedni rysunek.

2. [4p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

4x

2

+ 9y

2

= 36z

2

,

4x

2

+ 9y

2

= 36

i płaszczyzną z = 0, dla z ­ 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

xye

−2x

dx + e

−x

y

2

dy,

gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = e

x

i y = e

2x

oraz prostą x = 1. Wykonać odpowiedni rysunek.

[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek powierzchniowych
niezorientowanych.

4. [4p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

2y sin 2xdx − cos 2xdy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(

π

6

, 1) do punktu B(

π

4

, 2).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

x

2

dydz + y

2

dxdz + z

2

dxdy, gdzie S jest częścią powierzchni

z =

1

4

−x

2

−y

2

leżącą w I oktancie układu współrzędnych i zorientowaną tak, że cos γ > 0.

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOZ.

6. [4p.] Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego

~

W = (x

3

+ 2xy + z

2

)~i +

x

yz

~j + (sin x + ln z)~k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

Z

S

Z

xzdydz + xydxdz + yzdxdy

jeżeli S jest zewnętrzną stroną powierzchni ograniczonej powierzchnią

x

2

+ y

2

= R

2

i

płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i z = k.