Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski 

Matematyka Dyskretna – ćw. 1 

Elementy logiki 

Zdania, wartości logiczne zdań, funktory zdaniotwórcze, tautologie 

 

Niech  zdania 

            będą  dowolnymi  zdaniami  wypowiadanymi  w  matematyce.  Będziemy  im 

przyporządkowywać dwie wartości logiczne:  prawdę (oznaczaną symbolem 1) lub fałsz (oznaczaną symbolem 
0). Dla zdań 

          , niech                     oznaczają wartości logiczne tych zdań. Zatem: 



 

         czytamy: „zdanie p jest zdaniem prawdziwym” 



 

         czytamy: „zdanie q jest zdaniem fałszywym” 

Zdania możemy łączyć funktorami zdaniotwórczymi w nowe zdania. Funktory zdaniotwórcze to: 



 

koniunkcja („… i …”): symbol 

  



 

alternatywa („… lub …”): symbol 

  



 

implikacja („jeśli … to …”): symbol 

  



 

równoważność („… wtedy i tylko wtedy, gdy …”): symbol 

  



 

negacja („nie prawda, że …”): symbol 

  

  

  

      

      

      

      

    

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

 

Tautologią będziemy nazywać każde zdanie, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych 
zdań je tworzących. 

Niektóre znane tautologie: 



 

      (prawo tożsamości) 



 

       (prawo wyłączonego środka) 



 

         (prawo podwójnej negacji) 



 

                       (prawo De Morgana dla koniunkcji) 



 

                       (prawo De Morgana dla alternatywy) 



 

                     (prawo przeczenia implikacji) 



 

                     (prawo kontrapozycji) 

Kilka faktów o implikacji 

     : 



 

  nazywamy poprzednikiem, zaś   nazywamy następnikiem implikacji 



 

jeśli 

       jest  twierdzeniem,  to     nazywamy  warunkiem  wystarczającym  na  to  by   ,  zaś    

nazywamy warunkiem koniecznym na to by 

  



 

implikację 

      nazywamy odwrotną do implikacji prostej       

Zad. 1. Określ wartość logiczną zdań: 

(a)  Jestem kobietą i jechałam dziś tramwajem 

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski 

(b) Jestem mężczyzną lub jestem kobietą 
(c)  Moje imię zaczyna się na M i świat jest płaski 
(d) Jeśli świat jest płaski to 3 < 7 
(e)  Jeśli 3 < 7, to świat jest płaski 
(f)  Jestem kobietą wtedy i tylko wtedy, gdy mam pomalowane paznokcie 
(g) Jeśli 2 + 3 = 4 to 2 + 2 = 3 

Zad. 2. Zapisz negacje poniższych zdań, nie stosując symbolu negacji: 

(a) 

               

(b) 

               

(c)   

                                   

(d) 

              

(e) 

                                     

Zad.  3.  Dla  każdego  z  poniższych  twierdzeń:  napisz  twierdzenie  równoważne,  wypisz 
warunek  konieczny  i  wystarczający  oraz  napisz  twierdzenie  odwrotne  i  stwierdź  czy  jest 
prawdziwe: 

(a) 

          

(b) jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie

 

(c)  jeśli  

 

 

 jest zbieżny, to 

   

   

 

 

    

(d) 

 

 

   

 

                      

Zad. 4. Sprawdź metodą zero-jedynkową czy podane schematy są tautologiami: 

(a)  prawa de Morgana 
(b) dowolny schemat dwuargumentowy 
(c)  prawo przeczenia implikacji 

(d)  

                                 

(e) 

                                    

Zad. 5. Sprawdź bez użycia metody zero-jedynkowej czy podane schematy są tautologiami: 

(a) 

                  

(b)  

                      

 

(c) 

                                 

Zad. 6. Sprawdź w którym momencie dalsze przetwarzanie instrukcji if nie jest konieczne:

 

(a) 

a = 3, b = 8, c = -1 
if (b > a and b > c) or (c < a): 

(b) 

x = y = 6, z = -x, v = -z 
if (y % 2 == 0 and x % 2 == 1) or (v != z): 

(c) 

napis = ‘123456’, x = 54.3, y = 0.22 
if (len(napis) == 5 or x - y > 60 or y < 1) and (len(napis) > 0): 

(d) 

a = 3, b = 4, c = 2, d = -1 
if a - b < 0 and c * d > b - 1 and b - c > -1: