Równania różniczkowe zwyczajne

Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym:

1. niewiadomą jest funkcja

2. występują pochodne tej funkcji

Równanie różniczkowe może być:

- zwyczajne gdy niewiadoma funkcja jest funkcją jednej
zmiennej

- cząstkowe gdy niewiadoma funkcja jest funkcją wielu
zmiennych (wówczas w równaniu występują pochodne
cząstkowe tej funkcji).

Wprowadzimy skrót:

RR - równanie różniczkowe (zwyczajne)

Przykład 1. Dane jest RR:

y

xy



'

.

Litera y oznacza szukaną funkcję zmiennej x.

Każda funkcja postaci:

Cx

y



, gdzie

R

C



spełnia to

równanie. Sprawdźmy to:

C

y



'

.

Podstawiamy wzory

Cx

y



i

C

y



'

do danego RR i

dostajemy:

Cx

C

x





.

Można wykazać, że inne funkcje nie spełniają danego RR.

Rozwiązanie ogólne RR (inaczej: całka ogólna RR) jest to
zbiór wszystkich funkcji spełniających to RR (skrót: ROR
lub COR).

Rozwiązanie szczególne RR (inaczej: całka szczególna
RR) jest to każda funkcja spełniająca to RR (skrót: RSR
lub CSR).

W przykładzie 1:

ROR:

Cx

y



RSR:

x

y

5



(także np.

x

y

x

y







,

2

itd.)

RR o zmiennych rozdzielonych są to równania, które
można doprowadzić do postaci:

dx

x

g

dy

y

f

)

(

)

(



Przykład 2. Rozwiązać RR:

2

'





x

yy

Polecenie „rozwiązać RR” oznacza „wyznaczyć ROR”.

Przepisujemy dane RR zastępując symbol pochodnej

'

y

symbolem

dx

dy

. Dostajemy:

2





x

dx

dy

y

Przekształcamy to równanie traktując

dx

dy

jak zwykły

ułamek algebraiczny. Mnożymy przez

dx

:

dx

x

ydy

)

2

(





Rozdzieliliśmy zmienne. Teraz obie strony całkujemy:









dx

x

dy

y

)

2

(

Obliczamy całki:

1

2

2

1

C

y

dy

y







2

2

2

2

1

)

2

(

C

x

x

dx

x











Wracamy do równania:

2

2

1

2

2

2

1

2

1

C

x

x

C

y









1

2

2

2

2

2

1

2

1

C

C

x

x

y









)

(

2

4

1

2

2

2

C

C

x

x

y









Oznaczmy:

C

C

C





)

(

2

1

2

C

x

x

y







4

2

2

C

x

x

y









4

2

Odpowiedź. ROR:

C

x

x

y









4

2

.

Przykład 3. Znaleźć RSR:

2

'





x

yy

spełniające

warunek początkowy:

3

)

0

(





y

.

Jest to równanie z poprzedniego przykładu. Znaleźliśmy

już ROR:

C

x

x

y









4

2

.

Podstawiamy:

3

,

0







y

x

:

C











0

0

3

2

C







3

Ponieważ

9

3







, zatem

9



C

.

Odpowiedź: RSR spełniające dany warunek początkowy

to:

9

4

2









x

x

y

.

RR liniowe rzędu pierwszego o stałych współczynnikach

są to równania postaci:

R

p

x

f

py

y







),

(

'

W przypadku, gdy

0

)

(



x

f

równanie nazywamy

jednorodnym. W innym przypadku równanie nazywamy
niejednorodnym.

RR liniowe rzędu pierwszego o stałych współczynnikach
jednorodne są to równania:

0

'





py

y

RJ

Rozwiązanie ogólne RJ jest dane wzorem:

px

Ce

y





Przykład 4. Rozwiązać równanie:

0

3

'





y

y

Odpowiedź: RORJ:

x

Ce

y

3





RR liniowe rzędu pierwszego o stałych współczynnikach
niejednorodne

Twierdzenie. Dla równania liniowego rzędu 1 jest:

RORN = RORJ + RSRN.

Przykład 5. Rozwiązać równanie

3

2

'







x

y

y

Rozwiązanie. Piszemy RJ:

0

2

'





y

y

i wyznaczamy

RORJ:

x

Ce

y

2





RSRN wyznaczamy metodą przewidywania.

Przewidujemy, że RSRN jest funkcją podobnego typu, jak
prawa strona równania, tzn. funkcją postaci:

b

ax

y





.

Obliczamy:

a

y



'

i podstawiamy powyższe funkcje do

RN:

3

2

'







x

y

y

3

)

(

2









x

b

ax

a

3

2

2









x

b

ax

a

Stąd:













3

2

1

2

b

a

a

,





















4

5

3

2

2

1

2

1

b

b

a

Zatem RSRN:

4

5

2

1





x

y

Odpowiedź. RORN:

4

5

2

1

2









x

Ce

y

x

.

Przykład 6. Rozwiązać równanie

x

e

y

y

2

'





Rozwiązanie. Piszemy RJ:

0

'





y

y

i wyznaczamy

RORJ:

x

Ce

y



Przewidujemy, że RSRN jest funkcją postaci:

x

ae

y

2



.

Obliczamy:

x

ae

y

2

2

'



i podstawiamy powyższe funkcje

do RN:

x

e

y

y

2

'





x

x

x

e

ae

ae

2

2

2

2





x

x

e

ae

2

2



Stąd:

1



a

Zatem RSRN:

x

e

y

2



Odpowiedź. RORN:

x

x

e

Ce

y

2





.

RR liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach są
to równania:

)

(

'

"

x

f

qy

py

y







gdzie

R

q

p



,

W przypadku, gdy

0

)

(



x

f

równanie nazywamy

jednorodnym. W innym przypadku równanie nazywamy
niejednorodnym.

RR liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach,
jednorodne są to równania:

0

'

"







qy

py

y

RJ

Aby rozwiązać RJ piszemy równanie charakterystyczne
(RCh):

0

'

"







qy

py

y

. Jest to równanie kwadratowe.

Obliczamy jego wyróżnik

q

p

4

2







. Możliwe są 3

przypadki:

(1) Jeżeli

0





to RCh ma 2 pierwiastki

1

r

i

2

r

, zaś

RORJ:

x

r

x

r

e

C

e

C

y

2

1

2

1





(2) Jeżeli

0





to RCh ma 1 pierwiastek

0

r

, zaś RORJ:

x

r

e

x

C

C

y

0

)

(

2

1





(3) Jeżeli

0





to RORJ:

)

cos

sin

(

2

1

bx

C

bx

C

e

y

ax





gdzie:

2

;

2











b

p

a

.

Przykład 7. Rozwiązać równanie

0

4

'

4

"







y

y

y

Rozwiązanie. RCh:

0

4

4

2







r

r

0

4

4

4

2











- przypadek (2). Jest 1 pierwiastek

2

2

4

0









r

. Zatem RORJ:

x

e

x

C

C

y

2

2

1

)

(







Przykład 8. Rozwiązać równanie

0

13

'

4

"







y

y

y

Rozwiązanie. RCh:

0

13

4

2







r

r

0

36

52

16

13

4

4

2



















- przyp. (3).

Obliczamy:

3

2

;

2

2

















b

p

a

Zatem RORJ:

)

3

cos

3

sin

(

2

1

2

x

C

x

C

e

y

x







Przykład 9. Rozwiązać równanie

0

4

'

5

"







y

y

y

Rozwiązanie. RCh:

0

4

5

2







r

r

9

4

4

5

2











- przypadek (1).

Są 2 pierwiastki:

1

2

3

5

;

4

2

3

5

2

1





















r

r

Zatem RORJ:

x

x

e

C

e

C

y









2

4

1

RR liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach,
niejednorodne

Podobnie jak dla równań liniowych rzędu pierwszego,
prawdziwy jest związek:

RORN = RORJ + RSRN

Wyznaczanie RORJ omówiliśmy wcześniej. RSRN
wyznaczamy metodą przewidywania, podobnie jak dla
równań rzędu pierwszego.

Przykład 10. Rozwiązać równanie

2

16

4

4

'

4

"

2











x

x

y

y

y

RN

Rozwiązanie. Piszemy RJ:

0

4

'

4

"







y

y

y

i

rozwiązujemy je. Uczyniliśmy to w przykładzie 7
otrzymując RORJ:

x

e

x

C

C

y

2

2

1

)

(







Przewidujemy, że RSRN jest funkcją podobnego typu, jak
prawa strona równania, tzn. funkcją postaci:

c

bx

ax

y







2

.

Obliczamy:

b

ax

y





2

'

i

a

y

2

"



.

Podstawiamy powyższe funkcje do RN:

2

16

4

4

'

4

"

2











x

x

y

y

y

2

16

4

4

4

4

4

8

2

2

2

















x

x

c

bx

ax

b

ax

a

2

16

4

4

4

2

)

4

8

(

4

2

2

















x

x

c

b

a

x

b

a

ax























2

4

4

2

16

4

8

4

4

c

b

a

b

a

a

,























2

4

4

2

16

4

8

1

c

b

b

a

,

























3

,

2

4

8

2

2

1

c

c

b

a

Zatem RSRN:

3

2

2







x

x

y

Odpowiedź. RORN:

3

2

)

(

2

2

2

1













x

x

e

x

C

C

y

x

Przykład 11. Rozwiązać równanie

x

e

y

y

y

3

5

13

'

4

"







RN

Rozwiązanie. Piszemy RJ:

0

13

'

4

"







y

y

y

i

rozwiązujemy. Uczyniliśmy to w przykł. 8 otrzymując:

RORJ:

)

3

cos

3

sin

(

2

1

2

x

C

x

C

e

y

x







Przewidujemy, że RSRN jest funkcją podobnego typu, jak
prawa strona równania, tzn. funkcją postaci:

x

ae

y

3



.

Obliczamy:

x

ae

y

3

3

'



i

x

ae

y

3

9

"



.

Podstawiamy powyższe funkcje do RN:

x

e

y

y

y

3

5

13

'

4

"







x

x

x

x

e

ae

ae

ae

3

3

3

3

5

13

12

9







x

x

e

ae

3

3

5

34



5

34



a

,

34

5



a

Zatem RSRN:

x

e

y

3

34

5



Odpowiedź. RORN:

x

x

e

x

C

x

C

e

y

3

2

1

2

34

5

)

3

cos

3

sin

(









Przykład 12. Rozwiązać równanie

x

x

y

y

y

cos

13

sin

4

'

5

"









RN

Rozwiązanie. Piszemy RJ:

0

4

'

5

"







y

y

y

i

rozwiązujemy je. Uczyniliśmy to w przykładzie 9
otrzymując:

RORJ:

x

x

e

C

e

C

y









2

4

1

Przewidujemy, że RSRN jest funkcją podobnego typu, jak
prawa strona równania, tzn. funkcją postaci:

x

b

x

a

y

cos

sin





.

Obliczamy:

x

b

x

a

y

sin

cos

'





i

x

b

x

a

y

cos

sin

"







.

Podstawiamy powyższe funkcje do RN:

x

x

x

b

x

a

x

b

x

a

x

b

x

a

cos

13

sin

cos

4

sin

4

sin

5

cos

5

cos

sin



















x

x

x

a

b

x

b

a

cos

13

sin

cos

)

5

3

(

sin

)

5

3

(











Stąd:















13

3

5

1

5

3

b

a

b

a

Rozwiążemy ten układ metodą Cramera:

34

25

9

3

5

5

3











W

68

65

3

3

13

5

1











a

W

2





W

W

a

a

34

5

39

13

5

1

3









b

W

1





W

W

b

b

Zatem RSRN:

x

x

y

cos

sin

2





Odpowiedź. RORN:

x

x

e

C

e

C

y

x

x

cos

sin

2

2

4

1











