R
ÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU DRUGIEGO
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci
0
)
,
,
,
(
y
y
y
x
F
gdzie F oznacza znaną funkcję, niewiadomą jest funkcja
)
(x
y
y
jednej zmiennej x i w
którym występuje druga pochodna tej funkcji.
Rozwiązać równanie z podanymi warunkami początkowymi
1
)
1
(
,
2
)
1
(
,
0
y
y
y
R
ÓWNANIE
LINIOWE
RZĘDU DRUGIEGO
Równanie liniowe rzędu drugiego zapisujemy w postaci
)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
q
y
x
p
y
( skrót RL)
gdzie p, q i f są to dane funkcje ciągłe, określone w przedziale X.
Równanie nazywamy
jednorodnym jeśli
0
)
(
x
f
na przedziale X (skrót RJ),
niejednorodnym jeśli f(x)
0 (skrót RN).
0
)
(
)
(
y
x
q
y
x
p
y
RJ
)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
q
y
x
p
y
RN
Dla dowolnych wartości początkowych
1
0
0
,
,
y
y
x
gdzie
R
y
y
X
x
1
0
0
,
,
równanie linowe
ma dokładnie jedno rozwiązanie spełniające zadany warunek początkowy
0
0
)
(
y
x
y
,
1
0
)
(
y
x
y
.
Wszystkie rozwiązania istnieją w całym przedziale X.
R
ÓWNANIE
LINIOWE JEDNORODNE
RZĘDU DRUGIEGO
0
)
(
)
(
y
x
q
y
x
p
y
RJ
TW.
Całka ogólna równania liniowego jednorodnego jest funkcją postaci
)
(
)
(
2
2
1
1
0
x
y
C
x
y
C
y
RORJ
gdzie
R
C
C
2
1
,
są dowolnymi stałymi, a funkcje
)
(
),
(
2
2
1
1
x
y
y
x
y
y
są liniowo
niezależnymi rozwiązaniami równania jednorodnego tzn.
const
x
y
x
y
)
(
)
(
2
1
. lub
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
W
Mówimy wówczas, że funkcje
)
(
),
(
2
2
1
1
x
y
y
x
y
y
tworzą układ podstawowy całek
równania jednorodnego. Wyznacznik W nazywamy wrońskianem (wyznacznikiem
Wrońskiego).
Uwaga
Jeżeli znamy niezerowe rozwiązanie równania jednorodnego
1
y
, to drugiego rozwiązania
poszukujemy w postaci
)
(
)
(
)
(
1
2
x
y
x
C
x
y
gdzie
)
(x
C
C
jest szukaną funkcją.
R
ÓWNANIE
LINIOWE JEDNORODNE
RZĘDU DRUGIEGO
O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH
0
qy
y
p
y
R
q
p
,
RJ
Przewidujemy RSRJ w postaci
rx
e
y
, gdzie r jest pewną stałą. W celu wyznaczenia stałej r
podstawiamy funkcję i jej pochodne
rx
re
y
rx
e
r
y
2
do RJ. Otrzymujemy tzw. równanie
charakterystyczne
0
2
q
pr
r
.
Możliwe są trzy sytuacje
1.
0
4
2
q
p
Równania charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
2
1
, r
r
. Odpowiadają im
dwie liniowo niezależne funkcje
x
r
x
r
e
y
e
y
2
1
2
1
,
,
które tworzą układ podstawowy całek RJ. Ich kombinacja liniowa o dowolnych
współczynnikach
R
C
C
2
1
,
tworzy RORJ.
x
r
x
r
e
C
e
C
y
2
1
2
1
R
C
C
2
1
,
RORJ
2.
0
4
2
q
p
Równania charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty
0
r
. Odpowiada mu
rozwiązanie RJ
x
r
e
y
0
1
. Drugą funkcję wyznaczamy metodą uzmiennia stałej. Otrzymujemy
x
r
xe
y
0
2
.
Zatem funkcja
x
r
e
x
C
C
y
0
2
1
R
C
C
2
1
,
jest RORJ.
3.
0
Brak pierwiastków rzeczywistych. Rozwiązania zespolone
i
r
1
,
i
r
2
Funkcje
x
e
y
x
sin
1
x
e
y
x
cos
2
tworzą układ podstawowy całek RJ.
x
C
x
C
e
y
x
cos
sin
2
1
R
C
C
2
1
,
RORJ.
RORJ o stałych współczynnikach
0
x
r
x
r
e
C
e
C
y
2
1
2
1
R
C
C
2
1
,
0
x
r
e
x
C
C
y
0
2
1
R
C
C
2
1
,
0
x
C
x
C
e
y
x
cos
sin
2
1
R
C
C
2
1
,
Zadanie
Wyznaczyć RO równania
a)
0
2
3
y
y
y
b)
0
4
4
y
y
y
c)
0
5
6
5
y
y
y
R
ÓWNANIE
LINIOWE NIEJEDNORODNE
RZĘDU DRUGIEGO
)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
q
y
x
p
y
RN
RORN=RORJ+RSRN
-
M
ETODA PRZEWIDYWANIA
RSRN
W przypadku równania
o stałych współczynnikach
z
prawą stroną postaci
- wielomianu
- funkcji
x
b
x
a
cos
sin
- funkcji typu
kx
ae
- suma lub iloczyn funkcji wymienionych typów
tak jak dla równania liniowego rzędu pierwszego, w celu wyznaczenia RSRN można
stosować metodę przewidywania.
zadanie
2
3
8
4
4
4
x
x
y
y
y
-
M
ETODA UZMIENNIANIA STAŁYCH
RSRN wyznaczamy metodą uzmienniania stałych w RORJ
)
(
)
(
2
2
1
1
0
x
y
C
x
y
C
y
.
RSRN poszukujemy w postaci
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
x
y
x
C
x
y
x
C
y
s
,gdzie
)
(
),
(
2
2
1
1
x
C
C
x
C
C
szukane funkcje.
Pochodne
)
(
),
(
2
1
x
C
x
C
szukanych funkcji wyznaczamy z układu równań
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1
x
f
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
W przypadku równania o stałych współczynnikach z prawą stroną jak dla równania liniowego
rzędu pierwszego w celu wyznaczenia RSRN można stosować metodę przewidywania.
Zadanie
Wyznaczyć RORJ
0
3
2
2
y
y
x
y
x
jeżeli funkcja
x
y
1
jest całką tego równania.
Zadanie
x
x
y
y
x
y
x
ln
5
3
2
2
odp.
x
x
x
C
x
C
y
ln
9
1
2
2
5
1
R
ÓWNANIA RZĘDU DRUGIEGO SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU PIERWSZEGO
1. Jeżeli w równaniu nie występuje funkcja
y
0
)
,
,
(
y
y
x
F
podstawiamy
)
(x
u
y
.
Zatem
)
(x
u
y
, po podstawieniu do równania dostajemy
0
)
,
,
(
u
u
x
F
równanie rzędu pierwszego dla funkcji
)
(x
u
u
.
Po wyznaczeniu funkcji u, obliczamy funkcję y
dx
x
u
x
y
)
(
)
(
2. Jeżeli w równaniu nie występuje zmienna niezależna x
0
)
,
,
(
y
y
y
F
podstawiamy
)
( y
u
y
.
Zatem
u
dy
du
dx
dy
dy
du
y
u
dx
d
y
dx
d
y
)
(
, po podstawieniu do równania dostajemy
0
)
),
(
,
(
u
dy
du
y
u
y
F
równanie rzędu pierwszego dla funkcji
)
( y
u
u
.
Po wyznaczeniu funkcji u, obliczamy funkcję y z równania różniczkowego o zmiennych
rozdzielonych
)
( y
u
dx
dy
dx
u
dy
dla
0
u
,
(sprawdzamy czy kładąc
0
u
dostajemy rozwiązania równania).