1.Postulaty statyki
1)Zasada równoległoboku R=P
1
+P
2
2)
Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej samej
prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe 3)Działanie układu sił przyłożonych do
ciał sztyw. nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy lub odejm. dowolny układ równoważących się sił
tzw. układ zerowy 4)Zasada zesztywnienia – równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie
zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała 5)Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości
i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie 6)Każde ciało nieswobodne można
myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami.
2. Twierdzenie o
trzech siłach- Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztyw. były w
równowadze, linie działania tych sił muszą się przecinać w jednym punkcie, a same siły tworzyć trójkąt
zamknięty.
3. Varignon
Moment względem dowolnego punktu O wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów
sił wypadkowych względem tego punktu.
4. Para sił - Układ dwóch sił równoległych nie leżących na jednej prostej. Aby pary sił działające w jednej
płaszczyźnie znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi
być równa zeru.
5.Moment siły – Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił
na osie układu muszą być równe zero. M
o
=rFsin(r,F) ∑M
i
=0
6. Kratownica
– jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać
geometryczną. Warunek sztywności p=2w-3
7. Redukcja płaskiego układu sił
P’=P a’=-a
8.
Redukcja
przestrzennego ukł. Sił –
dowolny
układ
sił
przyłożonych do jednego
punktu
zastąpić
możemy
jedną
siłą
wypadkową przyłożoną
w tym punkcie i równą
sumie
geometrycznej
sił.
9.Tarcie
– zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te nazywamy siłami
tarcia. Możemy je opisać jako siły oporu zapobiegające ruchowi, który by powstał gdyby tarcia nie było
10. Kinematyczne równania ruchu – x=f
1
(t), y=f
2
(t), z=f
3
(t)
– równania parametryczne toru punktu lub
11.
Definicja prędkości - Prędkość punktu jest wektorem określonym przez pierwszą pochodną wektora
położenia względem czasu.
12. Definicja przyspieszenia -
Wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości lub dugą
pochodną
wektora
położenia
względem
czasu
13. Przyspieszenie styczne; p. normalne
– przysp. styczne -
; przysp. normalne -
, gdzie p-
promień krzywizny
14. Droga
– s=∫vdt
15. Rzut pionowy
– rzut punktu materialnego z daną prędkością w kierunku pionowym. Szczególnym
przypadkiem jest spadek swobodny
x=0
y=(gt
2
)/2
16. Rzut poziomy
x=V
o
t
y=(gt
2
)/2
17. Rzut ukośny
x=V
o
tcosα
y=V
o
tsinα
18 Rodzaj
e ruchów bryły
Ruch postępowy- jeżeli bryła porusza się tak że
jej chwilowe położenia są równoległe do
położenia początkowego.
Ruch obrotowy-
Jeżeli dwa punkty bryły są
stałe, tworzą wtedy oś obrotu bryły
Ruch płaski- traktujemy jako chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu
19 Prędkość i przyspieszenie
Punktu
bryły w ruchu postępowym
Prędkość:
Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem
postępowym są w danej chwili wektorami równoległymi.
Przyspieszenie:
Przyspieszenia
wszystkich punktów bryły w ruchu postępowym są w danej
chwili wektorami równoległymi.
20 Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym
Prędkość:
Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym
jest równa iloczynowi wektorowemu wektora prędkości
kątowej przez wektor położenia punktu (początek układu na
osi obrotu).
Przyspieszenie:
Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest sumą geometryczną
przyspieszeń:
Obrotowego i poosiowego
21
Prędkość kątowa
22 Przyspieszenie kątowe
jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli
współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość
przyspieszenia kątowego ε wynosi:
d
dt
d
2
dt
2
1
s
2
24 Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim
Prędkość:
Przyspieszenie
26 Chwilowy środek obrotu
Punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.
Wyznaczenie środka obrotu
W układzie ruchomym
r
c
'
o'
2
W
układzie nie ruchomym
r
c
o'
r
c
'
27 Centroida
Kr
zywa łącząca chwilowe środki obrotu
Ruchoma
Miejsce geometryczne chwilowych środków obrotu figury płaskiej w układzie ruchomym
Nieruchoma
Miejsce geometryczne (nie ściągaj!!) chwilowych środków obrotu figury płaskiej w
układzie nieruchomym
28 Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu kulistym
prędkość
przyspieszenie
29 Układ Eulera
Prędkość
31 Przyspieszeni kątowe w przypadku precesji regularnej
d
dt
2
1
2
2
1
32 Ruch ogólny
Podstawowy + kulisty 6 stopni swobody
33 ruch złożony punktu
Ruch p
unktu względem układu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym, a względem układu
ruchomego
ruchem względnym. Ruch układu ruchomego względem układu nieruchomego
nazywamy ruchem unoszenia
34 Prędkość bezwzględna
Jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej
35 Przyspieszenie bezwz.
Jest
sumą wektorową przyspieszenia unoszenia, względnego i przyspieszenia Coriolisa
a
b
a
u
a
w
a
c
36.Przyspieszenie Coriolisa,
dodatkowe przyspieszenie liniowe, które ma w ruchomym układzie
odniesienia (np. związanym z obracającą się Ziemią) poruszające się względem niego ciało dzięki
ruchowi obrotowemu tego układu.
37 Prawa ruchu Newtona
Prawo pierwsze.
Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego
prostoliniowego dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.
Prawo drugie.
Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły działającej i
ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Oznaczając przez P siłę działającą na punkt
materialny, a przez mv
jego pęd (m - masa, v - prędkość), treść drugiego prawa Newtona możemy
wyrazić następującym równaniem wektorowym
d m
dt
P
Jeżeli m=const. To P=ma
Prawo trzecie.
Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwne zwrócone oddziaływanie, czyli
wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.
Prawo czwarte.
Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześni kilka sił, to każda z nich
działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa
wektorowej sumie wektorów danych sił.
d
dt
m
1
m
2
... m
n
P
1
P
2
... P
n
Prawo piąte (grawitacji). Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost
proporcjonalną do iloczynu ich mas (m
1
, m
2
) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r
między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.
P
k
m
1
m
2
r
2
38 Zasada d’Alemberta
W ruchu punktu materialnego układ sił czynnych i reakcji więzów równoważy się z pomyślaną siłą
bezwładności.
39.Zasada zachowania pędu:
Równanie:
Wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego. Pochodna pędu punktu materialnego jest równa
sumie sił działających na dany punkt. Powyższe równanie jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej
zasady
dynamiki.
Jeżeli
teraz:
Jest to zasada zachowania pędu dla punktu.
40.Zasada
pędu
i
popędu.
Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu)
Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora
głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.
t
dt
W
p
t
p
0
)
0
(
)
(
41.Zasada zachowania krętu.
Pochodna względem czasu krętu punktu materialnego względem nieruchomego bieguna O jest
równa momentowi względem tego bieguna wypadkowej sił działających na dany punkt materialny.
dK
0
/ dt = M
0
42.Zasada krętu i pokrętu.
Zasada krętu i pokrętu
Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy pokrętowi
momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.
t
O
O
O
dt
M
k
t
k
0
)
0
(
)
(
43.Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.
44.Definicja pracy.
Praca jest to mechaniczny sposób przekazu energii.Jednostką pracy jest Jul.
45.Moc mechaniczna.
Mocą siły nazywamy pracą wykonaną w jednostce czasu. Jeśli praca siły zmienia się z czasem to
wówczas moc jest pochodna pracy względem czasu: M=
dt
dL
[W ]
46.Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej.
Jeżeli na poruszający się punkt materialny o masie m działa siła czynna P to przyrost en. kinetycznej
tego punktu jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na ten punkt: L=1/2mV
2
k
- 1/2mV
2
p
48.Potencjalne (zachowawcze) pole sił.
Pole jest potencjalnym polem sil, gdy praca przy przesowaniu punktu nie zalezy od drogi (tzn praca po
drodze zamknietej = 0)
centralne pole sil:
pole sil o tej wlasnosci ze linie dzialania sil tego pola zawsze przechodza przez jeden punkt
Zdolność do wykonania pracy ciała znajdującego się w spoczynku nazywamy en. potencjalną E
p
:
E
p
=mgh.
49.Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych.
W
F
mr '
'
,
gdzie
F
-R,
W
=0
0
2
2
2
2
Mr
dt
d
mr
dt
d
; Mr
0
’’=R
Ruch układów punktów materialnych odbywa się tak jakby cała masa układu skupiona była w jego
środku masy i na który to punkt działają wszystkie siły zewnętrzne.
→ →
M ro = R
50.Pęd układu punktów materialnych.
R
MV
dt
d
0
; Q=MV
0
=
mV
-
pęd ukł.
punktów_materialnych;
R
dt
dQ
-
zasada pędu
Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew.
R=0 >> Q=const
jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.
ped dotyczy tylko ruchu postepowego, nie obrotowego, bo nie ma masy bezwladnosci predkosci
katowej
zasada zachowania pedu: jeżeli na uklad nie dzialaja sily lub dzialajace sily się znosza to ped jest
staly czyli zachowany r=0 to q=const.
okresla się go tylko przy ruchu postepowym, przy ruchu obrotowym nie istnieje.
51.Kręt układu punktów materialnych.
K
s
=
ρ
i
*mV
i
– kręt
c
c
M
dt
dK
Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie wywołana jest przez moment główny działający na układ
brany względem nieruchomego punktu lub środka masy.
M
c
=0 >> K
c
=const
52.Energia kinetyczna układu punktów materialnych.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej w ruch
postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym dookoła środka masy C układu.
E =½V
c
p+½ωK
c
; p=mV
c
; K
c
=I
c
ω
53.Twierdzenie Koeniga.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii kinetycznej, jaką miałby
pkt materialny o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy oraz energii
kinetycznej tegoż układu względem środka masy.
54. Zasada zachowania energii mechanicznej -
w układzie izolowanym suma składników
wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie
zmienia się w czasie).
55. Wahadło matematyczne
0
sin
"
0
sin
"
sin
"
sin
2
2
l
g
g
ml
ml
mgl
ml
mgl
M
z
86. Macierz bezwładności
Macierz bezwładności jest macierzą symetryczną. Elementy na przekątnej – momenty bezwładności.
Elementy poza przekątną – momenty dewiacyjne bądź iloczyny bezwładności.
56. Wahadło fizyczne
Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego
punktu.
0
sin
"
sin
"
sin
g
I
ms
mgs
I
mgs
M
y
F
M
z
z
z
z
Porównując to równanie z wahadłem matematycznym otrzymujemy
ms
I
l
z
red
długość zredukowana
Okres wahadła
mgs
I
g
l
g
l
T
z
red
2
2
2
Rozwiązanie:
)
cos(
0
t
A
57. Drgania swobodne
Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły
F
przyciągającej ten punkt do stałego punktu O zwanego środkiem drgań.
Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu
F = -kx, k-
stała sprężystości.
Równanie będzie miało postać
mx” = F
mx” = -kx lub
m
k
x
m
k
x
0
"
Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych
,
0
"
2
x
x
częstość ruchu.
Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:
)
sin(
t
a
x
(a-amplituda(max.wychylenie),
-
faza początkowa ruchu drgań
)
(
t
-faza
drgań)
Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie
k
m
T
m
k
T
2
,
2
58. Drgania tłumione
Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości
'
*
x
R
x
-
siła tłumiąca.
Równania ruchu:
m
n
m
k
x
nx
x
x
kx
mx
2
,
0
'
2
"
'
"
2
Ponieważ równanie charakterystyczne
0
2
2
2
n
jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)
1.Małe tłumienie
0
n
Rozwiązanie:
)
sin(
2
2
t
n
ae
x
nt
Jeżeli
0
,
tox
t
-
drgania
zanikają.
Okres:
2
2
2
2
,
2
n
n
T
t
2.Duże tłumienie.
0
n
Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań.
Rozwiązanie
)
sinh(
2
2
t
n
ae
x
nt
Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgań.
3.Tłumienie krytyczne
0
n
Rozwiązanie:
)
(
2
1
t
C
C
e
x
nt
Brak okresowości, brak drgań.
60. Drgania wymuszone
Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone.
Siła wymuszająca S=H sin(pt),
p-
czestość siły wymuszającej.
Równanie ruchu tych drgań
m
H
h
m
k
pt
h
nx
x
pt
H
kx
mx
,
)
sin(
'
2
"
)
sin(
"
Rozwiązanie ostateczne tych drgań
)
sin(
)
sin(
2
2
pt
p
h
t
a
x
Jest to złożenie dwóch
drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda drgań wymuszonych
