v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 46
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
III. Metoda przemieszczeń
31. Przywęzłowe momenty wyjściowe metody przemieszczeń
Zestawienie momentów utwierdzenia – „momentów wyjściowych” w belkach, przy różnych schematach
obciążenia (lewa kolumna – obustronne utwierdzenie, prawa kolumna – jednostronne utwierdzenie),
na rysunkach pokazano rzeczywiste zwroty momentów przywęzłowych. Warto odnieść je sobie do dodat-
nich momentów przyjmowanych zgodnie z konwencją znaków metody przemieszczeń.
Uwaga:
Wyjściowe siły tnące można wyznaczyć każdorazowo z warunków równowagi pręta.
Rys. 31.1. Wyjściowe momenty przywęzłowe metody przemieszczeń
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 47
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
32. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 32.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M.
Zadanie rozwiązać metodą przemieszczeń.
Rys. 32.1. Dany układ prętowy z obciążeniem
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny
1
g
n
n
ϕ
=
=
.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – schemat geometrycznie wyznaczalny po wprowa-
dzeniu fikcyjnego więzu w węźle (1) – z przyłożonym obciążeniem zewnętrznym przedstawiono na ry-
sunku 32.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych od danego obciąże-
nia.
Rys. 32.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe (wywołane obciążeniem zewnętrznym):
2
0
1
3 4
4 [
]
12
C
M
kNm
⋅
= −
= −
,
2
0
1
3 4
4 [
]
12
C
M
kNm
⋅
=
=
0
1
3
16 3
9 [
]
16
B
M
kNm
=
⋅ ⋅ =
.
Momenty przywęzłowe w UPMP wywołane wymuszeniem – kątem obrotu
1
ϕ
=
węzła (1).
Rys. 32.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
ϕ
=
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe (od obciążenia zewnętrznego i obrotu w węźle):
1
2
A
M
EI
ϕ
=
,
1
9
B
M
EI
ϕ
= +
,
1
4
2
C
M
EI
ϕ
= − +
,
1
4
C
M
EI
ϕ
= +
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 48
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Niewiadomą metody przemieszczeń, kąt obrotu
ϕ
węzła 1, obliczymy z równania równowagi – zerowa-
nia się reakcji w fikcyjnym więzie. Równanie to można tu rozumieć jako zerowania się sumy momentów
w przekrojach przywęzłowych prętów wychodzących z węzła (1)
1
1
1
1
0
A
B
C
M
M
M
M
Σ
=
+
+
=
.
Stąd
1
5 5
0
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
.
Podstawiając za
ϕ
rzeczywistą wielkość wyznaczymy wartości momentów przywęzłowych:
1
1
2
2 [
]
A
M
EI
kNm
EI
= −
⋅
= −
,
1
1
9
8 [
]
B
M
EI
kNm
EI
= +
−
=
,
1
1
4
2
6 [
]
C
M
EI
kNm
EI
= − +
−
= −
,
1
1
4
3 [
]
C
M
EI
kNm
EI
= +
−
=
.
Wykresy sił przywęzłowych najłatwiej sporządzić analizując równowagę każdego elementu osobno.
Rys. 32.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi wraz z wyznaczonymi siłami poprzecznymi
Powyższy schemat umożliwia sporządzenie wykresów sił tnących i momentów zginających.
Celem sporządzenia wykresu sił normalnych zapisujemy równania równowagi wyciętego węzła (1).
Rys. 32.5. Sprawdzenie warunku równowagi sił normalnych i tnących w węźle (1)
1
0
A
N
=
,
1
0
6, 75 0, 667
6, 0833 [
]
y
B
P
N
kN
=
⇒
= −
+
= −
∑
,
1
0
10, 667 [
]
x
C
P
N
kN
=
⇒
= −
∑
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 49
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 32.6. Wykresy sił wewnętrznych
33. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 33.1. Sporządzić wykresy momentów zginających.
Rys. 33.1. Dany układ ramowy z obciążeniem
Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny
2
g
n
n
ϕ
=
=
,
1
2
(
,
)
ϕ ϕ
.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – schemat geometrycznie wyznaczalny po wprowa-
dzeniu fikcyjnych więzów w węzłach (1) i (2) – z przyłożonym obciążeniem zewnętrznym przedstawiono
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 50
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
na rysunku 33.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych od danego
obciążenia.
Rys. 33.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
0
13
2 [
]
M
kNm
=
,
0
1
8 4
4 [
]
8
A
M
kNm
⋅
=
=
,
0
1
4 [
]
A
M
kNm
= −
,
2
0
12
3 4
4 [
]
12
M
kNm
⋅
= −
= −
,
0
21
4 [
]
M
kNm
=
Przywęzłowe momenty zginające w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane jednostkowymi
wymuszonymi kątami obrotu
1
ϕ
i
2
ϕ
, odpowiednio węzłów (1) i (2) (patrz rys. 33.3).
13
2
M
=
,
1
1
4
A
M
EI
ϕ
= +
,
1
1
1
4
2
A
M
EI
ϕ
= − +
,
12
1
2
4 2
M
EI
EI
ϕ
ϕ
= − +
+
,
21
1
2
4
2
M
EI
EI
ϕ
ϕ
= +
+
,
2
2
B
M
EI
ϕ
=
,
2
2
4
C
M
EI
ϕ
=
,
2
2
2
C
M
EI
ϕ
=
Rys.33.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
1
ϕ
=
i
2
1
ϕ
=
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Równania zerowania się reakcji w fikcyjnych więzach – równania równowagi, zapisano poniżej
1
1
12
13
1
2
1
2
2
0
2 3
0
3
A
M
M
M
M
EI
EI
EI
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
Σ
=
+
+
=
⇒
+
+
=
⇒
+
= −
(węzeł 1)
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 51
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
2
21
2
2
1
2
1
2
4
0
4
7
0
7
B
C
M
M
M
M
EI
EI
EI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Σ
=
+
+
=
⇒
+
+
=
⇒
+
= −
(węzeł 2)
Z rozwiązania powyższego układu równań kanonicznych metody przemieszczeń otrzymamy
1
2
1
2EI
ϕ ϕ
=
= −
.
Wartości momentów przywęzłowych otrzymujemy z superpozycji trzech stanów obciążenia:
13
2 [
]
M
kNm
=
,
1
4 0,5
3,5 [
]
A
M
kNm
= +
=
,
1
4 0, 25
4, 25 [
]
A
M
kNm
= − −
= −
,
12
4 1 0, 5
5,5 [
]
M
kNm
= − − −
= −
,
21
4 0, 5 1
2,5 [
]
M
kNm
= −
− =
,
2
0, 5 [
]
B
M
kNm
= −
,
2
2 [
]
C
M
kNm
= −
,
2
1[
]
C
M
kNm
= −
.
Wyznaczenie wykresu momentów zginających.
Rys.33.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi oraz wykres momentów zginających
34. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 34.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M
dla układu poddanego nierównomiernemu ogrzaniu pręta (A-1). Dane:
40 [
]
t
d
g
t
t
C
∆ = − =
,
5
1
10 [deg ]
t
α
−
−
=
,
2
2000 [
]
EI
kNm
=
,
0, 2 [ ]
h
m
=
.
Rys. 34.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym (temperatura)
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 52
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny.
1
g
n
n
ϕ
=
=
.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – schemat geometrycznie wyznaczalny po wprowa-
dzeniu fikcyjnego więzu blokującego możliwość obrotu węzła 1 – z momentami przywęzłowymi będą-
cymi skutkiem działania przyłożonego obciążenia zewnętrznego przedstawiono na rysunku 34.2, zazna-
czono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych od danego obciążenia.
Rys. 34.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
5
0
1
10
40
2,5
5000
10 [
]
0, 2
t
A
t
M
EI
kNm
h
α
−
∆
⋅
= −
= −
⋅
= −
,
0
1
10 [
]
A
M
kNm
=
.
Momenty przywęzłowe w UPMP wywołane jednostkowym wymuszeniem – kątem obrotu
1
ϕ
=
węzła 1.
Rys. 34.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
ϕ
=
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe
1
10
2
A
M
EI
ϕ
=
+
,
1
10
A
M
EI
ϕ
= − +
,
1B
M
EI
ϕ
=
,
1
0, 5
B
M
EI
ϕ
=
,
1
2
C
M
EI
ϕ
=
.
Równanie zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie – równowagi
1
1
1
1
0
A
B
C
M
M
M
M
Σ
=
+
+
=
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 53
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Stąd
2
10 5
0
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
.
Wartości momentów przywęzłowych po podstawieniu rzeczywistej wielkości
ϕ
1
10 4
6 [
]
A
M
kNm
= − =
,
1
10 2
12 [
]
A
M
kNm
= − − = −
,
1
2 [
]
B
M
kNm
= −
,
1
1[
]
B
M
kNm
= −
,
1
4 [
]
C
M
kNm
= −
Wyznaczenie wykresów.
Rys. 34.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi oraz równowaga w węźle (1)
Rys. 34.5. Wykresy sił wewnętrznych
Siły normalne w elementach (1-A) i (1-B) obliczamy rozpatrując równowagę węzła (1).
1
1
0
0, 75 0, 72 0,8
0
0, 038 [
]
X
A
A
P
N
N
kN
Σ
=
⇒
−
+
=
⇒
= −
,
1
1
1
0
0, 6
0,96 1, 333
0
0, 396 [
]
Y
A
B
B
P
N
N
N
kN
Σ =
⇒
+
−
−
=
⇒
= −
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 54
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
35. Zadanie
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rysunku 35.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. Zadanie
rozwiązać metodą przemieszczeń a następnie sprawdzić metodą sił.
Rys. 35.1. Dana belka ciągła z obciążeniem zewnętrznym
Metoda przemieszczeń
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny
1
g
n
n
ϕ
=
=
.
Momenty wyjściowe są zerowe (brak obciążeń przęsłowych).
Momenty przywęzłowe pochodzące od kąta obrotu
1
ϕ
=
.
Rys. 35.2. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
ϕ
=
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
1A
M
EI
ϕ
=
,
1
0, 75
B
M
EI
ϕ
=
.
Równanie równowagi.
Rys. 35.3. Równowaga w węźle (1)
1
1
1
8
14
0
1, 75
14
0
A
B
M
M
M
EI
EI
ϕ
ϕ
Σ
=
+
+
=
⇒
+
=
⇒
= −
Wartości końcowych momentów przywęzłowych
1
8 [
]
A
M
kNm
= −
,
1
6 [
]
B
M
kNm
= −
.
Wykresy
Rys. 35.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi – wykresy sił wewnętrznych
Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności układu
1
n
=
.
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił (UPMS) odrzucając więz wewnętrzny – powstaje przegub.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 55
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 35.5. UPMS obciążony obciążeniem zewnętrznym oraz nadliczbową
1
X
Zakładamy, że obciążenie zewnętrzne (moment skupiony przyłożony w węźle 1) działa po lewej stronie
przegubu powstałego po przyjęciu UPMS.
Stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 5.4.3.
Stan
1
1
X
=
Rys. 35.6. UPMS – wykresy momentów od obciążenia zewnętrznego oraz od jednostkowej nadliczbowej
1
1
X
=
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym
0
1
10
1
1
2
14
14 6
1
2
2
3
L
M M
ds
EI
EI
EI
δ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
∫
- wywołane nadliczbową
1
1
X
=
1
1
11
1
1
2
1
1
2
7
6 1
1
4 1
1
2
2
3
2
3
3
L
M M
ds
EI
EI
EI
EI
δ =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
∫
Z równania zgodności przemieszczeń
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
10
1
11
6 [
]
X
kNm
δ
δ
= −
= −
.
Rys. 35.7. Wyznaczenie wykresów sił wewnętrznych
36. Zadanie
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rysunku 36.1. Rozwiązać układ stosując metodę przemieszczeń.
Dane:
o
20 [
]
A B
d
g
t
t
t
C
−
∆
= − =
,
5
1
10 [deg ]
t
α
−
−
=
,
0, 2 [ ]
h
m
=
,
2
40 000 [
]
EI
kNm
=
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 56
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 36.1. Dana belka ciągła z obciążeniem (temperatura)
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny
1
g
n
n
ϕ
=
=
.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – schemat geometrycznie wyznaczalny po wprowa-
dzeniu fikcyjnego więzu w węźle (B) – z momentem przywęzłowym będącym skutkiem działania przyło-
ż
onego obciążenia zewnętrznego przedstawiono na rysunku 36.2, zaznaczono rzeczywisty zwrot wyj-
ś
ciowego momentu przywęzłowego od danego obciążenia.
Rys. 36.2. UPMP z zaznaczonym momentem przywęzłowym od obciążenia zewnętrznego
Moment wyjściowy
5
0
3
10
20
6000
60 [
]
2
0, 2
t
BA
t
M
EI
kNm
h
α
−
∆
⋅
=
=
⋅
=
.
Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowym wymuszeniem
1
ϕ
=
.
Rys. 36.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
ϕ
=
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
60 0, 6
BA
M
EI
ϕ
=
+
⋅
,
BC
M
EI
ϕ
=
.
Równanie zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie – równanie równowagi w węźle (1)
37,5
0
60 1, 6
0
B
BA
BC
M
M
M
EI
EI
ϕ
ϕ
Σ
=
+
=
⇒
+
=
⇒
= −
,
Wartości momentów przywęzłowych po podstawieniu rzeczywistej wielkości
ϕ
:
60 22, 5
37,5 [
]
BA
M
kNm
=
−
=
,
37, 5 [
]
BC
M
kNm
= −
.
Rys. 36.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi – wykresy sił wewnętrznych
37. Zadanie
Wyznaczyć siły wewnętrzne w układzie z rysunku 37.1 powstałe na skutek wmontowania pręta (A-1)
dłuższego o
3 [
]
l
cm
∆ =
. Przyjąć
2
1400 [
]
EI
kNm
=
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 57
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 37.1. Dany układ ramowy obciążony wmontowaniem dłuższego pręta (A-1)
Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu
1
g
n
n
ϕ
=
=
.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – układ geometrycznie wyznaczalny.
Rys. 37.2. UPMP z zaznaczonym momentem przywęzłowym od obciążenia zewnętrznego
Moment wyjściowy
0
1
2
2
3
3 1400
0, 03
14 [
]
3
3
B
EI
M
l
kNm
⋅
⋅
= −
⋅ ∆ = −
⋅
= −
Momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym powstałe na skutek wymuszenia obrotu
węzła o kąt
1
ϕ
=
.
Rys. 37.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
ϕ
=
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
1
4
3
A
M
EI
ϕ
=
,
1
14
B
M
EI
ϕ
= − +
,
1
2
3
A
M
EI
ϕ
=
Równanie równowagi
1
1
1
0
A
B
M
M
M
Σ
=
+
=
,
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 58
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
stąd
7
6
14
0
3
EI
EI
ϕ
ϕ
− +
=
⇒
=
.
Wartości momentów przywęzłowych:
1
4
6
8 [
]
3
A
M
kNm
= ⋅ =
,
1
14 6
8 [
]
B
M
kNm
= − + = −
,
1
2
6
4 [
]
3
A
M
kNm
= ⋅ =
.
Wyznaczenie wykresów
Rys. 37.5. Układ obciążony momentami przywęzłowymi – wykresy sił wewnętrznych
38. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 38.1. Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek
równomiernego ogrzania jednego z elementów o wielkość
0
t względem temperatury montażu.
Dane:
5
1
10 [deg ]
t
α
−
−
=
,
2
10 000 [
]
EI
kNm
=
.
Rys. 38.1. Dany układ ramowy z obciążeniem (temperatura)
Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu
1
g
n
n
ϕ
=
=
.
Swobodne wydłużenie termiczne elementu (1-B)
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 59
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
5
4
0
10
20 3
6 10
[ ]
t
t
l
t
l
m
α
−
−
∆ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ = ⋅
Układ podstawowy metody przemieszczeń (geometrycznie wyznaczalny).
Rys. 38.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
0
4
1
2
2
3
3 10000
6 10
2 [
]
3
3
A
t
EI
M
l
kNm
−
⋅
⋅
= −
⋅ ∆ = −
⋅ ⋅
= −
,
0
0
4
1
1
2
6
2
6 20000
6 10
4,5 [
]
16
4
C
C
t
E
I
M
M
l
kNm
−
⋅
⋅
=
=
⋅ ∆ =
⋅ ⋅
=
.
Momenty przywęzłowe (
wykonać rysunek
):
1
3
2
2
3
A
EI
M
EI
ϕ
ϕ
= − +
= − +
,
1
3
2
2
3
B
E
I
M
EI
ϕ
ϕ
⋅
=
=
,
1
4
2
4, 5
4,5 2
4
C
E
I
M
EI
ϕ
ϕ
⋅
=
+
=
+
,
1
2
2
4, 5
4, 5
4
C
E
I
M
EI
ϕ
ϕ
⋅
=
+
=
+
.
Równanie równowagi
1
1
1
1
0
A
B
C
M
M
M
M
Σ
=
+
+
=
.
Stąd
1
2,5 5
0
2
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
.
Wartości momentów przywęzłowych:
1
2 0, 5
2, 5 [
]
A
M
kNm
= − −
= −
,
1
1[
]
B
M
kNm
= −
,
1
4, 5 1
3, 5 [
]
C
M
kNm
=
− =
,
1
4, 5 0, 5
4 [
]
C
M
kNm
=
−
=
Wyznaczenie wykresów.
Rys. 38.3. Układ obciążony momentami przywęzłowymi – wykresy sił wewnętrznych
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 60
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
39. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 39.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych M, T, N.
Rys.39.1. Dany ramowy prętowy z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny
1
g
n
n
ϕ
=
=
.
Ponieważ jedynym obciążeniem jest moment skupiony przyłożony w węźle, wyjściowe momenty przy-
węzłowe są zerowe.
Wpływ wymuszenia – kąt obrotu
1
ϕ
=
.
Rys. 39.2. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
ϕ
=
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Momenty przywęzłowe pochodzące od kata obrotu
1
ϕ
=
:
1A
M
EI
ϕ
=
,
1
3
B
M
EI
ϕ
=
,
1C
M
EI
ϕ
=
,
1
1
2
C
M
EI
ϕ
=
.
Równanie równowagi wyciętego węzła (1) – suma momentów przywęzłowych oraz skupionego momentu
węzłowego jest równa zeru.
Rys. 39.3. Równowaga w węźle (1) – zewnętrzny moment skupiony działa bezpośrednio na węzeł
1
1
1
1
0
A
B
C
M
M
M
M
M
Σ
= −
−
−
+
=
lub
1
1
1
A
B
C
M
M
M
M
+
+
=
Stąd
7
5
35
0
EI
EI
ϕ
ϕ
−
=
⇒
=
.
Możliwa jest także inna interpretacja.
Dodatkowy element (1-3) obciążony momentem skupionym
M
, w elemencie tym powstaje moment
wyjściowy
13
M
M
= −
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 61
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 39.4. Równowaga w węźle (1) – inna interpretacja obciążenia momentem
Wartości momentów przywęzłowych:
1
7 [
]
A
M
kNm
=
,
1
21[
]
B
M
kNm
=
,
1
7[
]
C
M
kNm
=
,
1
3, 5 [
]
C
M
kNm
=
Wyznaczenie wykresów
Rys. 39.5. Układ obciążony momentami przywęzłowymi – wykresy sił wewnętrznych
Obliczenie sił normalnych w elementach (A-1) i (1-C).
Przyjmujemy że siła
1A
N
jest rozciągająca, zaś siła
1C
N
ściskająca.
Rys. 39.6. Analiza obciążenia pręta (A-1-C)
Równanie równowagi
1
1
0
7 [
]
y
A
C
P
N
N
kN
∑
=
⇒
+
=
Warunek zgodności przemieszczeń
1
1
1
1
1
1
4
3
3
4
C
A
A
C
A
C
N
N
l
l
N
N
EA
EA
⋅
⋅
∆
= ∆
⇒
=
=
Z powyższych równań otrzymamy
[ ]
1
4
A
N
kN
=
,
1
3 [
]
C
N
kN
=
,
dodatkowo
1
2, 625 2, 333
0, 2917 [
]
B
N
kN
=
−
=
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 62
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 39.7. Wykres sił normalnych
40. Zadanie
Dany jest układ ramowy – rysunek 40.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. Przyjąć EI=const.
Rys. 40.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny
1 1
2
g
n
n
n
ϕ
∆
=
+
= + =
.
Układ podstawowy metody przemieszczeń – geometrycznie wyznaczalny.
Rys. 40.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
2
0
1
3 4
4 [
]
12
A
M
kNm
⋅
= −
= −
,
0
1
4 [
]
A
M
kNm
=
.
W obliczeniach poniżej przyjmujemy EI=1.
Momenty zginające w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane jednostkowymi wymuszeniami
1
ϕ
=
i
1
∆ =
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 63
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 40.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
ϕ
=
i
1
=
∆
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
1
3
4 0, 5
8
A
M
ϕ
= − +
− ∆
,
1
3
4
8
A
M
ϕ
= + − ∆
,
1B
M
ϕ
=
.
Poniżej zapisano odpowiednie równania równowagi.
1) Suma momentów w węźle (1).
1
1
1
3
0
2
4
0
16
3
32
8
A
B
M
M
M
ϕ
ϕ
Σ
=
+
=
⇒
− ∆ + =
⇒
− ∆ = −
(równanie równowagi węzła – 1)
2) Równowaga sił działających na wycięty element (1-B).
Rys. 40.4. Równowaga wyciętego elementu (1-B), zaznaczono siły przywęzłowe w pręcie (1-A)
Przywęzłowe siły tnące:
0
1
1
1
1
4
A
A
A
A
M
M
T
T
+
=
+
,
0
1
6
A
T
=
(od obciążenia zewnętrznego);
1
3
3
6
8
16
A
T
ϕ
=
−
∆ +
.
Równanie równowagi
1
3
3
0
2
0
8
0
6
3
128
8
16
x
A
P
T
ϕ
ϕ
Σ =
⇒
+ =
⇒
−
∆ + =
⇒
− ∆ = −
(równ. równ. rygla – 2)
Równanie (2) można otrzymać inna drogą – tworząc układ przegubowy (mechanizm) i zadając w nim
przemieszczenie wirtualne
∆
=1
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 64
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 40.5. Układ przegubowy (mechanizm) służący do wyznaczenia równowagi pręta (1-B)
Równanie równowagi wyciętego elementu (1-B)
1
0
1 2 1
0
x
A
P
T
=
⇒
⋅ + ⋅ =
∑
,
1A
T
- od strony węzła (1).
Po podstawieniu
1
1
1
6
4
A
A
A
M
M
T
+
=
+
otrzymujemy równanie (2).
Do tego samego rezultatu można dojść wprowadzając wielkość kąta obrotu pręta (A-1):
1
1
1
4
A
h
−
Ψ
= =
i
zapisując równanie pracy wirtualnej
1
1
1
1
(
)
2 1 3
1 4
0
6
3
128
2
A
A
A
M
M
ϕ
−
Ψ
⋅
+
+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
⇒
− ∆ = −
.
(równ. równ. rygla – 2)
Z układu równań (1) i (2) otrzymujemy
9, 6
ϕ
=
,
61,8667
∆ =
.
Wartości momentów przywęzłowych:
1
4
4,8 23, 2
22, 4 [
]
A
M
kNm
= − +
−
= −
,
1
4 9, 6 23, 2
9, 6 [
]
A
M
kNm
= +
−
= −
,
1
9, 6 [
]
B
M
kNm
= −
.
Wyznaczenie sił przywęzłowych.
Rys. 40.6. Układ obciążony momentami przywęzłowymi
Wykresy sił wewnętrznych.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 65
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 40.7. Wykresy sił wewnętrznych
41. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 41.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 41.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny
2 1
3
g
n
n
n
ϕ
∆
=
+
= + =
.
Rys. 41.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
0
1
12 4
6 [
]
8
A
M
kNm
⋅
= −
= −
,
0
1
6 [
]
A
M
kNm
=
.
Momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane wymuszeniami:
1
1
ϕ
=
,
2
1
ϕ
=
,
1
∆ =
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 66
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys.41.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
1
ϕ
=
i
2
1
ϕ
=
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Rys. 41.4. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia
1
=
∆
, zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
1
1
6 0, 4
0, 3
A
M
ϕ
= − +
−
∆
,
1
1
6 0,8
0, 3
A
M
ϕ
= +
−
∆
;
12
1
2
2
0, 75
M
ϕ ϕ
=
+
+
∆
,
21
1
2
2
0, 75
M
ϕ
ϕ
=
+
+
∆
;
2
2
3
0, 75
16
B
M
ϕ
=
−
∆
.
Równania równowagi.
a) Sumy momentów w węzłach (1) i (2).
1
1
12
1
2
0
2,8
0, 45
6
A
M
M
M
ϕ ϕ
Σ
=
+
=
⇒
+
+
∆ = −
,
(równanie równowagi węzła 1)
2
21
2
1
2
9
24
2, 75
24
16
B
M
M
M
M
ϕ
ϕ
Σ
=
+
=
=
⇒
+
+
∆ =
.
(równanie równowagi węzła 2)
b) Równanie równowagi rygla czyli wyciętego pręta (1–2) sumy rzutów sił na kierunek przesuwu – by je
otrzymać, tworzymy układ przegubowy (mechanizm) i zadajemy przemieszczenie wirtualne
1
∆ =
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 67
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 41.5. Rzutowanie sił na kierunek przesuwu oraz oznaczenie sił poprzecznych na końcach prętów
Przywęzłowe siły tnące:
1
1
1
1
4,8
0, 24
0,12
4,8
5
A
A
A
M
M
T
ϕ
+
=
+
=
−
∆ +
,
12
21
12
1
2
0,5
3
M
M
T
ϕ ϕ
+
=
=
+
+
∆
,
2
2
2
3
3
4
16
64
B
B
M
T
ϕ
=
=
−
∆
.
Równanie pracy wirtualnej można zapisać w postaci
1
12
2
5
3
1
0
4
4
A
B
T
T
T
⋅ −
⋅ +
⋅ =
.
W równaniu tym zwroty sił przyjmujemy zgodnie z konwencją znaków – od węzłów. W przypadku braku
obciążenia działającego bezpośrednio w węzłach można podstawić siły
T
od strony prętów. Po podsta-
wieniu otrzymujemy
1
2
9
183
0, 45
6
16
320
ϕ
ϕ
+
+
∆ =
.
(równanie równowagi rygla czyli elementu (1–2) – 3)
Inny sposób wyznaczenia równania (3). Obliczamy kąty obrotu poszczególnych prętów układu przegu-
bowego (mechanizmu).
.
Rys. 41.6. Wyznaczenie prac wirtualnych za pomocą schematu kinematycznego
Równanie pracy wirtualnej:
1
1
21
12
2
1
1
1
(
)
(
)
12 0,5
0
4
4
4
A
A
B
M
M
M
M
M
+
−
+
+
+ ⋅
=
,
1
1
21
12
2
1
(
)
6
0
4
A
A
B
M
M
M
M
M
+
−
−
+
+ =
,
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 68
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
1
2
9
183
0, 45
6
16
320
ϕ
ϕ
⇒
+
+
∆ =
.
(3)
Po rozwiązaniu układu równań (1), (2), (3) otrzymujemy:
1
6, 64506
ϕ
= −
,
2
9, 92489
ϕ
=
,
5, 95861
∆ =
.
Momenty przywęzłowe:
1
10, 4456 [
]
A
M
kNm
= −
,
1
1,1036 [
]
A
M
kNm
= −
;
12
1,1036 [
]
M
kNm
=
,
21
17, 6736 [
]
M
kNm
=
;
2
6,3264 [
]
B
M
kNm
=
.
Wyznaczenie sił tnących.
Rys. 41.7. Wyznaczenie sił tnących na podstawie równowagi prętów
Siły normalne w prętach (2-B) i (1-2) uzyskujemy z równowagi węzła (2).
2
0
6, 25907[
]
y
B
P
N
kN
=
⇒
= −
∑
,
12
0
1, 58161[
]
x
P
N
kN
=
⇒
=
∑
.
Siłę normalną
1A
N
uzyskujemy z równowagi węzła (1).
1
1
0
0, 6
0,8 2, 49016 1, 58161
0
5, 9562[
]
x
A
A
P
N
N
kN
=
⇒
−
+
⋅
+
=
⇒
=
∑
Rys. 41.8. Równowaga w węźle (1)
Sprawdzenie –
0
y
P
=
∑
.
Z równowagi w punkcie (3) otrzymujemy siłę normalną
1
1
7, 2
13,1562[kN]
A
A
N
N
=
+
=
.
v. 2010.02.26
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
strona 69
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl. z góry dziękujemy MKJ & MS
Rys. 41.9. Równowaga w punkcie (3)
Wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 41.10. Końcowe wykresy sił wewnętrznych