Matematyka A, egzamin, 1 lutego 2011, 12:20 – 15:30

Rozwia

,

zania kolejnych zada´

n nale˙zy pisa´c na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musi wy la

,

czy´

c i schowa´

c! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zo-

sta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. 3 pt. Zdefiniowa´c log

d

b pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o d i b .

7 pt. Rozwia

,

za´c r´ownanie log

10

(x − 2) + log

10

(x + 2) − 2 log

10

2 =

1
3

log

10

27 − log

10

(x + 5) .

2. 3 pt. Poda´c definicje

,

kosinusa i sinusa dowolnego ka

,

ta.

4 pt. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c 16 sin

4

t − 16 sin

2

t + 3 > 0 .

3 pt. Zilustrowa´c jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. 10 pt. Obliczy´c pole obszaru ograniczonego przez proste y = 0 , x =

π

4

, x =

3π

4

i wykres funkcji

y = cos x sin x ln(sin x) .

4. Niech f (x) = x

3

√

sin

2

x .

Zachodza

,

wtedy r´owno´sci f

0

(x) =

2x cos x+3 sin x

3

3

√

sin x

, f

00

(x) =

−2(x cos

2

x−6 cos x sin x+3x sin

2

x)

9

3

√

sin

4

x

. W prze-

dziale otwartym (0, 2π) funkcja 2x cos x + 3 sin x ma dok ladnie dwa pierwiastki: x

1

≈ 2,17463

i x

2

≈ 5,00365 . Funkcja x cos

2

x − 6 cos x sin x + 3x sin

2

x ma w przedziale otwartym (0, 2π)

dok ladnie jeden pierwiastek: x

3

≈ 1,04447 .

1 pt. Rozstrzygna

,

´c, czy istnieje f

0

(0) . Je´sli istnieje, obliczy´c ja

,

.

1 pt. Rozstrzygna

,

´c, czy istnieja

,

f

0

(π) i f

0

(2π) . Je´sli istnieja

,

, obliczy´c je.

1 pt. Rozstrzygna

,

´c, czy istnieje f

00

(0) . Je´sli istnieje, obliczy´c ja

,

.

2 pt. Znale´z´c te podprzedzia ly przedzia lu [−2π, 2π] , na kt´orych funkcja f maleje oraz te, na

kt´orych ro´snie.

2 pt. Znale´z´c te podprzedzia ly przedzia lu [−2π, 2π] , na kt´orych funkcja f jest wypuk la oraz te,

na kt´orych jest wkle

,

s la.

3 pt. Naszkicowa´c wykres funkcji f na przedzia le [−2π, 2π] korzystaja

,

c z uzyskanych informacji.

5. (10 pt.) Znale´z´c granice

,

lim

x→0

(

4

p

1 − 2 tg

2

x − cos x) · 2

sin(3x)−tg(2x)

ln(1 + 9x)(sin x − x) cos(tg x) · (

√

4 + x − 1)

.

6. Niech O = (0, 0, 0) , A = (−2, 2, 3) , B = (−3, 2, 6) , C = (2, −1, 2) .

2 pt. Znale´z´c iloczyn [O, A] × [O, B] i obliczy´c pole tr´ojka

,

ta OAB .

2 pt. Obliczy´c odleg lo´s´c punktu A od prostej OB .

2 pt. Obliczy´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

2 pt. Obliczy´c odleg lo´s´c punktu C od p laszczyzny OAB .

2 pt. Znale´z´c sinus ka

,

ta jaki tworzy wektor [OC] z p laszczyzna

,

OAB .

Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie

,

mo˙ze przyda´c): (1 + x)

a

= 1 + ax +

a
2

x

2

+

a
3

x

3

+ · · · =

P

∞
n=0

a

n

x

n

,

sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+ · · · =

P

∞
n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

,

cos x

0

= − sin x ,

tg x = x +

1
3

x

3

+

2

15

x

5

+

17

315

x

7

+ · · · .