2.
Obwody prądu zmiennego
2.1.
Definicje i wielkości charakteryzujące
Spośród wielu moŜliwych przebiegów zmiennych w czasie zajmiemy się jedynie
przebiegami harmonicznymi (sinusoidalnymi lub cosinusoidalnymi). Prądy i napięcia o takim
kształcie spotykamy w technice najczęściej. Ich analiza jest stosunkowo prosta, dlatego wiele
innych, podobnych do nich przebiegów staramy się przybliŜyć harmonicznymi.
Przebiegi okresowe moŜna scharakteryzować za pomocą następujących parametrów:
(
)
( )
1
- definicja przebiegu okresowego,
1
,
2
,
2
- częstotliwość przebiegu [Hz],
- częstość [s ],
- okres przebiegu [s].
u t
T
u t
f
f
T
T
f
T
ω
ω
ω
−
+
=
=
= π
= π ;
(2.1)
Rys. 2.1. Przebieg okresowy harmoniczny
Na rys. 2.1 przedstawiony jest przebieg okresowy harmoniczny. MoŜe on zostać opisany
wzorem:
(
)
m
m
( )
sin
wartość maksymalna,
częstość,
początkowy kąt fazowy.
u
u t
U
t
U
ω ψ
ω
ψ
=
=
+
−
−
−
(2.2)
Kąt fazowy Ψ moŜna określić tylko względem innego przebiegu o tej samej częstotliwości.
Zapisywanie kaŜdego prądu lub napięcia wzorem 2.2 byłoby uciąŜliwe, stąd wynika potrzeba
zdefiniowania wielkości charakteryzujących przebiegi. Spróbujmy zdefiniować wartość
ś
rednią całookresową:
Obwody prądu zmiennego
2/15
( )
0
0
0
1
1
( ) d
( ) d
0 ;
t
T
T
t
u t
u t
t
u t
t
T
T
+
=
⇒
=
∫
∫
(2.3)
Rys. 2.2. Całka z przebiegu sinusoidalnego za całkowitą liczbę okresów
Ze względu na symetryczne połoŜenie przebiegu nad i pod osią czasu (x), całka
uwzględniająca tą samą liczbę pól „+” co „
−
” będzie w wyniku dawać zero. Tak więc wartość
ś
rednia całookresowa jest nieprzydatna. Zdefiniujmy i wyliczmy w takim razie wartość
ś
rednią półokresową:
/ 2
ś
r
0
2
( ) d
T
U
u t
t
T
=
∫
.
(2.4)
Rys. 2.3. Interpretacja geometryczna wartości średniej półokresowej
Obwody prądu zmiennego
3/15
Tak zdefiniowana wartość średnia będzie róŜna od zera i po scałkowaniu jej dla przebiegu
sinusoidalnego otrzymujemy wartość:
(
)
/ 2
/ 2
m
m
ś
r
0
0
m
m
2
2
2
( ) d
sin
d
cos(
)
cos(0)
2
2
cos(
.
T
T
U
U
T
U
u t
t
t t
T
T
T
U
U
ω
ω
ω
=
=
=
−
+
=
=
−
π) +1 =
π
π
∫
∫
(2.5)
Od wartości średniej większą przydatność praktyczną ma wartość skuteczna. Definicja
wartości skutecznej (przykładowo napięcia) jest następująca:
2
0
1
( ) d
T
U
u t
t
T
=
∫
.
(2.6)
Rys. 2.4. Interpretacja sposobu obliczania wartości skutecznej
Wyznaczenie wartości skutecznej przebiegu sinusoidalnego prowadzi do jej zaleŜności od
wartości maksymalnej:
(
)
(
)
2
2
m
m
m
0
0
1 cos 2
1
1
sin
d
d
2
2
T
T
t
U
U
U
t
t
U
t
T
T
ω ψ
ω ψ
−
+
=
+
=
=
∫
∫
.
(2.7)
Do opisu przebiegów odkształconych w stosunku do harmonicznych uŜywa się
współczynnika amplitudy
k
a
i współczynnika kształtu
k
k
m
a
k
ś
r
,
U
U
k
k
U
U
=
=
.
(2.8)
Dla przebiegów harmonicznych te współczynniki wynoszą
m
ś
r
2
1, 41 ;
1,11.
a
k
U
U
k
k
U
U
π
=
=
=
=
=
=
2 2
(2.9)
Obwody prądu zmiennego
4/15
Interpretacja fizyczna wartości skutecznej
Interpretacja opiera się o wartość energii wydzieloną przez prąd o wartości skutecznej I:
2
0
1
( ) d
T
I
i t
t
T
=
∫
.
(2.10)
Energia wydzielona przez prąd i(t) w rezystorze R i w czasie T wynosi:
2
0
( ) d
T
W
R
i t
t
=
∫
.
(2.11)
Na podstawie wzoru (2.10) stwierdzamy, Ŝe ta energia moŜe być łatwo wyraŜona przez
wartość skuteczną I
2
W
R I T
= ⋅
.
(2.12)
Gdyby I oznaczało wartość prądu stałego, wzór (2.12) miałby taką samą postać. Stwierdzamy
wobec tego, Ŝe:
wartość skuteczna prądu zmiennego odpowiada takiej wartości prądu stałego,
która powoduje wydzielenie w rezystorze tej samej energii (i ten sam skutek cieplny).
WaŜnym pojęciem dotyczącym przebiegów harmonicznych jest przesunięcie fazowe między
dwoma przebiegami, koniecznie o tej samej częstotliwości.
Rys. 2.5. Prąd opóźniający się za napięciem (po lewej) i prąd wyprzedzający napięcie
Przebiegi pokazane na rys. 2.5 moŜemy zaobserwować na ekranie oscyloskopu. W przypadku
niewielkich kątów
ϕ
(-90
o
≤
ϕ
≤
90
o
)
łatwo jest określić wzrokowo, czy prąd się opóźnia, czy
teŜ wyprzedza napięcie.
Obwody prądu zmiennego
5/15
2.2.
Wytwarzanie napięć zmiennych
Wytwarzanie napięć zmiennych odbywa się w generatorach. Zasada działania generatora
wynika z prawa Faraday’a
( )
d
.
d
e t
t
Φ
= −
(2.13)
Mówi ono, Ŝe zmianom strumienia magnetycznego towarzyszy indukowanie siły
elektromotorycznej (napięcia). Warunkiem koniecznym jest zmienność strumienia. JeŜeli
przyczyną zmiany jest ruch cewki wzbudzającej pole magnetyczne względem drugiej cewki,
to w tej drugiej cewce powstanie siła elektromotoryczna, a po zamknięciu obwodu popłynie
prąd. Generator prądu jest urządzeniem przemieniającym energię mechaniczną ruchu
obrotowego turbiny na energię prądu elektrycznego. Schemat najprostszego generatora
pokazany jest na rys. 2.6.
Rys. 2.6. Budowa generatora napięcia przemiennego oraz kształt napięcia
W wyniku obrotu wzbudnika zasilanego prądem stałym w cewkach stojana indukuje się
napięcie przemienne, którego kształt w tak prostym generatorze mocno odbiega od sinusoidy.
Na kolejnym rysunku pokazano bardziej zaawansowany generator w układzie
wielobiegunowym. Posiada on dwie pary biegunów, tak więc do wytworzenia częstotliwości
sieciowej 50Hz powinien się obracać z prędkością 1500obr/min.
Rys. 2.7. Generator wielobiegunowy
Obwody prądu zmiennego
6/15
Ilość par biegunów determinuje prędkość obrotową generatora. Generatory napędzane
turbinami parowymi pracują zwykle przy wysokich obrotach, poniewaŜ sprawność turbiny
jest wtedy wyŜsza. Natomiast generatory napędzane turbinami wodnymi mają bardzo małe
obroty, a w związku z tym duŜą liczbę biegunów. Taki generator ma równieŜ bardzo duŜą
ś
rednicę. Na rysunku 2.8 widoczny jest generator elektrowni wodnej w Rheinfelden
zbudowany ok. 1900 roku.
Rys. 2.8. Generator elektrowni wodnej w Rheinfelden ok. 1900r. (źródło: Wikipedia)
Schemat budowy generatora trójfazowego pokazano na rys. 2.9. Generator ten składa się z
trzech cewek, w środku między którymi obraca się wzbudnik. Cewki te są przesunięte w
przestrzeni o 120
o
, co powoduje, Ŝe napięcia kolejnych faz są równieŜ przesunięte o 120
o
.
Otrzymuje się w ten sposób symetryczny, trójfazowy układ napięć.
Rys. 2.9. Schemat budowy generatora trójfazowego
Obwody prądu zmiennego
7/15
2.3.
Dodawanie przebiegów harmonicznych
Na przykładzie uzyskiwania sumy dwóch prądów wpływających do wspólnego węzła
(rys. 2.10) zostanie pokazane sumowanie funkcji harmonicznych.
Rys. 2.10. Prądy i
1
(t) oraz i
2
(t) sumują się dając prąd i
3
(t)
Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa dla kaŜdej chwili czasu t zachodzi
3
1
2
( )
( )
( )
i t
i t
i t
=
+
. JeŜeli prądy i
1
oraz i
2
mają kształt sinusoidy, moŜna je dodać tylko wtedy,
gdy obydwa mają tą samą częstotliwość. JeŜeli dodatkowo miałyby one ten sam kąt fazowy,
moŜna byłoby dodać bezpośrednio ich amplitudy. W większości przypadków takie proste
postępowanie nie jest moŜliwe i trzeba przeprowadzić dodawanie funkcji. Prąd i
3
chcielibyśmy otrzymać w postaci podanej poniŜej:
(
)
(
)
(
)
3
1
1
2
2
3
3
( )
sin
sin
sin
i t
I
t
I
t
I
t
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
=
+
+
+
=
+
.
(2.14)
W tym celu zamienimy sinusy zgodnie z wzorem na sinus sumy dwóch kątów:
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
.
I
t
I
t
I
t
I
t
I
t
I
t
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
+
+
+
=
=
+
(2.15)
Aby lewa strona tego równania równała się prawej, współczynniki przy sinusach i cosinusach
po obu stronach równania muszą być równe. Otrzymujemy stąd dwa równania
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
cos
cos
cos
,
sin
sin
sin
.
I
I
I
I
I
I
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+
=
(2.16)
Dzieląc drugie przez pierwsze upraszczamy I
3
i otrzymujemy kąt fazowy
1
1
2
2
3
1
2
3
1
1
2
2
sin
sin
,
jeśli kąty są równe :
.
cos
cos
I
I
arctg
k
I
I
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
± π
=
⇒
=
+
(2.17)
W celu otrzymania amplitudy I
3
oba równania podnosimy do kwadratu i dodajemy stronami.
Korzystamy z wzoru jedynkowego (
( )
( )
2
2
sin
cos
1
x
x
+
=
) otrzymując
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1 2
1
2
1
2
2
2
1
2
1 2
1
2
3
1
2
3
1
2
cos
cos
sin
sin
sin
cos
sin
cos
2
cos
cos
sin
sin
2
cos
,
jeśli :
.
I
I
I
I
I
I
I
I I
I
I
I I
I
I
I
I
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
=
+ +
−
=
=
⇒
= +
(2.18)
Przedstawione zaleŜności pokazują, jak trudne byłoby posługiwanie się funkcjami
sinusoidalnymi w celu rozwiązywania obwodów.
Obwody prądu zmiennego
8/15
2.4.
Zachowanie się podstawowych elementów przy prądzie sinusoidalnie zmiennym
Rezystor
Rys. 2.11. Rezystor, przez który płynie prąd i(t)
ZałóŜmy, Ŝe przez rezystor płynie sinusoidalny prąd
m
( )
sin
i t
I
t
ω
=
. Zgodnie z prawem
Ohma dla kaŜdej chwili czasu
m
m
m
m
( )
( )
sin
sin
czyli:
, a wartości skuteczne:
.
u t
R i t
RI
t
U
t
RI
U
RI
U
ω
ω
= ⋅
=
=
=
=
(2.19)
Celem zrozumienia zjawisk zachodzących w róŜnych elementach trzeba przeanalizować
transfer mocy między źródłem a elementem. Zdefiniujmy moc chwilową:
2
m
m
m m
( )
( ) ( ), dla przebiegów sinusoidalnych na rezystorze:
( )
sin
sin
sin
p t
u t i t
p t
U
t I
t
U I
t
ω
ω
ω
=
⋅
=
=
(2.20)
Moc chwilowa jest nieujemna, co oznacza, Ŝe moc jest przekazywana ze źródła do rezystora,
a nigdy w przeciwnym kierunku. Na podstawie mocy chwilowej zdefiniujemy moc czynną
jako wartość średnią:
0
2
m m
R
m m
m m
0
0
1
( )d , dla rezystora będzie to:
1
1
1 cos 2
sin
d
d
.
2
2
T
T
T
P
p t
t
T
t
U I
P
U I
t t
U I
t
U I
T
T
ω
ω
=
−
=
=
=
= ⋅
∫
∫
∫
(2.21)
Dla rezystora moc czynna wyraŜa się prostym iloczynem wartości skutecznych prądu i
napięcia. Komplet przebiegów dla rezystora pokazuje rys. 2.12.
Rys. 2.12. Przebiegi prądu, napięcia, mocy chwilowej i linia mocy czynnej
Obwody prądu zmiennego
9/15
Cewka
Rys. 2.13. Cewka, przez którą płynie prąd i(t)
ZałóŜmy, Ŝe przez cewkę płynie sinusoidalny prąd
m
( )
sin
i t
I
t
ω
=
. Spadek napięcia na cewce
wynika z prawa Faraday’a: ( )
d
( ) / d
e t
t
t
Φ
= −
. JeŜeli przez cewkę przenika zmienny strumień
magnetyczny, indukuje się w niej siła elektromotoryczna e(t)=
−
u(t). MoŜna ją traktować jako
spadek napięcia na cewce u(t) z przeciwnym znakiem. PoniewaŜ indukcyjność cewki jest
definiowana jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy prądem, a strumieniem
magnetycznym:
( )
( )
t
L i t
Φ
= ⋅
, stąd:
m
m
m
m
m
d ( )
( )
cos
sin
sin
d
2
2
, a dla wartości skutecznych:
.
i t
u t
L
LI
t
L I
t
U
t
t
L I
U
L I
U
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
π
π
=
=
=
⋅
+
=
+
⋅
=
⋅ =
(2.22)
Wielkość L
ω
występującą we wzorze nazywamy reaktancją indukcyjną i oznaczamy jako X
L
.
Moc chwilowa dla cewki
m
m
m m
1
( )
cos
sin
sin 2
2
p t
U
t I
t
U I
t
ω
ω
ω
=
⋅
=
(2.23)
jest funkcją oscylującą wokół osi x, co oznacza, Ŝe moc jest przekazywana w obu kierunkach
w róŜnych chwilach czasu. Stąd moc czynna wynosi:
0
1
( )d
0,
T
P
p t t
T
=
=
∫
(2.24)
a energia zgromadzona w cewce jest nieujemna:
(
)
2
2
2
2
L
m
1
1
1
( )
sin
1 cos 2
2
2
2
W
L i t
L I
t
L I
t
ω
ω
=
⋅
=
⋅
=
⋅
−
.
(2.25)
Rysunek 2.14 pokazuje przebiegi wszystkich wielkości występujących w cewce.
Rys. 2.14. Przebiegi prądu, napięcia, mocy chwilowej i energii zgromadzonej w cewce
Obwody prądu zmiennego
10/15
Kondensator
Rys. 2.15. Kondensator, do którego przyłoŜono napięcie u(t)
ZałóŜmy, Ŝe do kondensatora przyłoŜono napięcie sinusoidalne
m
( )
sin
.
u t
U
t
ω
=
Prąd w
obwodzie z kondensatorem moŜe płynąć tylko wtedy, gdy zmienia się ładunek na jego
okładzinach ( )
d ( ) / d .
i t
q t
t
=
Współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy ładunkiem, a
napięciem jest pojemność kondensatora
( )
( ).
q t
C u t
= ⋅
Wtedy prąd płynący „przez”
kondensator wyraŜa się wzorem
m
m
m
m
m
d ( )
( )
cos
sin
sin
d
2
2
1
, a dla wartości skutecznych:
u t
i t
C
C U
t
C I
t
I
t
t
C U
I
I
U
C
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
π
π
=
=
⋅
=
⋅
+
=
+
⋅
=
⋅ =
(2.26)
Wielkość 1/ C
ω
występująca we wzorze jest nazywana reaktancją pojemnościową (X
C
). Moc
chwilowa dla kondensatora przyjmuje podobną postać, jak dla cewki
m
m
m m
1
( )
sin
cos
sin 2
2
p t
U
t I
t
U I
t
ω
ω
ω
=
⋅
=
(2.27)
i jest funkcją oscylującą wokół osi x. Dlatego moc czynna
0
1
( )d
0
T
P
p t
t
T
=
=
∫
,
(2.28)
a energia zgromadzona w kondensatorze jest równieŜ nieujemna:
(
)
2
2
2
2
C
m
1
1
1
( )
sin
1 cos 2
2
2
2
W
C u t
C U
t
C U
t
ω
ω
=
⋅
=
⋅
=
⋅
−
.
(2.29)
Wszystkie przebiegi dla obwodu z kondensatorem pokazano na rys.2.16.
Rys. 2.16. Przebieg napięcia, prądu, mocy chwilowej i energii w obwodzie kondensatora
Obwody prądu zmiennego
11/15
2.5.
Gałęzie szeregowe RL, RC oraz RLC przy prądzie sinusoidalnie zmiennym
Na rysunku 2.17 widoczna jest gałąź RL, przez którą przepływa prąd
m
( )
sin
i t
I
t
ω
=
.
Rys. 2.17. Gałąź szeregowa RL
Na podstawie wzorów 2.19 oraz 2.22 moŜna podać napięcie całkowite w postaci
(
)
R
L
m
m
m
( )
( )
( )
sin
cos
sin
u t
u t
u t
R I
t
L I
t
U
t
ω ω
ω
ω ϕ
=
+
= ⋅
+
⋅
=
+
.
(2.30)
Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości U
m
oraz
ϕ
opisujących napięcie całkowite u(t).
W tym celu po przekształceniu prawej strony trzeba porównać współczynniki przy sin i cos
(
)
m
m
m
m
m
m
m
sin
cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin
R I
t
L I
t
U
t
t
R I
U
L I
U
ω ω
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
⋅
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
=
(2.31)
Podzielenie tych dwóch wzorów przez siebie powoduje uproszczenie U
m
i daje kąt fazowy
ϕ
,
arctg
(wystarczy =0)
L
L
tg
k
k
R
R
ω
ω
ϕ
ϕ
=
=
± π
.
(2.32)
Podniesienie obustronne do kwadratu i dodanie równań stronami, po uwzględnieniu wzoru
jedynkowego, daje U
m
:
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
m
R
L
sin
cos
;
RI
LI
U
U
I
R
L
U
U
U
ω
ϕ
ϕ
ω
+
=
+
⇒
=
+
=
+
(2.33)
Wielkość występująca we wzorze
(
)
2
2
R
L
ω
+
jest impedancją Z gałęzi szeregowej RL.
Moc chwilowa pulsuje wokół osi x z przewagą części dodatnich:
(
)
2
m
m
m m
1
( )
sin
sin
sin
cos
sin 2
sin
2
p t
U
t
I
t
U I
t
t
ω ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
=
+
⋅
=
+
,
(2.34)
skąd wynika wartość mocy czynnej dla obwodu szeregowego RL:
m m
0
1
( )d
cos
cos
2
T
U I
P
p t
t
U I
T
ϕ
ϕ
=
=
= ⋅ ⋅
∫
.
(2.35)
Rys. 2.18. Przebiegi napięcia, prądu i mocy dla gałęzi szeregowej RL
Obwody prądu zmiennego
12/15
Na rysunku 2.19 widoczna jest gałąź RC, przez którą przepływa prąd
m
( )
sin
i t
I
t
ω
=
.
Rys. 2.19. Gałąź szeregowa RC zasilana prądem i(t)
Na podstawie wzorów 2.19 oraz 2.26 moŜna podać napięcie całkowite w postaci
(
)
(
)
o
R
C
m
m
m
1
( )
( )
( )
sin
sin
90
sin
u t
u t
u t
R I
t
I
t
U
t
C
ω
ω
ω ϕ
ω
=
+
= ⋅
+
−
=
+
(2.36)
Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości U
m
oraz
ϕ
opisujących napięcie całkowite u(t).
W tym celu po przekształceniu prawej strony trzeba porównać współczynniki przy sin i cos
(
)
m
m
m
m
m
m
m
cos
1
sin
cos
sin
cos
cos
sin
1
sin
RI
U
RI
t
I
t
U
t
t
C
I
U
C
ϕ
ω
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
=
−
=
+
−
=
(2.37)
Podzielenie tych dwóch wzorów przez siebie powoduje uproszczenie U
m
i daje kąt fazowy
ϕ
1
1
tg
,
arctg
k
k
R
C
R
C
ϕ
ϕ
ω
ω
= −
= −
± π ( = 0)
⋅
⋅
(2.38)
Podniesienie obustronne do kwadratu i dodanie równań stronami, po uwzględnieniu wzoru
jedynkowego, daje U
m
:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
m
R
C
1
1
sin
cos
;
RI
I
U
U
I
R
U
U
U
C
C
ϕ
ϕ
ω
ω
+
=
+
⇒
=
+
=
+
(2.39)
Wielkość występująca we wzorze
2
2
1
R
C
ω
+
jest impedancją Z gałęzi szeregowej RC.
Moc chwilowa pulsuje wokół osi x z przewagą części dodatnich:
(
)
2
m
m
m m
1
( )
sin
sin
sin
cos
sin 2
sin
2
p t
U
t
I
t
U I
t
t
ω ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
=
+
⋅
=
+
(2.40)
skąd wynika wartość mocy czynnej dla obwodu szeregowego RC:
m m
0
1
( )d
cos
cos
2
T
U I
P
p t
t
U I
T
ϕ
ϕ
=
=
= ⋅ ⋅
∫
.
(2.41)
Rys. 2.20. Przebiegi napięcia, prądu i mocy dla gałęzi szeregowej RC
Obwody prądu zmiennego
13/15
Na rysunku 2.21 widoczna jest gałąź RLC, przez którą przepływa prąd
m
( )
sin
i t
I
t
ω
=
.
Rys. 2.21. Gałąź szeregowa RLC zasilana prądem i(t)
Na podstawie wzorów (2.19), (2.22) oraz (2.26) moŜna podać napięcie całkowite w postaci
(
)
(
)
(
)
m
R
L
C
o
o
m
m
m
m
( )
sin
,
( )
( )
( )
( )
1
sin
sin
90
sin
90
sin
i t
I
t u t
u t
u t
u t
RI
t
LI
t
I
t
U
t
C
ω
ω ω
ω
ω
ω ϕ
ω
=
=
+
+
=
=
+
+
+
−
=
+
(2.42)
W celu wyznaczenia wartości U
m
oraz
ϕ
trzeba porównać współczynniki przy sin i cos
(
)
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
sin
cos
cos
sin
cos
cos
sin
cos
1
sin
RI
t
LI
t
I
t
U
t
t
C
RI
U
LI
I
U
C
ω ω
ω
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
+
−
=
+
=
−
=
(2.43)
Podzielenie tych dwóch wzorów przez siebie powoduje uproszczenie U
m
i daje kąt fazowy
ϕ
1
1
,
arctg
L
L
C
C
tg
k
R
R
ω
ω
ω
ω
ϕ
ϕ
−
−
=
=
± π
(2.44)
Podniesienie obustronne do kwadratu i dodanie równań stronami daje U
m
:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
m
m
2
2
R
L
C
1
1
sin
cos
;
RI
LI
I
U
U
I
R
L
C
C
U
U
U
U
ω
ϕ
ϕ
ω
ω
ω
+
−
=
+
⇒
=
+
−
=
+
−
(2.45)
Wielkość występująca we wzorze
2
2
1
R
L
C
ω
ω
+
−
jest impedancją Z gałęzi szeregowej
RLC. Moc chwilowa pulsuje wokół osi x z przewagą części dodatnich:
(
)
2
m
m
m m
1
( )
sin
sin
sin
cos
sin 2
sin
2
p t
U
t
I
t
U I
t
t
ω ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
=
+
⋅
=
+
(2.46)
skąd wynika wartość mocy czynnej dla obwodu szeregowego RLC:
m m
0
1
( )d
cos
cos
2
T
U I
P
p t
t
U I
T
ϕ
ϕ
=
=
= ⋅ ⋅
∫
.
(2.47)
Obwody prądu zmiennego
14/15
2.6.
Wykresy trójkątowe dla gałęzi RL, RC oraz RLC
Wykresy trójkątowe pozwalają na graficzne przedstawienie relacji pomiędzy
impedancjami, napięciami lub mocami występującymi w obwodzie. Wykorzystują one fakt,
Ŝ
e wzory opisujące uzyskiwanie impedancji obwodu Z (2.33), (2.39) i (2.45) są analogiczne
do wzorów opisujących boki trójkąta prostokątnego:
Rys. 2.22. Wykresy trójkątowe impedancji gałęzi RL, RC oraz RLC
W przypadku wykresu po prawej stronie, dotyczącego gałęzi RLC, załoŜono wartość
reaktancji indukcyjnej większą od reaktancji pojemnościowej.
Po pomnoŜeniu boków trójkątów przez wartość skuteczną prądu płynącego w obwodzie
wykresy te przeskalowywują się na wykresy napięć na elementach obwodu.
Rys. 2.23. Wykresy trójkątowe napięć na elementach obwodów RL, RC oraz RLC
Po powtórnym pomnoŜeniu boków trójkątów przez wartość prądu stają się one mocami
występującymi w obwodzie:
Rys. 2.24. Moce występujące w gałęziach RL, RC oraz RLC
Moc czynna
cos
P
U I
ϕ
= ⋅ ⋅
jest juŜ znana z wyprowadzeń przeprowadzonych powyŜej.
Iloczyn napięcia i prądu jest zwany mocą pozorną S
U I
= ⋅
. Trzeci bok trójkąta jest mocą
„uzupełniającą” nazywaną mocą bierną
sin
Q
U I
ϕ
= ⋅ ⋅
. Występowanie mocy biernej jest
związane z obecnością w obwodzie elementów zachowawczych, które nie rozpraszają energii,
lecz ją gromadzą oddając następnie z powrotem. Jest to moc bezproduktywna, którą w
układach energetycznych staramy się minimalizować.
Obwody prądu zmiennego
15/15
2.7.
Moce w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego
Przedstawiono tu zebrane razem definicje wszystkich mocy, którymi posługujemy się w
obwodach z prądem zmiennym.
0
Moc chwilowa:
( )
( ) ( )
1
Moc czynna:
( )d
T
p t
u t i t
P
p t
t
T
=
⋅
=
∫
(2.48)
Te dwie definicje moŜna stosować przy przebiegach zmieniających się w sposób dowolny. W
szczególnym przypadku przebiegów sinusoidalnie zmiennych otrzymujemy wzory:
2
2
2
Moc czynna:
cos ;
Moc bierna:
sin ;
Moc pozorna:
;
Stąd wynikają zaleŜności:
cos ;
sin ;
;
P
U I
Q
U I
S
U I
P
S
Q
S
P
Q
S
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
+
=
(2.49)