1
LOKALNA ANALIZA
CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW
Spis treści
1. Definicja
2. Okna
3. Transformacja Gabora
1
LOKALNA ANALIZA
CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW
Spis treści
1. Definicja
2. Okna
3. Transformacja Gabora
2
Analiza czasowo-częstotliwościowa
sygnału mowy
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
- 1 . 0
0 . 0
1 . 0
an d rze j_01_35_m.wav
Am
p
li
tu
d
a
Cz as [m s ]
DW
T
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
D 1
D 2
D 3
D 4
D 5
D 6
0 . 0
0 . 5
1 . 0
1 . 5
2 . 0
2 . 5
3 . 0
3 . 5
4 . 0
3
Kolejny przykład sygnału mowy
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
1 0 0 0
- 1 . 0
0 . 0
1 . 0
c ze rwie ñ s zy_01_35_m.wav
Am
p
li
tu
d
a
Cz as [m s ]
DW
T
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
1 0 0 0
D 1
D 2
D 3
D 4
D 5
D 6
0 . 0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1 . 0
1 . 2
1 . 4
1 . 6
1 . 8
2 . 0
4
Krótkoczasowa transformacja Fouriera
( )
t
t
t
1
1
0
1
dla
dla
Ang.
short-time Fourier transform
b
b
t
f
j
t
f
j
w
dt
e
t
s
dt
e
b
t
t
s
f
b
s
1
1
2
2
)
(
)
(
)
(
)
,
(
ˆ
Widmo
czasowo-częstotliwościowe
można obliczyć posługując się wzorem
5
Porównanie transformaty Fouriera z ....
Załóżmy, że
s t
f t
( ) cos(
)
2
0
Jak wiemy uogólniona transformata Fouriera tego sygnału ma postać
( )
.
(
)
,
(
)
s f
f
f
f
f
0 5
0 5
0
0
Obliczmy teraz jego krótkotrwałą transformatę Fouriera
ograniczoną do przedziału .
[ , ]
4 4
6
.... krótkoczasową transformatą Fouriera
Odpowiada to znalezieniu widma sygnału
s t
t
f t
w
( )
/
cos(
)
4
2
0
czyli
( )
cos(
) ( / )
cos(
)
s
f
f t
t
e
dt
f t e
dt
w
j f t
j f t
2
4
2
0
2
0
2
4
4
Posługując się wzorem na transformatę sygnału zmodulowanego
otrzymujemy
( )
sin
(
)
(
)
sin
(
)
(
)
s
f
f
f
f
f
f
f
f
f
w
8
8
8
8
0
0
0
0
7
Ilustracja przykładu
Sygnał s(t)
Jego transformata
8
Widmo okna
( )
( )
w f
w t e
dt
j f t
2
dla
t
T
w
2T
w
jest nazywane rozmiarem okna
0
)
(
t
w
Okno z nośnikiem zwartym
9
Środek i szerokość okna
Środek okna
c
w
t w t dt
w
1
2
2
( )
Szerokość okna
w
w
w
t
c
w t dt
2
2
2
1
2
( )
gdzie norma jest obliczana w przestrzeni
L
2
( )
2
2
)
(
w
t
w
odpowiada gęstości prawdopodobieństwa
10
Normalizacja okna
Okno
powinno być
znormalizowane
w
w f df
( )
( )
0
1
w
c
f
j
w
e
f
w
c
t
w
2
)
(
ˆ
)
(
w c
w f e
df
w
j f c
w
( )
( )
2
1
gdzie
c
w
jest
środkiem okna.
w t
( )
Po przesunięciu
czyli okno też będzie znormalizowane bo
11
Widmo sygnału wyciętego przez okno
Sygnał
pomnożony przez okno
posiada widmo
s t
s t w t
w
( )
( ) ( )
dg
g
w
g
f
s
dt
e
t
w
t
s
f
s
t
f
j
w
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
)
(
ˆ
*
2
dt
e
b
t
w
t
s
b
f
s
t
f
j
w
2
)
(
)
(
)
,
(
ˆ
w t
( )
)
(t
s
)
(
ˆ
*
f
w
gdzie
oznacza funkcję sprzężoną do widma
)
(
ˆ f
w
dt
e
t
s
f
s
t
f
j
w
w
2
)
(
)
(
ˆ
12
Okno prostokątne (rysunek)
13
Okno prostokątne
w t
t
T
t
T
( )
1
0
dla
dla
w
dt
T
T
T
2
2
środek okna znajduje się w zerze
c
T
t dt
w
T
T
1
2
0
a szerokość okna zgodnie z przyjętą definicją wynosi
w
T
T
T
t dt
T
2
2
2
3
2
1
2
czyli jest różna od
.
2T
Widmo częstotliwościowe tego okna ma postać
( )
sin(
)
w f
f T
f
2
14
Okno Bartletta (rysunek)
15
Okno Bartletta zwane trójkątnym
środek tego okna również znajduje się w zerze, co można łatwo
policzyć
c
T
t
t
T
dt
t
t
T
dt
w
T
T
3
2
1
1
0
2
0
2
0
Szerokość okna wynosi
w
T
T
T
t
t
T
dt
t
t
T
dt
T
6
1
1
2
5
2
2
2
2
0
0
a widmo częstotliwościowe
( )
sin (
)
w f
f T
T f
2
2
2
w t
t
T
t
T
t
T
( )
1
0
dla
dla
w
t
T
dt
t
T
dt
T
T
T
2
2
2
0
0
1
1
2
3
16
Okno Hanna (rysunek)
w t
t T
t
T
t
T
( )
,
cos(
)
0 5 1
0
dla
dla
( )
sin(
)
(
)
w f
f T
T f
f
2
2 1 4
2
2
17
Okno Hanna
w t
t T
t
T
t
T
( )
,
cos(
)
0 5 1
0
dla
dla
w
t
T
dt
T
T
T
2
2
1
4
1
3
4
cos
bo
cos ( )
sin(
)
2
1
2
1
4
2
at dt
t
a
at
Widmo częstotliwościowe ma postać
( )
sin(
)
(
)
w f
f T
T f
f
2
2 1 4
2
2
18
Okno Hamminga
w t
t T
t
T
t
T
( )
,
,
cos(
/ )
0 54 0 46
0
dla
dla
( )
( ,
,
)sin(
)
(
)
w f
T f
T f
f
T f
1 08 0 64
2
2
1 4
2
2
2
2
19
Okno paraboliczne
w t
T
t T
t
T
t
T
( )
/
3
4
1
0
2
dla
dla
20
Okno Parzena (rysunek)
jest zbudowane z wielomianów trzeciego stopnia
21
Okno Parzena
ma charakterystykę częstotliwościową
2
/
sin
12
)
(
ˆ
4
4
3
4
f
T
f
T
f
w
rok 1961
T
t
T
t
T
T
t
T
t
T
t
T
t
t
w
dla
0
2
/
dla
/
1
2
2
/
dla
/
6
/
6
1
)
(
3
3
3
2
2
22
Okno Kaisera (rysunek), β=3
23
Okno Kaisera
2
)
(
0
0
T
t
I
I
t
w
2
1
2
1
T
t
gdzie
1
2
0
2
!
1
1
k
k
k
I
jest funkcją Bessela rzędu zerowego
24
Okno Gaussa
w t
e
t
( )
1
2
2
4
a widmo częstotliwościowe
( )
w f
e
f
4
2
2
w
a
a
w
t w t dt
a
2
2
2
2
0 5
( )
,
Jego szerokość wynosi
25
Okno Gaussa (rysunek)
26
Przykład
Dany jest sygnał
s t
f t
( ) cos(
)
2
0
który ma widmo
)
(
)
(
5
,
0
)
(
ˆ
0
0
f
f
f
f
f
s
Jakie jest widmo po wymnożeniu sygnału przez wybrane okno ?
)
(
ˆ
)
(
ˆ
2
1
)
(
ˆ
0
0
f
f
w
f
f
w
f
s
w
Odpowiedź jest prosta. Postać widma lokalnego
zależy od widma okna i częstotliwości analizowanego sygnału.
27
Przykład z oknem prostokątnym
( )
,
(
)
(
)
sin(
)
s
f
f
f
f
f
T
d
w
T
T
0 5
2
0
0
)
(
)
(
2
sin
)
(
)
(
2
sin
2
1
)
(
ˆ
0
0
0
0
f
f
f
f
T
f
f
f
f
T
f
s
w
Bo widmo iloczynu dwóch sygnałów jest równe splotowi ich widm, czyli
28
Przykład z oknem Bartletta
2
0
0
2
2
0
0
2
2
)
f
+
(f
)
f
+
T(f
sin
+
)
f
-
(f
)
f
-
T(f
sin
T
2
1
)
(
ˆ
f
s
w
29
Przykład z oknem Hanna
]
)
(
4
1
)[
(
)
(
2
sin
]
)
(
4
1
)[
(
)
(
2
sin
4
1
)
(
ˆ
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
f
f
T
f
f
f
f
T
f
f
T
f
f
f
f
T
f
s
w
30
Przykład z oknem Parzena
4
0
0
4
4
0
0
4
3
4
)
(
)
(
5
,
0
sin
)
(
)
(
5
,
0
sin
6
)
(
ˆ
f
f
f
f
T
f
f
f
f
T
T
f
s
w
31
Transformacja Gabora
opiera się na funkcji Gaussa
( , , )
( )
(
)
s f a b
s t w t
b e
dt
a
j f t
2
w t
b db
a
(
)
1
)
(
ˆ
)
,
,
(
ˆ
f
s
db
b
a
f
s
a b
t b
a
j f t
f t
a
e
,
(
)
( , )
1
2
2
4
2
( , , )
( )
( , )
,
s f a b
s t
f t dt
a b
Transformację Gabora można zatem zapisać w postaci
gdzie
w t
a
e
a
t
a
( )
1
2
2
4
i jest zdefiniowana następująco
Posiada własności