METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW
Rozwiązywanie równań i układów równań
Ścisłe (symboliczne) rozwiązywanie równań i układów równań
solve (równania, niewiadome)
równania, niewiadome – zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.
Przybliżone (numeryczne) rozwiązywanie równań i układów równań
fsolve (równania, niewiadome)
równania, niewiadome – zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.
Niewiadome można podać określając przedział, w którym poszukiwane jest rozwiązanie np.:
0
..
3
,
2
..
1
y
x
.
Zadania
1. Rozwiązać w sposób ścisły równania:
a)
0
3
4
sin
x
x
Odp.
0
,
3
9
1
2
2
2
b)
0
2
5
2
5
5
2
1
x
x
x
Odp.
5
2
ln
4
125
ln
c)
0
15
2
16
2
2
3
4
5
x
x
x
x
x
Odp. 0, -1, -, -3, 5
2. Rozwiązać w sposób ścisły układy równań. Otrzymane rozwiązania przypisać do
indywidualnych zmiennych np. x
1
, y
1
, x
2
, y
2
.
a)
0
0
4
1
4
)
(
2
y
x
y
x
x
x
Odp.
840896
.
0
,
5
.
0
,
840896
.
0
,
5
.
0
,
1
,
1
y
x
y
x
y
x
b)
8
6
3
3
7
2
4
6
4
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Odp.
29
115
,
29
94
,
29
176
z
y
x
c)
0
18
2
3
0
12
3
2
y
x
y
x
Odp.
1
,
2
y
x
Wskazówka: Wykorzystaj komendę eval.
3. Znaleźć przybliżone rozwiązania następujących równań
a)
0
2
2
sin
x
x
w przedziale
0
..
15
x
Odp. –12.566041, -6.308421
b)
0
)
1
3
(
arctg
2
x
Odp. –0.577350, 0.577350
c)
0
2
cos
sin
e
cos
x
x
x
w przedziale
5
..
1
x
Odp. 0.400919, 3.141593, 4.102109
Wskazówka:
a) Wykreśl odpowiednią krzywą.
b) Określ przedział w którym znajduje się wybrane rozwiązanie i użyj go w wywołaniu
komendy fsolve.
c) Czynność z podpunktu b) powtórz dla każdego pierwiastka.
4. Znaleźć wszystkie przybliżone rozwiązania następujących układów równań:
a)
4
9
)
cos(
2
2
y
x
xy
y
x
Odp. {x=-5.97939, y=-0.16565}, {x=-0.14160, y=1.99944},
{x=0.14160, y=-1.99944}, {x=5.97939, y=0.16565}
b)
x
x
y
y
y
x
)
cos(
)
sin(
2
9
)
2
(
2
2
Odp. {x=0.60560, y=0.70760}, {x=3.41343, y=-0.14134}
Wskazówka: Postępuj podobnie jak w punkcie 3. Do narysowania krzywych wykorzystaj
komendę implicitplot z pakietu plots, służącą do wykreślania funkcji niejawnych.
5. Znaleźć wszystkie przybliżone rozwiązania, w tym zespolone, następującego równania
wielomianowego:
0
16
13
3
16
3
2
3
4
x
x
x
x
Wskazówka: W wywołaniu komendy fsolve wykorzystaj opcję complex.
Odp. –0.662359-0.562280i, –0.662359+0.562280i, 1.324718, 5.333333