Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08
Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.
A
1 2 3 4 5 6 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !
ZADANIA
1.
Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
√
0.9 ln
1.2
0.9
.
2.
Znaleźć największy iloczyn I trzech dodatnich liczb x, y, z, których suma jest równa 27.
Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.
3.
Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f
(17)
(0),
f
(18)
(0),jeżeli
f
(x) =
x
2
3x
2
− 2
.
4.
Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywymi x = y
2
, x = 2 − y
2
. Obliczyć
całkę podwójną
ZZ
D
xy dxdy.
5.
Obliczyć pole tej części półsfery z =
q
R
2
− x
2
− y
2
, która leży wewnątrz walca x
2
+ y
2
= r
2
,
gdzie 0 < r < R. Sporządzić rysunek.
6.
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y
′′
+ y =
1
sin t
, (t ∈ (0, π)) .
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08
Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.
B
1 2 3 4 5 6 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !
ZADANIA
1.
Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
(1.1)
0.9
√
0.9.
2.
Na płaszczyźnie z = 2 znaleźć punkt C, którego suma kwadratów odległości od punktów
A
= (1, 0, 0) i B = (0, −2, 0) jest najmniejsza. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.
3.
Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f
(17)
(0),
f
(18)
(0),jeżeli
f
(x) =
x
2x
2
+ 3
.
4.
Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywą x = y
2
+ 1 i prostymi y = x, y = 1
i y =
√
3. Obliczyć całkę podwójną
ZZ
D
1
x
2
+
1
y
2
!
dxdy.
5.
Obliczyć pole tej części sfery x
2
+ y
2
+ (z − 2)
2
= 4, która leżący poniżej płaszczyzny z = 1.
Sporządzić rysunek.
6.
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y
′′
+ y = cos
2
t.
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08
Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.
C
1 2 3 4 5 6 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !
ZADANIA
1.
Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
√
1.1 arc tg
0.3
1.1
.
2.
Na wykresie funkcji z =
1
xy
znaleźć punkt C, którego kwadrat odległości od początku układu
współrzędnych jest najmniejszy. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.
3.
Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f
(17)
(0),
f
(18)
(0),jeżeli
f
(x) =
x
2
4 − 2x
2
.
4.
Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywą xy = 1 i prostymi y = x, y = 2.
Obliczyć całkę podwójną
ZZ
D
x
2
y
2
dxdy.
5.
Obliczyć pole części powierzchni paraboloidyz =
1
2
x
2
+ y
2
leżącej między powierzchniami
x
2
+ y
2
= r
2
i x
2
+ y
2
= R
2
, gdzie 0 < r < R. Sporządzić rysunek.
6.
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y
′′
+ y =
1
cos t
,
t ∈
−
π
2
,
π
2
.
Analiza matematyczna 2
Egzamin podstawowy, semestr letni 2007/08
Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy,
poprawkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej
ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto należy ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie
kartki pracy.
D
1 2 3 4 5 6 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy.
Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.
W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twier-
dzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z
pełnym opisem. Powodzenia !
ZADANIA
1.
Wykorzystując różniczkę funkcji dwóch zmiennych, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
ln
√
1.1 +
4
√
0.8 − 1
.
2.
Na płaszczyźnie x + y + z = 0 znaleźć punkt C, którego kwadrat odległości od punktu
A
= (1, 2, 3) jest najmniejszy. Wykorzystać metody rachunku różniczkowego.
3.
Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f
(17)
(0),
f
(18)
(0),jeżeli
f
(x) =
x
4x
2
+ 3
.
4.
Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D ograniczony krzywyą y = ln x i prostymi y = 1, x = e
2
.
Obliczyć całkę podwójną
ZZ
D
y
x
dxdy.
5.
Obliczyć pole części paraboloidy z = x
2
+ y
2
leżącej wewnątrz stożka z = 2 −
q
x
2
+ y
2
.
Sporządzić rysunek.
6.
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y
′′
+ y = sin
2
t.