Druga pochodna i wypukłość funkcji
Definicja: Pochodną pochodnej funkcji f (x) nazywamy drugą pochodną funkcji i
oznaczamy f
00
(x).
Twierdzenie: (Warunek wystarczający ist. ekstremum ) Niech f (x) będzie funkcją
dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu x
0
i niech f
0
(x
0
) = 0.
Jeżeli f
00
(x
0
) > 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x
0
minimum lokalne; jeżeli natomiast
f
00
(x
0
) < 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x
0
maksimum lokalne.
Definicja: Funkcję f (x) określoną w przedziale [a, b] nazywamy wypukłą jeśli nie-
równość
f (hx
1
+ (1 − h)x
2
) hf(x
1
) + (1 − h)f(x
2
)
zachodzi dla wszystkich wartości h ∈ [0, 1] i dla wszystkich punktów x
1
, x
2
∈ [a, b]
Definicja: Funkcję f (x) określoną w przedziale [a, b] nazywamy wklęsłą jeśli nie-
równość
f (hx
1
+ (1 − h)x
2
) ¬ hf(x
1
) + (1 − h)f(x
2
)
zachodzi dla wszystkich wartości h ∈ [0, 1] i dla wszystkich punktów x
1
, x
2
∈ [a, b].
Wypukłość funkcji jest własnością niezależną od jej monotoniczności.
Funkcja rosnąca wklęsła
Funkcja rosnąca wypukła
1
Funkcja malejąca wypukła
Funkcja malejąca wklęsła
Twierdzenie: Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest dodatnia w każdym punkcie
przedziału (a, b), to funkcja y = f (x) jest wypukła w tym przedziale.
Twierdzenie: Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest ujemna w każdym punkcie
przedziału (a, b), to funcja y = f (x) jest wklęsła w tym przedziale.
Definicja: Mówimy, że x
0
jest punktem przegięcia funkcji f (x) jeżeli istnieje taka
liczba dodatnia δ , że w przedziałach x ∈ (x
0
− δ, x
0
) i (x
0
, x
0
+ δ) funkcja ma różne
rodzaje wypukłości.
Twierdzenie: Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) spełnia w punkcie x
0
warunki:
(1) f
00
(x
0
) = 0, (2) w otoczeniu punktu x
0
ma po obu stronach tego punktu różne
znaki, to punkt P
0
(x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia funkcji y = f (x).
0.1
Badanie funkcji (pełne)
Badania efunkcji obejmuje następujące czynności:
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
2. Obliczyć pochodną.
3. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
4. Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.
5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.
6. Obliczyć drugą pochodną.
7. Wyznaczyć miejsca zerowe drugiej pochodnej.
8. Wyznaczyć przedziały, w których druga pochodna ma stały znak.
9. Określić wypukłość i punkty przegięcia funkcji.
10. Wyznaczyć asymptoty funkcji
Przykład: (ciąg dalszy)
Zbadać przebieg funkcji
f (x) =
x
2
x − 1
2
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
x ∈ D
f
⇐⇒ x − 1 6= 0 ⇐⇒ x 6= 1
D
f
= (−∞, 1) ∪ (1, ∞) = R \ {1}
2. Obliczyć pochodną.
f
0
(x) =
x
2
− 2x
(x − 1)
2
3. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
f
0
(x) = 0 ⇐⇒ x
2
− 2x = 0 ⇐⇒ x(x − 2) = 0
x
1
= 0
x
2
= 2
4. Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.
f
0
(x) > 0 ⇐⇒
x
2
− 2x
(x − 1)
2
> 0 ⇐⇒
⇐⇒ (x
2
− 2x > 0) ∧ (x − 1)
2
6= 0
x
2
− 2x jest funkcją kwadratową z najwyższym współczynnikiem dodatnim,
zatem f
0
(x) > 0 dla x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞). Podobnie f
0
(x) < 0 dla x ∈
(0, 1) ∪(1, 2). Zatem, pochodna jest dodatnia w przedziałach (−∞, 0) i (2, ∞).
Pochodna jest ujemna w przedziałach (0, 1) i (1, 2).
5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.
Funkcja f (x) jest rosnąca w przedziałach (−∞, 0) i (2, ∞).
Funkcja f (x) jest malejąca w przedziałach (0, 1) i (1, 2).
W punkcie x
1
= 0 funkcja ma maksimum lokalne o wartości f (0) = 0
W punkcie x
2
= 2 funkcja ma minimum lokalne o wartości f (2) = 8
6. Obliczyć drugą pochodną.
f
00
(x) =
(2x − 2)(x − 1)
2
− (x
2
− 2x)2(x − 1)
(x − 1)
4
=
[(2x − 2)(x − 1) − 2(x
2
− 2x)](x − 1)
(x − 1)
4
=
2x
2
− 2x − 2x + 2 − 2x
2
+ 4x
(x − 1)
3
=
2
(x − 1)
3
f
00
(x) =
2
(x − 1)
3
3
7. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
Brak miejsc zerowych.
8. Wyznaczyć przedziały, w których druga pochodna ma stały znak.
f
00
(x) > 0 ⇐⇒
2
(x − 1)
3
> 0 ⇐⇒
⇐⇒ (x − 1) > 0 ⇐⇒ x > 1
Podobnie f
00
(x) < 0 dla x < 1.
Zatem, druga pochodna jest ujemna w przedziałe (−∞, 1).
Druga pochodna jest dodatnia w przedziałe (1, ∞).
9. Określić wypukłość i punkty przegięcia funkcji.
Funkcja jest wypukła w przedziałe (−∞, 1).
Funkcja jest wklęsła w przedziałe (1, ∞).
Funkcja wymierna f (x) =
x
1−x
2
4
0.2
Wyznaczanie ekstremum warunkowego.
Aby wyznaczyć największą wartość funkcji (jednej zmiennej) ciągłej w przedziale
domkniętym, należy wyznaczyć wszystkie maksima lokalne tej funkcji należące do
przedziału oraz obliczyć wartości funkcji na końcach przedziału i wybrać największą
z otrzymanych wartości.
Podobnie postępujemy, wyznaczając najmniejszą wartość funkcji w przedziale
domkniętym.
Przykład:
Wyznaczć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x
3
− 3x + 4 w przedziale
[−3, 2].
1. Ekstrema lokalne: D
f
= R
Pochodna:
f
0
(x) = 3x
2
− 3 = 3(x
2
− 1) = 3(x + 1)(x − 1)
Miejsca zerowe pochodnej x
1
= −1 oraz x
2
= 1.
Druga pochodna: f
00
(x) = 6x
f
00
(−1) = −6 < 0 więc funkcja f(x) ma maksimum lokalne w punkcie x
1
= −1 o
wartości f (−1) = 6
f
00
(1) = 6 > 0 więc funkcja f (x) ma minimum lokalne w punkcie x
2
= 1 o wartości
f (1) = 2
Obliczamy wartości w punktach końcowych przedziału f (−3) = (−3)
3
−3(−3)+
4 = −27 + 9 + 4 = −14 f(2) = 2
3
− 3 · 2 + 4 = 8 − 6 + 4 = 6
Wartość najmniejsza jest równa f (−3) = −14 wartość największa jest równa
f (2) = 6.
0.3
Metody rachunku przybliżonego
Przybliżenie funkcji funkcją liniową
Jeśli f (x) ma pochodną w punkcie x
0
, to wykres funkcji f (x) ma styczną w punkcie
(x
0
, f (x
0
)), której współczynnik kierunkowy jest równy f
0
(x
0
). Równanie stycznej
do wykresu funkcji f (x) w punkcie (x
0
, f (x
0
)) jest postaci
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
)
Jeżeli funkcja f (x) jest wystarczająco regularna (np. pochodna tej funkcji jest ciągła)
w pewnym otoczeniu punktu x
0
, to można przyjąć, że przybliżona wartość funkcji
f (x) jest równa wartości funkcji liniowej y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
).
5
To oznacza, że
f (x) ≈ f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
)
lub równoważnie
f (x
0
+ h) ≈ f
0
(x
0
)h + f (x
0
)
dla h = x − x
0
∈ (−ε, ε), gdzie ε jest małą, dodatnią liczbą rzeczywistą.
f (x) ≈ f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f (x
0
)
w pewnym otoczeniu punktu x
0
Przykład:
Obliczyć przybliżoną wartość
√
9, 5.
Odp. Przyjmujemy, że
f (x) =
√
x , x
0
= 9 i x − x
0
= h = 0, 5.
Ponadto f
0
(x) =
1
2
√
x
Stąd f (x
0
+ h) ≈ f
0
(x
0
)h + f (x
0
)
√
9.5 = f (9.5) ≈
1
2
√
9
0.5 +
√
9 = 3, 08333...
”Dokładna” wartość 3.0822... .
6
Wzór Taylora
Jeśli funkcja f (x) jest określona i n+1 - krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu
punktu x
0
, to
f (x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) + · · · +
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+ R
n
(x)
gdzie R
n
(x) =
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
oraz ξ jest pewną liczbą pomiędzy x
0
i x.
Wielomian
W
n
(x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) + · · · +
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
nazywamy n-tym wielomianem Taylora funkcji f (x)
W notacji sigmowej mamy:
W
n
(x) =
n
X
i=0
f
(i)
(x
0
)
i!
(x − x
0
)
i
Tutaj, należy przyjąć, że f
(0)
(x
0
) = f (x
0
) i 0! = 1.
cos x ≈ 1 −
x
2
2!
w pewnym otoczeniu punktu x = 0
7
Szereg Taylora
Jeśli funkcja f (x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
i posiada pochodne
wszystkich rzędów w tym otoczeniu oraz lim
n→∞
R
n
(x) = 0, to
f (x) =
∞
X
i=0
f
(i)
(x
0
)
i!
(x − x
0
)
i
Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji f (x)
Jeśli x
0
= 0 wtedy szereg Taylora
f (x) =
∞
X
i=0
f
(i)
(0)
i!
x
i
nazywamy szeregiem (lub rozwinięciem w szereg) Maclaurina.
Przykład: Wyznaczyć rozwinięcie Taylora funkcji
f (x) = e
x
gdy x
0
= 0 (tzn. rozwinięcie Maclaurina)
Wiadomo, że f
(i)
(x) = e
x
i f
(i)
(0) = e
0
= 1 dla wszystkich i = 0, 1, 2, . . . .
Ponadto
f (x) = f (0) +
f
0
(0)
1!
x + · · · +
f
(n)
(0)
n!
x
n
+ · · ·
Stąd
e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+ · · · +
x
n
n!
+ · · · =
∞
X
i=0
x
i
i!
Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji:
f (x) =
1
1 + x
2
Jeśli funkcję zapiszemy w postaci
f (x) =
1
1 − (−x
2
)
można potraktować to wyrażenie jako sumę ciągu geometrycznego o ilorazie −x
2
.
Stąd
f (x) = 1 − x
2
+ x
4
− x
6
+ · · · + (−1)
n
x
2n
+ · · · =
∞
X
i=0
(−1)
i
x
2i
dla x ∈ (−1, 1).
8
Rozwinięcia innych funkcji:
sin x =
x
1!
−
x
3
3!
+ · · · + (−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
+ · · · =
∞
X
i=0
(−1)
i
x
2i+1
(2i + 1)!
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
+ · · · + (−1)
n
x
2n
(2n)!
+ · · · =
∞
X
i=0
(−1)
i
x
2i
(2i)!
Rozwinięcie funkcji logarytmicznej w postaci : f (x) = ln(1 + x)
ln(1 + x) =
x
1
−
x
2
2
+
x
3
3
· · · + (−1)
n+1
x
n
n
+ · · · =
∞
X
i=0
(−1)
i+1
x
i
i
oraz w postaci f (x) = ln(1 − x)
ln(1 − x) = −(
x
1
+
x
2
2
+
x
3
3
· · · +
x
n
n
+ · · ·) = −
∞
X
i=0
x
i
i
Wielomian interpolacyjny Newtona
Zadanie interpolacyjne:
Dane są dwa ciągi liczb a
1
< a
2
< . . . < a
n
i
b
1
, b
2
, . . . , b
n
. Wyznaczyć wielomian f (x) stopnia mniejszego od n taki, że f (a
i
) = b
i
dla i = 1, . . . , n.
Wielomian spełniający te warunki nazywamy wielomianem interpolacyjnym.
Przy powyższych założeniach zadanie to zawsze ma rozwiązanie. Rozwiązanie
przedstawione w postaci:
f (x) = c
0
+ c
1
(x − a
1
) + · · · + c
n−1
(x − a
1
) . . . (x − a
n−1
)
nazywamy wielomianem interpolacyjnym Newtona
Przykład:
9
Wyznaczyć wielomian interpolacyjny dla danych:
a
i
-4 -2
0
2
4
b
i
5 -4 -3 -4 5
Wyznaczamy wielomian postaci
f (x) = c
0
+ c
1
(x − a
1
) + c
2
(x − a
1
)(x − a
2
) + . . . .
a
i
-4 -2
0
2
4
b
i
5 -4 -3 -4 5
Podstawiamy a
1
, . . . , a
5
z tabelki:
f (x) = c
0
+ c
1
(x + 4) + c
2
(x + 4)(x + 2) + c
3
(x + 4)(x + 2)x+
+c
4
(x + 4)(x + 2)x(x − 2).
f (x) = c
0
+ c
1
(x + 4) + c
2
(x + 4)(x + 2) + c
3
(x + 4)(x + 2)x+
Stosujemy teraz warunki, że f (a
i
) = b
i
f (−4) = 5
c
0
+ c
1
(−4 + 4)
|
{z
}
0
+c
2
(−4 + 4)
|
{z
}
0
(−4 + 2) + . . .=5
Stąd
c
0
= 5
f (−2) = −4
10
c
0
+ c
1
(−2 + 4) + c
2
(−2 + 4) (−2 + 2)
|
{z
}
0
+ . . . = −4
Stąd
c
0
+ 2c
1
= −4
f (0) = −3
itd. . . . .
Otrzymujemy układ równań:
c
0
=
5
c
0
+ 2c
1
= −4
c
0
+ 4c
1
+ 8c
2
= −3
c
0
+ 6c
1
+ 24c
2
+ 48c
3
= −4
c
0
+ 8c
1
+ 48c
2
+ 192c
3
+ 384c
4
=
5
Rozwiązując ten układ otrzymujemy:
c
0
= 5 , c
1
= −
9
2
, c
2
=
5
4
, c
3
= −
1
4
, c
4
=
1
16
Zatem
f (x) = 5 −
9
2
(x + 4) +
5
4
(x + 4)(x + 2) −
−
1
4
(x + 4)(x + 2)x +
1
16
(x + 4)(x + 2)x(x − 2) =
=
1
16
x
4
−
1
2
x
2
− 3.
11
Wielomian aproksymacyjny
f (x) =
1
16
x
4
−
1
2
x
2
− 3
Elastyczność funkcji
Przykład: : Funkcja popytu na pewne dobro wyraża się wzorem
q(p) = 8000 − 300p − 3p
2
.
1. Jaka jest wielkość popytu gdy cena p = 10 zł ?
2. O ile zmieni się popyt gdy cena wzrośnie o 0,3 zł ?
3. Obliczyć względny przyrost ceny i względną zmianę popytu.
4. Jak zmieni się popyt przy zmianie ceny o 1 %?
Odp.: 1. Wielkość popytu wynosi q(10) = 4700.
2. Zmiana popytu wynosi ∆q(10) = −108.
3. Względny przyrost ceny wynosi: 3 %. Względna zmiana popytu -2.3 %.
12
4. Wzrost ceny o 1 % powoduje zmianę popytu o -2,3/3 = -0,77 % (znak minus
oznacza spadek).
Definicja: Dana jest funkcja f (x) określona dla x > 0, przyjmująca tylko wartości
dodatnie i różniczkowalna w obszarze istnienia, oraz h - przyrost argumentu x. Iloraz
f (x + h) − f(x)
f (x)
nazywamy względnym przyrostem funkcji w punkcie x , natomiast iloraz
h
x
względnym przyrostem argumentu x. Granicę
lim
h→0
f (x + h) − f(x)
f (x)
,
h
x
= lim
h→0
x
f (x)
f (x + h) − f(x)
h
=
x
f (x)
f
0
(x)
stosunku przyrostu względnego funkcji do przyrostu względnego argumentu, gdy
h → 0 nazywamy elastycznością funkcji f(x) w punkcie x.
Definicja: Jeżeli q(p) oznacza funkcję popytu w zależności od ceny, to jej elastycz-
ność nazywamy elastycznością cenową popytu.
Przykład: (ciąg dalszy) Elastyczność cenowa powyższej funkcji popytu dla p = 10
wynosi
Eq(10) =
10
q(10)
q
0
(10) =
10 · (−60)
4700
= −0, 766
.
13
0.4
Funkcje wielu zmiennych
Oznaczmy R
n
= R × R × · · · × R
|
{z
}
n
. Niech D ⊆ R
n
. Jeśli każdemu elementowi
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ D przyporządkujemy dokładnie jeden element z należący do R,
to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru D w zbiór R. Odwzorowanie
takie nazywamy funkcją n-zmiennych.
(Zapis F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = z ∈ R.)
Obrazem geometrycznym (wykresem) funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór
{(x, y, z) ∈ R
3
: (x, y) ∈ D i z = F (x, y)}.
Przykład 1. Obrazem geometrycznym funkcji F (x, y) określonej wzorem F (x, y) =
ax + by + c , gdzie a, b, c ∈ R jest płaszczyzna.
2. Obrazem geometrycznym funkcji
F (x, y) =
q
r
2
− x
2
− y
2
jest powierzchnia półkuli o promieniu r i środku w początku układu współrzędnych.
3. Funkcja Cobba-Douglasa F (x, y) = ax
α
y
β
. Dziedziną tej funkcji jest zbiór
D
F
= [0, ∞) × [0, ∞). Jeśli x = K i y = L oznaczają ilość użytych czynników pro-
dukcji (np. K-kapitał i L-praca), to F (x, y) wyraża wielkość produkcji w zależności
od nakładów. W ekonomii często przyjmuje się β = 1 − α.
Warstwicą (poziomicą) powierzchni o równaniu z = F (x, y), nazywamy rzut na
płaszczyznę Oxy linii, wzdłuż której płaszczyzna z = c (c jest pewną stałą) przecina
tę powierzchnię.
Uwaga: Jeżeli z = F (x, y) jest funkcją produkcji, która wyraża zależność poziomu
wyników od poniesionych nakładów, to poziomicę takiej funkcji nazywamy izokwan-
tą. Każdy punkt leżący na ustalonej izokwancie jest zestawem nakładów prowadzą-
cym do tego samego poziomu wyników.
Pochodne cząstkowe
Jeżeli obliczymy pochodną funkcji F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) względem zmiennej x
i
przyjmu-
jąc, że pozostałe zmienne mają ustalone wartości, to otrzymaną funkcję nazywamy
pochodną cząstkową funkcji F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) względem zmiennej x
i
.
(Oznaczenia F
0
x
i
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
∂F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
∂x
i
, dla i = 1, 2, . . . , n)
(W przypadku dwóch zmiennych stosujemy również oznaczenia:
F
0
x
(x, y) =
∂F (x, y)
∂x
, F
0
y
(x, y) =
∂F (x, y)
∂y
)
Przykład:
14
Obliczyć pochodną cząstkową funkcji
F (x, y) = x
3
+ 2xy
2
+ y
2
+ 2x − 5y + 1.
F
0
x
(x, y) =
∂F (x, y)
∂x
= (x
3
+ 2xy
2
+ y
2
+ 2x − 5y + 1)
0
x
=
= 3x
2
+ 2y
2
+ 0 + 2 − 0 + 0 = 3x
2
+ 2y
2
+ 2
F
0
y
(x, y) =
∂F (x, y)
∂y
= (x
3
+ 2xy
2
+ y
2
+ 2x − 5y + 1)
0
y
=
= 0 + 2x · (2y) + 2y + 0 − 5 + 0 = 4xy + 2y − 5
Ilorazy różnicowe:
F
0
x
(x
0
, y
0
) = lim
h→0
F (x
0
+ h, y
0
) − F (x
0
, y
0
)
h
;
F
0
y
(x
0
, y
0
) = lim
h→0
F (x
0
, y
0
+ h) − F (x
0
, y
0
)
h
.
Dla funkcji produkcji F (K, L) pochodne cząstkowe
∂F (K, L)
∂K
∂F (K, L)
∂L
nazywamy krańcową produkcyjnością kapitału i krańcową wydajnością pracy
Zadanie: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 14x
2
+4y
2
+12xy −1991x−
1254y + 98889, 5
Obliczamy pochodne cząstkowe: f
0
x
(x, y) = 28x + 12y − 1991 i f
0
y
(x, y) = 8y + 12x −
1254. Wyznaczamy takie x, y, f
0
x
(x, y) = 0 i f
0
y
(x, y) = 0. rozwiązując układ równań:
(
28x + 12y = 1991
12x + 8y = 1254
Przy pomocy metody Cramera (zob. str. ??) otrzymujemy x = 11 i y = 140, 25
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe: f
00
xx
(x, y) = 28 i f
00
yy
(x, y) = 8. f
00
xy
(x, y) =
f
00
yx
(x, y) = 12. i wyznacznik
det
"
28 12
12
8
#
= 80 > 0.
Zatem rozważana funkcja ma ekstremum w punkcie [11 , 140, 25]. Ponieważ
f
00
xx
(11 , 140, 25) = 28 > 0, więc w punkcie [11 , 140, 25] istnieje (jedyne) minimum
lokalne tej funkcji.
15
Definicja: Otoczeniem punktu P (x
0
, y
0
) o promieniu δ na płaszczyźnie nazywamy
wnętrze koła K(x
0
, y
0
, δ) o środku w punkcie P i promieniu δ.
Definicja: Mówimy, że funkcja F (x, y) ma w punkcie P (x
0
, y
0
) maksimum lokal-
ne, jeżeli istnieje takie otoczenie K(x
0
, y
0
, δ) punktu P , że dla każdego (x, y) ∈
K(x
0
, y
0
, δ) zachodzi nierówność F (x, y) ¬ F (x
0
, y
0
).
Mówimy, że funkcja F (x, y) ma w punkcie P (x
0
, y
0
) minimum lokalne, jeżeli
istnieje takie otoczenie K(x
0
, y
0
, δ) punktu P , że dla każdego (x, y) ∈ K(x
0
, y
0
, δ)
zachodzi nierówność F (x, y) F (x
0
, y
0
).
Twierdzenie: (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja F (x, y) ma w punkcie P (x
0
, y
0
) ekstremum lokalne i ma w tym punkcie
pochodne cząstkowe I rzędu, to
∂F (x, y)
∂x
(x
0
, y
0
) = 0 ,
∂F (x, y)
∂y
(x
0
, y
0
) = 0.
Twierdzenie: (Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja F (x, y) ma w pewnym otoczeniu punktu P (x
0
, y
0
) ciągłe pochodne
cząstkowe drugiego rzędu, przy czym
F
0
x
(x
0
, y
0
) = 0
i
F
0
y
(x
0
, y
0
) = 0,
oraz
W (x
0
, y
0
) = det
"
F
00
xx
(x
0
, y
0
) F
00
xy
(x
0
, y
0
)
F
00
yx
(x
0
, y
0
) F
00
yy
(x
0
, y
0
)
#
> 0,
to funkcja F (x, y) ma w punkcie P (x
0
, y
0
) ekstremum lokalne. Jeżeli F
00
xx
(x
0
, y
0
) < 0
to funkcja ma maksimum lokalne, a gdy F
00
xx
(x
0
, y
0
) > 0, to funkcja ma minimum
lokalne.
Jeśli W (x
0
, y
0
) < 0, to funkcja F (x, y) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie
P (x
0
, y
0
).
(Jeśli drugie pochodne cząstkowe są ciągłe, to F
00
xy
(x
0
, y
0
) = F
00
yx
(x
0
, y
0
).)
Przykład:
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych:
F (x, y) = 3x
2
− 2xy + 3y
2
+ 2x − 6y + 3.
1. Obliczamy pochodne cząstkowe:
F
0
x
(x, y) = 6x − 2y + 2 oraz F
0
y
(x, y) = −2x + 6y − 6
2. Wyznaczamy wspólne miejsca zerowe pochodnych cząstkowych.
(
F
0
x
(x, y) = 0
F
0
y
(x, y) = 0
16
lub równoważnie
(
6x − 2y = −2
−2x + 6y =
6
Rozwiązując metodą Cramera mamy:
det A =
6 −2
−2
6
= 36 − 4 = 32
det B
x
=
−2 −2
6
6
= −12 + 12 = 0
det B
y
=
6 −2
−2
6
= 36 − 4 = 32
x =
det B
x
det A
= 0
i
y =
det B
y
det A
= 1
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe:
F
00
xx
(x, y) = 6
F
00
xy
(x, y) = −2
F
00
yx
(x, y) = −2 F
00
yy
(x, y) = 6
i wyznacznik
W (0, 1) =
F
00
xx
(0, 1) F
00
xy
(0, 1)
F
00
yx
(0, 1) F
00
yy
(0, 1)
=
6 −2
−2
6
= 36 − 4 = 32 > 0
Ponieważ W (0, 1) > 0 i F
00
xx
(0, 1) > 0 więc funkcja F (x, y) ma minimum lokalne w
punkcie P (0, 1).
Przykład: 2 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych:
F (x, y) = x
2
+ 10xy + y
2
− 14x + 2y − 5.
1. Obliczamy pochodne cząstkowe:
F
0
x
(x, y) = 2x + 10y − 14 oraz F
0
y
(x, y) = 10x + 2y + 2
2. Wyznaczamy wspólne miejsca zerowe pochodnych cząstkowych.
(
F
0
x
(x, y) = 0
F
0
y
(x, y) = 0
lub równoważnie
(
2x + 10y =
14
10x + 2y = −2
17
Rozwiązując metodą Cramera mamy:
det A =
2 10
10
2
= 4 − 100 = −96
det B
x
=
14 10
−2
2
= 28 + 20 = 48
det B
y
=
2
14
10 −2
= −4 − 140 = −144
x =
det B
x
det A
= −
1
2
i
y =
det B
y
det A
=
3
2
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe:
F
00
xx
(x, y) = 2
F
00
xy
(x, y) = 10
F
00
yx
(x, y) = 10 F
00
yy
(x, y) = 2
i wyznacznik
W (−
1
2
,
3
2
) =
F
00
xx
(−
1
2
,
3
2
) F
00
xy
(−
1
2
,
3
2
)
F
00
yx
(−
1
2
,
3
2
) F
00
yy
(−
1
2
,
3
2
)
=
2 10
10
2
= 4 − 100 = −96 < 0.
Ponieważ W (−
1
2
,
3
2
) < 0 więc funkcja F (x, y) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie
(−
1
2
,
3
2
).
Przykład: 3 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych:
F (x, y) = 2x
3
+ xy
2
+ 5x
2
+ y
2
.
1. Obliczamy pochodne cząstkowe:
F
0
x
(x, y) = 6x
2
+ y
2
+ 10x oraz F
0
y
(x, y) = 2xy + 2y
2. Wyznaczamy wspólne miejsca zerowe pochodnych cząstkowych.
(
F
0
x
(x, y) = 0
F
0
y
(x, y) = 0
lub równoważnie
(
6x
2
+ y
2
+ 10x = 0
2xy + 2y = 0
Z drugiego równania mamy:
(2x + 2)y = 0
=⇒
y = 0 ∨ x = −1
Rozważmy dwa przypadki:
18
1. y = 0
Podstawiając do pierwszego równania mamy x = 0 lub x = −
5
3
.
2. x = −1.
W tym przypadku z pierwszego równania otrzymujemy y = 2 lub y = −2.
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe:
F
00
xx
(x, y) = 12x + 10 F
00
xy
(x, y) = 2y
F
00
yx
(x, y) = 2y
F
00
yy
(x, y) = 2x + 2
i wyznacznik
W (x, y) = det
"
F
00
xx
(x, y) F
00
xy
(x, y)
F
00
yx
(x, y) F
00
yy
(x, y)
#
=
= det
"
12x + 10
2y
2y 2x + 2
#
= 4(6x
2
+ 11x + 5 − y
2
)
Podstawiając wyliczone wyżej wartości mamy:
W (0, 0) = 20 > 0 i F
00
xx
(0, 0) = 10 > 0 tzn. w punkcie (0, 0) funkcja ma minimum
lokalne.
W (−
5
3
, 0) = −20 < 0 tzn. w punkcie (−
5
3
, 0) brak ekstremum.
W (−1, 2) = W (−1, −2) = −16 < 0 tzn. w punktach (−1, 2) oraz (−1, −2) brak
ekstremum.
Wyznaczanie ekstremum warunkowego dla funkcji dwóch zmiennych.
Załóżmy, że prostokąt P = [a
1
, a
2
] ×[b
1
, b
2
] jest zawarty w dziedzinie funkcji F (x, y).
Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość tej funkcji dla (x, y) ∈ P .
Rozwiązanie:
1. Wyznaczyć wszystkie ekstrema lokalne tej funkcji należące do P .
2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej F (x, b
1
) i F (x, b
2
) dla x ∈
(a
1
, a
2
).
3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej F (a
1
, y) i F (a
2
, y) dla y ∈
(b
1
, b
2
).
4. Wyznaczyć wartości funkcji w punktach wierzchołkowych prostokąta.
5. Wybrać największą i najmniejszą z wyliczonych wartości.
Przykład: Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
F (x, y) = 3x
2
− 2xy + 3y
2
+ 2x − 6y + 3.
w prostokącie [0, 2] × [0, 3].
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji w zadanym prostokącie.
19
Funkcja ma minimum lokalne dla x
0
= 0 , y
0
= 1 o wartości F (0, 1) = 0
2. Wyznaczyć ekstrema funkcji na bokach poziomych prostokąta tzn. ekstrema
dwóch funkcji:
F (x, 0) = 3x
2
+ 2x + 3
F (x, 3) = 3x
2
− 4x + 12
dla x ∈ [0, 2].
x
1
= −
1
3
y
1
= 0
F (−
1
3
, 0) =
8
3
x
2
=
2
3
y
2
= 3
F (
2
3
, 3) =
32
3
3. Wyznaczyć ekstrema funkcji na bokach pionowych prostokąta tzn. ekstrema
dwóch funkcji:
F (0, y) = 3y
2
− 6y + 3
F (2, y) = 3y
2
− 10y + 19
dla y ∈ [0, 3].
x
3
= 0 y
3
= 1
F (0, 1) = 0
x
4
= 2 y
4
=
5
3
F (2,
5
3
) =
32
3
4. Wyznaczyć wartości funkcji w punktach wierzchołkowych.
x
y
0
1
5
3
3
−
1
3
8
3
1
3
19
9
41
3
0
3
0
4
3
12
2
3
17
3
4
3
16
9
32
3
2
19 12
5
3
16
5. Wybrać największą i najmniejszą z wyliczonych wartości. Największą war-
tością funkcji w zadanym prostokącie jest 19, a najmniejszą wartością funkcji w
zadanym prostokącie jest 0.
20
Metoda najmniejszych kwadratów
Dane są pewne punkty [x
1
, y
1
], [x
2
, y
2
], . . . , [x
n
, y
n
]. Należy znaleźć prostą która prze-
biega możliwie najbliżej danych punktów.
Załóżmy, że poszukiwana prosta ma równanie y = ax + b. Zadanie będzie roz-
wiązane jeśli współczynniki a, b zostaną tak dobrane, aby wyrażenie
S(a, b) =
n
X
i=1
(y
i
− ax
i
− b)
2
=
(y
1
− ax
1
− b)
2
+ (y
2
− ax
2
− b)
2
+ · · · + (y
n
− ax
n
− b)
2
było jak najmniejsze.
Naszym zadaniem jest wyznaczenie punktu [a, b], w którym funkcja S(a, b) przyj-
muje najmniejszą wartość. Obliczamy pochodne cząstkowe:
∂S
∂a
(a, b) = −2
n
X
i=1
x
i
(y
i
− ax
i
− b)
21
∂S
∂b
(a, b) = −2
n
X
i=1
(y
i
− ax
i
− b)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum są równości:
∂S
∂a
(a, b) = 0 ,
∂S
∂b
(a, b) = 0
Przyjmijmy oznaczenia:
X
1
=
n
X
i=1
x
i
, X
2
=
n
X
i=1
x
2
i
Y
1
=
n
X
i=1
y
i
, Y
2
=
n
X
i=1
y
2
i
Z =
n
X
i=1
x
i
y
i
.
Otrzymujemy układ równań:
(
aX
2
+ bX
1
= Z
aX
1
+ bn = Y
1
Rozwiązując ten układ otrzymujemy:
a =
nZ − X
1
Y
1
nX
2
− X
2
1
,
b =
X
2
Y
1
− ZX
1
nX
2
− X
2
1
Przykład:
Wyznaczyć funkcję liniową y = ax + b wyrażającą (przybliżoną) zależność po-
między wzrostem i wagą na podstawie następujących danych:
wzrost
waga
i
x
i
y
i
1
170
75
2
182
91
3
174
80
4
180
79
5
176
82
6
179
76
7
170
70
8
183
95
Obliczamy
X
1
=
8
X
i=1
x
i
=
170 + 182 + 174 + 180 + 176 + 179 + 170 + 183 = 1414.
22
Y
1
=
8
X
i=1
y
i
=
75 + 91 + 80 + 79 + 82 + 76 + 70 + 95 = 648.
X
2
=
8
X
i=1
x
2
i
=
170
2
+ 182
2
+ 174
2
+ 180
2
+ 176
2
+ 179
2
+ 170
2
+ 183
2
=
= 250106.
Y
2
=
8
X
i=1
y
2
i
=
75
2
+ 91
2
+ 80
2
+ 79
2
+ 82
2
+ 76
2
+ 70
2
+ 95
2
= 52972.
Z =
8
X
i=1
x
i
y
1
=
170 · 75 + 182 · 91 + 174 · 80 + 180 · 79 + 176 · 82+
179 · 76 + 170 · 70 + 183 · 95 = 114773.
Podstawiając do wzorów:
a =
nZ − X
1
Y
1
nX
2
− X
2
1
,
b =
X
2
Y
1
− ZX
1
nX
2
− X
2
1
a =
8 · 114773 − 1414 · 648
8 · 250106 − 1414
2
b =
250106 · 648 − 114773 · 1414
8 · 250106 − 1414
2
Stąd: a = 1, 3168
b = −151, 7452
Rozwiązaniem zadania jest prosta o równaniu y = 1, 3168x − 151, 7452
23
0.5
Całka oznaczona i nieoznaczona
Dana jest funkcja f (x). Funkcję F (x) taką, że F
0
(x) = f (x) nazywamy funkcją
pierwotną funkcji f (x). Poszukiwanie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem.
Jest to operacja odwrotna do różniczkowania.
Przykład: Funkcją pierwotną funkcji f (x) = 2x + 3 jest każda z funkcji: F (x) =
x
2
+ 3x, F (x) = x
2
+ 3x + 1, F (x) = x
2
+ 3x + π itp.
Jeśli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to każda funkcja postaci F (x)+C,
gdzie C jest dowolną stałą jest również funkcją pierwotną f (x). Zbiór wszystkich
funkcji pierwotnych danej funkcji f (x) nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy
Z
f (x)dx = F (x) + C.
Parametr C nazywamy stałą całkowania.
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji:
1.
Z
0dx = C
2.
Z
dx = x + C
3.
Z
x
a
dx =
1
a + 1
x
a+1
+ C (a 6= −1)
4.
Z
x
−1
dx = ln |x| + C
5.
Z
e
x
dx = e
x
+ C
6.
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
7.
Z
sin xdx = − cos x + C.
8.
Z
cos xdx = sin x + C.
9.
Z
1
cos
2
x
dx = tg x + C.
10.
Z
1
sin
2
x
dx = − ctg x + C.
Podstawowe wzory rachunku całkowego
1.
Z
F
0
(x)dx = F (x) + C
2. (
Z
f (x)dx)
0
= f (x) + C
3.
Z
(af (x) + bg(x))dx = a
Z
f (x)dx + b
Z
g(x)dx
4. Całkowanie przez podstawianie x = g(t)
Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna, a funkcja g(x) ma ciągłą pochodną, to
Z
f (x)dx =
Z
f (g(t))g
0
(t)dt
24
5. Całkowanie przez części
Z
f (x)g
0
(x)dx = f (x)g(x) −
Z
f
0
(x)g(x)dx
6.
Z
f
0
(x)
f (x)
dx = ln |f(x)| + C
Przykłady:
1.
Z
(
4x
√
x + 2
3
√
x + 2x − 1
x
)dx =
Z
(4
√
x + 2x
−
2
3
+ 2 −
1
x
)dx =
4
Z
√
xdx + 2
Z
x
−
2
3
dx + 2
Z
dx −
Z
1
x
dx =
4
Z
x
1
2
dx + 2
Z
x
−
2
3
dx + 2
Z
dx −
Z
1
x
dx =
4
x
3
2
3
2
+ 2
x
1
3
1
3
+ 2x − ln |x| + C =
8
3
√
x
3
+ 6
3
√
x + 2x − ln |x| + C =
2.
Z
ln xdx =
Z
f
0
(x)g(x)dx = f (x)g(x) −
Z
f (x)g
0
(x)dx =
x ln x −
R
x
1
x
dx = x ln x −
R
dx = x ln x − x + C =
x(ln x − 1) + C
W tych obliczeniach przyjmujemy
f (x) = x
f
0
(x) = 1
g(x) = ln x
g
0
(x) =
1
x
3. Obliczyć całkę
Z
x cos xdx.
Zastosujemy całkowanie przez części:
Z
x cos xdx =
Z
x(sin x)
0
dx =
x sin x −
Z
sin xdx = x sin x + cos x + C
4.
Z
tg xdx =
Z
sin x
cos x
dx
Stosujemy podstawienie: z = cos x.
Wtedy dz = sin xdx
Stąd,
Z
sin x
cos x
dx = −
Z
− sin x
cos x
dx =
25
−
Z
1
z
dz = ln |z| + C = ln | cos x| + C
Całka oznaczona
Całka oznaczona w odróżnieniu od całko nieoznaczonej jest pewną liczbą przypo-
rządkowaną danej funkcji. W przypadku funkcji dodatniej całka oznaczona oznacza
pole powierzchni zawartej między wykresem funkcji i osią Ox. Obliczmy przybliżoną
wartość pola pod wykresem funkcji:
Dzielimy przedział [a, b] na n części punktami:
a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b.
Pole i-tego prostokąta jest równe f (x
i
)(x
i+1
− x
i
).
Przybliżona wartość pola jest równa:
s
n
=
n−1
X
i=0
f (x
i
)(x
i+1
− x
i
) =
f (x
0
)(x
1
− x
0
) + f (x
1
)(x
2
− x
1
) + · · · + f(x
n−1
)(x
n
− x
n−1
).
26
Wyrażenie to nazywamy dolną sumą aproksymacyjną. Dokładność przybliżenia wzra-
sta gdy długości przedziałów częściowych dążą do zera.
Przykład:
Obliczamy pole pod wykresem funkcji y = x
2
w przedziale [0, 1].
Dzielimy ten przedział na n równych części. Długość jednej części jest równa
h =
1
n
. Punkty podziału tworzą ciąg:
x
0
= 0 = 0h , x
1
=
1
n
= h , x
2
=
2
n
= 2h
x
3
=
3
n
= 3h , . . . , x
n−1
=
n − 1
n
= (n − 1)h , x
n
= 1 = nh.
Tworzymy sumę aproksymacyjną
s
n
= 0
2
h + h
2
h + (2h)
2
h + (3h)
2
h + · · · + ((n − 1)h)
2
h =
s
n
= 0
2
h + h
2
h + (2h)
2
h + (3h)
2
h + · · · + ((n − 1)h)
2
h =
(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ · · · + (n − 1)
2
)h
3
(n − 1)n(2n − 1)
6
h
3
=
(n − 1)n(2n − 1)
6n
3
.
Dokładna wartość pola pod wykresem funkcji jest równa:
lim
n→∞
s
n
=
(n − 1)n(2n − 1)
6n
3
=
27
lim
n→∞
1
6
(1 −
1
n
)(2 −
1
n
) =
1
3
.
Dzielimy przedział [a, b] na n części punktami:
a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b.
Pole i-tego prostokąta jest równe f (x
i+1
)(x
i+1
− x
i
).
Przybliżona wartość pola pod wykresem funkcji jest równa:
S
n
=
n−1
X
i=0
f (x
i+1
)(x
i+1
− x
i
) =
f (x
1
)(x
1
− x
0
) + f (x
2
)(x
2
− x
1
) + · · · + f(x
n
)(x
n
− x
n−1
)
Wyrażenie to nazywamy górną sumą aproksymacyjną.
Definicja: Niech f (x) będzie funkcją zadaną na odcinku [a, b] i ograniczoną. Po-
dzielmy przedział [a, b] na n przedziałów częściowych punktami
a = x
0
< x
1
< x
2
< . . . x
n−1
< x
n
= b.
28
Każdy przedział postaci [x
i−1
, x
i
] nazywamy i-tym przedziałem częściowym doko-
nanego podziału. Niech
M
i
oznacza kres górny
m
i
oznacza kres dolny
funkcji f (x) w i-tym przedziale częściowym [x
i−1
, x
i
].
Utwórzmy dolną sumę aproksymacyjną:
s
n
= m
1
(x
1
− x
0
) + m
2
(x
2
− x
1
) + · · · + m
n
(x
n
− x
n−1
)
i górną sumę aproksymacyjną:
S
n
= M
1
(x
1
− x
0
) + M
2
(x
2
− x
1
) + · · · + M
n
(x
n
− x
n−1
).
Kres górny dolnych sum aproksymacyjnych oznaczamy symbolem S i nazywamy
całką dolną.
Kres dolny górnych sum aproksymacyjnych oznaczamy symbolem S i nazywamy
całką górną.
Mówimy, że funkcja ograniczona w przedziale [a, b] jest całkowalna, jeśli całka
dolna jest równa całce górnej, tzn.
S = S.
Wspólną wartość tych kresów nazywamy całką oznaczoną (całką Riemanna)
funkcji f(x) w przedziale [a, b] i oznaczamy:
Z
b
a
f (x)dx.
Funkcja Dirichleta
29
D(x) =
(
1 gdy x jest liczba, wymierna,
0 gdy x jest liczba, niewymierna,
Całka dolna jest równa zero.
Całka górna jest równa 1(b − a).
Nie istnieje całka funkcji Dirichleta
Całka dolna jest równa 1(b − a).
Całka górna jest równa 2(b − a).
Nie istnieje całka funkcji y = D(x) + 1.
30
Twierdzenie: Funkcja ciągła w przedziale [a, b] jest całkowalna.
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Jeśli
F (x)
oznacza
funkcję
pierwotną
funkcji
f (x)
określonej i ciągłej w przedziale [a, b], to
Z
b
a
f (x)dx = F (b) − F (a).
Twierdzenie: Funkcja pierwotna funkcji f (x) jest równa
F (x) =
Z
x
x
0
f (t)dt
Twierdzenie: Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale [a, b], to
1.
Z
b
a
f (x)dx = −
Z
a
b
f (x)dx
2.
Z
b
a
f (x)dx =
Z
c
a
f (x)dx +
Z
b
c
f (x)dx, dla c ∈ [a, b]
Przykłady: :
1. Obliczyć pole pod wykresem funkcji sin x w przedziale [0, π]
Z
π
0
sin xdx =
− cos x
π
0
= (− cos π) − (− cos 0) = 2
2. Obliczamy całkę:
Z
π/4
−π/4
tgxdx = [− ln | cos x|]
π/4
−π/4
=
− ln | cos(π/4)|) − (− ln |cos(−π/4)| =
31
(− ln |
√
2
2
|) − (− ln |
√
2
2
|) = 0.
3. Intensywność dostaw zboża do elewatora wyraża funkcja f (t) = −0, 01t
2
+ t +
200 (f (t) -ilość zboża dostarczona w dniu o numerze t). Całkowita wielkość dostaw
w 100-nym dniu skupu jest równa:
Z
100
0
(−0, 01t
2
+ t + 200)dt =
−
0, 01
3
t
3
+
1
2
t
2
+ 200t
100
0
= 21666, 67
Całki niewłaściwe
Załóżmy, że c ∈ [a, b]. Niech zbiór [a, b] \ {c} będzie zawarty w dziedzinie funkcji
f (x). Załóżmy również, że co najmniej jedna z granic jednostronnych lim
x→c
+
f (x)
lub lim
x→c
−
f (x) jest nieskończona. Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w każdym
przedziale [a, c − h] i [c + h, b] dla h > 0 i jeśli istnieją granice skończone
lim
h→0
+
Z
c−h
a
f (x)dx
lim
h→0
+
Z
b
c+h
f (x)dx,
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedziale [a, b].
Jeśli taka granica nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna. Często
obliczamy całki niewłaściwe gdy c = a lub c = b.
Przykłady: 1. Obliczamy całkę
Z
1
0
1
x
dx = lim
h→0
+
Z
1
h
1
x
dx =
lim
h→0
+
[ln x]
1
h
= lim
h→0
+
(ln 1 − ln h) = ∞
Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
1
x
w przedziale [0, 1] jest rozbieżna.
2. Obliczamy całkę
Z
1
0
1
√
x
dx = lim
h→0
+
Z
1
h
1
√
x
dx =
lim
h→0
+
[2
√
x]
1
h
= lim
h→0
+
(2
√
1 − 2
√
h) = 2
Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
1
√
x
w przedziale [0, 1] jest zbieżna.
32
Podobnie obliczamy całki niewłaściwe w nieskończoności. Jeśli funkcja f (x) jest
całkowalna w każdym przedziale [a, c] dla każdego c > a i jeśli istnieje granica
skończona
lim
c→∞
Z
c
a
f (x)dx
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedziale [a, ∞] i ozna-
czamy
Z
∞
a
f (x)dx.
Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w każdym przedziale [c, b] dla każdego c < b i
jeśli istnieje granica skończona
lim
c→∞
Z
b
c
f (x)dx
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedziale [−∞, b] i ozna-
czamy
Z
b
−∞
f (x)dx.
Jeśli
te
granica
nie
istnieją,
to
mówimy,
że
całka
niewłaściwa jest rozbieżna
Przykłady: 1. Obliczamy całkę
Z
∞
1
1
x
dx = lim
c→∞
Z
c
1
1
x
dx =
lim
c→∞
[ln x]
c
1
= lim
c→∞
(ln c − ln 1) = ∞
Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
1
x
w przedziale [1, ∞] jest rozbieżna.
2. Obliczamy całkę
Z
∞
1
1
x
2
dx = lim
c→∞
Z
c
1
1
x
2
dx =
lim
c→∞
[−
1
x
]
c
1
= lim
c→∞
(−
1
c
− (−
1
1
)) = 1
Całka niewłaściwa funkcji f (x) =
1
x
2
w przedziale [1, ∞] jest zbieżna.
33