POTĘGOWANIE
a
m
· a
n
= a
m+n
a
m
: a
n
= a
m-n
(dla m>n ^ a
0)
(a
m
)
n
= a
m
n
(a
b)
n
= a
n
b
n
(a/b)
n
= a
n
/b
n
(dla b
0)
a
0
=1
a
a
a
a
a
a
a
a
n
m
n
n
m
n
n
n
n
n
m
m
1
1
1
1
( )
( )
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
(a+b)
2
= a
2
+2ab+b
2
(a-b)
2
= a
2
-2ab+b
2
(a+b)
3
= a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
(a-b)
3
= a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
a
2
-b
2
= (a-b)(a+b)
a
3
-b
3
= (a-b)(a
2
+ab+b
2
)
a
3
+b
3
= (a+b)(a
2
-ab+b
2
)
PIERWIASTKOWANIE
ab
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
n
n
n
m
n
n
m
n
n
n
m
n
mn
(
)
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
x
x
x
x
gdy
x gdy
x
x
2
0
0
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ
BEZWZGLĘDNĄ
Równanie:
x-a
= b, oznacza, że
x-a = b
x-a = -b.
Nierówność:
x-a
<b, jest spełniona
gdy:
x-a>-b
x-a<b
Nierówność:
x-a
>b, jest spełniona
gdy:
x-a<-b
x-a>b
UKŁADY RÓWNAŃ
ax by c
a x b y c
W
a
b
a
b
ab
a b
W
W
c
b
c
b
cb
c b
x
W
W
W
a
c
a
c
ac
a c
y
W
W
X
X
Y
Y
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
TRÓJMIAN KWADRATOWY
f(x)=ax
2
+bc+c
=b
2
-4ac
Jeżeli
>0, wtedy:
x
b
a
x
b
a
1
2
2
2
Postać kanoniczna
f x
a x p
q
Postać iloczynowa
f x
a x x x x
( )
(
)
( )
(
)(
)
2
1
2
Jeżeli
=0, wtedy:
x
b
a
0
2
Współrzędne wierzchołka paraboli:
W
b
a
a
2
4
,
Wzory Viete’a:
x
x
b
a
x x
c
a
x
x
x
x
x x
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
TRYGONOMETRIA
sin
2
+ cos
2
= 1
tg
ctg
= 1
Wzory redukcyjne:
sin(90
+
) = cos
sin(180
+
) = -sin
cos(90
+
) = -sin
cos(180
+
) = -cos
tg(90
+
) = -ctg
tg(180
+
) = tg
ctg(90
+
) = -tg
ctg(180
+
)= ctg
sin(270
+
) = -cos
sin(360
+
) = sin
cos(270
+
) = sin
cos(360
+
) = cos
tg(270
+
) = -ctg
tg(360
+
) = tg
ctg(270
+
)= -tg
ctg(360
+
) = ctg
Fukncje trygonometryczne sumy kątów:
sin
sin cos
cos sin
cos
cos cos
sin sin
tg
tg
tg
tg
tg
ctg
ctg
ctg
ctg
ctg
1
1
Funkcje trygonometryczne różnicy kątów:
sin
sin cos
cos sin
cos
cos cos
sin sin
tg
tg
tg
tg
tg
ctg
ctg
ctg
ctg
ctg
1
1
Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego:
sin
sin cos
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
tg
tg
tg
ctg
ctg
ctg
cos
cos
sin
cos
sin
cos
cos
2
2
1 2
2
2
1
2
2
2
2
Funkcje tygonometryczne połowy kąta:
sin
cos
,
cos
cos
2
1
2
2
1
2
znak + lub -
bierzemy zależnie od tego, do której
ćwiartki należy
2
tg
ctg
2
1
2
1
cos
sin
,
cos
sin
Sumy funkcji trygonometrycznych:
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
tg
tg
ctg
ctg
Różnice funkcji trygonometrycznych:
sin
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
tg
tg
ctg
ctg
CIĄGI LICZBOWE
CIĄGIEM ARYTMETYCZNYM nazywamy taki ciąg
liczbowy, w którym różnica kolejnych wyrazów jest
stała
r =a
n+1
- a
n
a
a
a
n
n
n
1
1
2
Wyraz ogólny ciągu: a
n
= a
1
+ (n-1)r
Suma częściowa:
S
na
n
n
r
S
a
a
n
n
n
n
1
1
1
2
2
CIĄG GEOMETRYCZNY to taki ciąg liczbowy, w
którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały
a
a
q
n
n
1
Wyraz ogólny ciągu: a
n
= a
1
q
n-1
Suma częściowa:
S
a
q
q
gdy q
S
n a gdy q
n
n
n
1
1
1
1
1
1
,
,
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:
S
a
q
dla
q
1
1
1
,
