Mec hanika kw antowa 1

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Mechanika kwantowa (albo mechanika falowa) zajmuje si“ ruchami
mikroczsteczek i ich oddzia»ywaniami (o ile nie prowadz do zmiany liczby
i rodzaju mikroczstek)

Zajmiemy si“ mechanik kwantow nierelatywistyczn.

Hipoteza de Broglie’a (1924 r.) 

Jeóeli Ñwiat»o ma dwoist falowo-czstkow natur“, 

fale o cz“stoÑci   i d»ugoÑci 

czstki o energii 

 i p“dzie 

to takóe czstki o niezerowej masie powinny mieƒ tak natur“.
Czstki takie, o energii   i p“dzie  , zachowuj si“ jak

fale o cz“stoÑci  

 i d»ugoÑci 

.

(E i p rozumiane s tu w sensie relatywistycznym: 

, 

)

DoÑwiadczenie Davissona i Germera - pierwsze potwierdzenie hipotezy de

Broglie'a (1927 r.)

Mec hanika kw antowa 2

S

k 

  - p»aszczyzny sieciowe

CD - r ó ó n i c a   d r ó g   c i  g ó w

falowych  P

1

B i P

2

B

Wzmocnienie, gdy 

   (warunek Braggów)

,    

,   

, 

,

Wniosek:

Kaódej poruszajcej si“ czstce materialnej moóna przypisaƒ fal“ materii,

której d»ugoу jest okreÑlona wzorem de Broglie'a 

.

Materia, podobnie jak promieniowanie, wykazuje dualizm falowo-czstkowy.

Mec hanika kw antowa 3

Funkcja falowa

W mechanice kwantowej czstkom przypisuje si“ funkcje falowe

 

w ogólnoÑci b“dce superpozycjami monochromatycznych fal de Broglie’a

Sens fizyczny funkcji falowej

Interpretacja Borna (1926 r.)

Sama funkcja falowa nie ma bezpoÑredniej interpretacji fizycznej.
Interpretacj“  fizyczn  ma  natomiast  kwadrat modu»u funkcji falowej

 tak, óe

gdzie 

 - prawdopodobie½stwo tego, óe czstka znajdzie si“ wewntrz

obszaru o obj“toÑci 

.

Funkcja  Q cz“sto jest rozumiana jako funkcja znormalizowana
(unormowana), czyli spe»niajca warunek

(wtedy  

)

G“stoу prawdopodobie½stwa znalezienia czstki w danym elemencie
przestrzeni

Mec hanika kw antowa 4

Opis ruchu czstki swobodnej za pomoc monochromatycznej fali de
Broglie’a

w jednym wymiarze, dla czstki

poruszajcej si“ wzd»uó os x

w przestrzeni trójwymiarowej, dla czstki

poruszajcej si“ w kierunku 

Czstki opisane tak fal maj ÑciÑle okreÑlon energi“ i p“d, ale ich
zaleónoу po»oóenia od czasu nie jest okreÑlona.

Pr“dkoу fazowa a pr“dkoу grupowa fal de Broglie'a 

Wynik ten nie jest sprzeczny z teori wzgl“dnoÑci, gdyó aby mówiƒ o
pr“dkoÑci czstki, naleóy jej przyporzdkowaƒ nie fal“ monochromatyczn,
a grup“ fal. Pr“dkoу fazowa fal de Broglie’a zaleóy od ich d»ugoÑci fali, a
wi“c fale te podlegaj dyspersji, a w konsekwencji pr“dkoу grupowa jest
róóna od pr“dkoÑci fazowej 

Pr“dkoу grupowa fal de Broglie'a jest równa pr“dkoÑci przemieszczania si“
czstki.

Mec hanika kw antowa 5

Opis ruchu czstki swobodnej za pomoc paczki falowej

Dla uproszczenia weïmy czstk“ poruszajc si“ równolegle do osi x, w jej
dodatnim kierunku. Takiej czstce moóna przypisaƒ grup“ fal p»askich o
wartoÑciach modu»u wektora falowego zawartych w pewnym przedziale (o
szerokoÑci 

) wokó» pewnej wartoÑci 

Zwróƒmy uwag“, óe rozmycie   oznacza rozmycie p“du (bo 

) oraz,

óe w takim przypadku wartoÑci cz“stoÑci   s równieó rozmyte wewntrz

pewnego przedzia»u, co wynika relacji energii i p“du

Zasada nieokreÑlonoÑci Heisenberga 

Aby dok»adniej przeanalizowaƒ konsekwencje rozmycia energii i p“du w
paczce falowej, wykonajmy ca»kowanie we wzorze opisujcym paczk“

Mec hanika kw antowa 6

,

,

Sens fizyczny ma kwadrat modu»u funkcji falowej 

 

Std mamy  

,    gdzie

 

Dla czstki opisanej paczk falow mamy pewien zakres wartoÑci   (nie

pojedyncz wartoу).  Moóna w pierwszym przyblióeniu przyjƒ, óe
nieokreÑlonoу   wynosi co najmniej 

czyli, óe

Mec hanika kw antowa 7

PokazaliÑmy, óe dla czstki swobodnej opisanej paczk falow

1. JeÑli ustalimy czas (

), to

 

6

6

6

 

W analogiczny sposób moóna otrzymaƒ

Niemoóliwe jest jednoczesne okreÑlenie p“du i po»oóenia czstki

2. JeÑli ustalimy po»oóenie (

), to

 

  6

6

6

Energia czstki w danym stanie moóe byƒ okreÑlona z tym
wi“ksz dok»adnoÑci, im d»uóej czstka znajduje si“ w tym
stanie

Mec hanika kw antowa 8

Równanie Schrödingera  (1926)

,

,

,

Funkcja 

 spe»nia warunek 

, gdzie

.  (gradient U ze znakiem minus jest

równy wypadkowej sile dzia»ajcej na czstk“). JeÑli U nie zaleóy od

czasu, to 

 jest energi potencjaln czstki.

Funkcja falowa musi spe»niaƒ tzw. warunki naturalne. Zgodnie z nimi
funkcja falowa musi byƒ:

!

cig»a,

!

g»adka - pochodne 

, 

, 

powinny byƒ cig»e,

!

jednoznaczna,

!

ograniczona,

!

funkcja 

powinna byƒ ca»kowalna, tzn. ca»ka

 

powinna mieƒ wartoу sko½czon.

Mec hanika kw antowa 9

Stan stacjonarny czstki stan, w któr ym  

,  

g“stoу

prawdopodobie½stwa znalezienia czstki w
danym obszarze przestrzeni nie zaleóy od czasu.

Stan stacjonarny jest charakterystyczny dla stacjonarnego pola si»

. Dla stanu stacjonarnego funkcja falowa moóe byƒ

zapisana jako iloczyn funkcji zaleónej tylko od wspó»rz“dnych i funkcji
zaleónej tylko od czasu

gdzie E jest energi ca»kowit czstki

Postaƒ równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego

    

s t a c j o n a r n e   r ó w n a n i e

Schr öd ing e ra ,   r ó wn a n i e
Schrödingera bez czasu.

Mechanika kwantowa 10

Równanie Schrödingera w zapisie operatorowym

operator energii ca»kowitej, operator

Hamiltona, hamiltonian

Postaƒ równania Schrödingera z uóyciem operatora 

 

 bez czasu

  z czasem

Zagadnienie w»asne

R

funkcja w»asna operatora 

wartoу w»asna

Rozwizanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu
czstki wzd»uó osi x

W tym przypadku  

.  Przyjmijmy 

 

Mechanika kwantowa 11

 - sta»e

Dla czstki poruszajcej si“ w dodatnim kierunku osi x

(przyjmujemy 

)

Dla czstki poruszajcej si“ w ujemnym kierunku osi x

(przyjmujemy 

)