RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 

 

 

Definicja 

Równanie, które można zapisać w postaci: 
 

 

 





 





 

 

 

x

h

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n





















1

2

2

1

1

...

 

(1) 

nazywamy  równaniem  różniczkowym  liniowym  rzędu  n.  Funkcje 

   

 

x

p

x

p

x

p

n

...,

,

,

2

1

 

nazywamy współczynnikami, a funkcję 

 

x

h

 wyrazem wolnym tego równania. 

 

Definicja 

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru, 
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n 
 

 

 





 





 

 

0

...

1

2

2

1

1





















y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n

  

(2) 

 

Definicja 

Ciąg 

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

 rozwiązań równania liniowego jednorodnego (1), określonych na 

przedziale 

 

b

a,

,  nazywamy  układem  fundamentalnym  tego  równania  na  tym  przedziale, 

jeżeli dla każdego 

 

b

a

x

,



 spełniony jest warunek  

 

 

 

 

 

 





 





 





 

0

det

1

1

2

1

1

2

1

2

1







































x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

n

n

n

n

n















 

 
Niech 

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

  będzie  układem  fundamentalnym  równania  jednorodnego  (2). 

Wtedy  dla  każdego  rozwiązania 

 

x

y

  tego  równania  istnieją  jednoznacznie  określone  stałe 

rzeczywiste 

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

 takie, że  

 

 

 

 

x

y

C

x

y

C

x

y

C

x

y

n

n









...

2

2

1

1

 

 

 

Definicja 

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym jednorodnym (2) jego współczynniki są liczbami, 
to  równanie  takie  nazywamy  równaniem  liniowym  jednorodnym  rzędu  n  o  stałych 
współczynnikach 
 

 









0

...

1

2

2

1

1





















y

p

y

p

y

p

y

p

y

n

n

n

n

n

  

(3) 

gdzie 

R

p

p

p

n



...,

,

,

2

1

. 

 

 

Definicja 

Równanie postaci 

0

...

1

2

2

1

1



















n

n

n

n

n

p

r

p

r

p

r

p

r

 

nazywamy  równaniem  charakterystycznym  równania  różniczkowego  liniowego  o  stałych 
współczynnikach (3). Natomiast wielomian 

 

n

n

n

n

n

p

r

p

r

p

r

p

r

r

w



















1

2

2

1

1

...

 

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania. 

 
 
 

U

KŁAD FUNDAMENTALNY RÓWNANIA 

(3) 

Niech 

r

  będzie  pierwiastkiem  wielomianu  charakterystycznego  równania  różniczkowego 

liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach (3). Wówczas: 

1)  jeżeli 

r

jest pierwiastkiem rzeczywistym i jednokrotnym, to funkcja 

rx

e

 

jest rozwiązaniem równania (3) 

2)  jeżeli 

r

jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym, to każda z funkcji 

rx

k

rx

rx

e

x

xe

e

...,

,

,

 

jest rozwiązaniem równania (3) 

3)  jeżeli 

i

r









  i 

i

r









,  gdzie 

0





  są  jednokrotnymi  pierwiastkami 

zespolonymi, to każda z funkcji 

x

e

x

e

x

x









sin

,

cos

 

jest rozwiązaniem równania (3) 

4)  jeżeli 

i

r









 i 

i

r









, gdzie 

0





 są k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi, 

to każda z 2k funkcji 

x

e

x

x

e

x

x

xe

x

xe

x

e

x

e

x

k

x

k

x

x

x

x

























sin

,

cos

...,

,

sin

,

cos

,

sin

,

cos

1

1





 

jest rozwiązaniem równania (3) 

 

Definicja 

Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny nie jest funkcją tożsamościowo 
równą zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym rzędu n 
 

 

 





 





 

 

 

x

h

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

x

p

y

n

n

n

n

n





















1

2

2

1

1

...

  

(4) 

 

Niech 

 

x



  będzie  dowolnym  rozwiązaniem  równania  niejednorodnego  (4)  i  niech 

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

  będzie  układem  fundamentalnym  równania  jednorodnego  (2).  Wtedy 

dla  każdego rozwiązania 

 

y x   równania  niejednorodnego  istnieją  jednoznacznie  określone 

stałe rzeczywiste 

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

 takie, że 

 

 

 

 

x

y

C

x

y

C

x

y

C

x

y

n

n









...

2

2

1

1

 

 

 

M

ETODA UZMIENNIANIA STAŁYCH

 

Jeżeli 

   

 





x

y

x

y

x

y

n

...,

,

,

2

1

 jest układem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego 

(2), to funkcja  

 

   

   

   

x

y

x

C

x

y

x

C

x

y

x

C

x

n

n









...

2

2

1

1



 

gdzie 

   

 





x

C

x

C

x

C

n

...,

,

,

2

1

 jest dowolnym rozwiązaniem układu równań 

 

 

 

 

 

 





 





 





 

 

 

 

 





























































































x

h

x

C

x

C

x

C

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

n

n

n

n

n

n

n



















0

0

2

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

 

jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (4). 

 

S

CHEMAT ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ LINIOWYCH RZĘDU N O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

 

Na wykładzie!!! 

 

Literatura 

1.  M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania 
2.  W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II