Płaski dowolny układ sił
Przykład 1.
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy
Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
R o z w i ą z a n i e.
Wektor główny układu sił jest równy
Moment główny układu wynosi
Przykład 2
Nieważka belka AB = 4l została obciążona trzema siłami równoległymi P
1
, P
2
, P
3
prostopadłymi do
belki. Znaleźć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w
punkcie B. Dane liczbowe: P
1
= 100 N, P
2
= 300 N, P
3
= 400 N, l = 1 m.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcje w podporach A i B maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił równoległych P
1
,
P
2
, P
3
, R
A
i R
B
. Dwie niewiadome reakcje R
A
i R
B
wyznacza się z dwóch równań równowagi
Stąd
Przykład 3
Nieważka belka AB = 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze przegubowej, a w punkcie B
na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki stanowią siły P
1
= 300 N i P
2
= 400 N, a kąt
= 30º. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B.
R o z w i ą z a n i e.
Kierunek reakcji R
A
w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia działania
tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się na dwie składowe wzdłuż osi
prostokątnego układu współrzędnych Axy. Składowe reakcji R
A
zostały oznaczone przez R
Ax
i R
Ay
.
Zatem, belka
jest obciążona dwoma siłami zewnętrznymi P
1
i P
2
oraz trzema reakcjami więzów R
Ax
, R
Ay
i R
B
. Wartości tych reakcji wyznacza się z trzech równań równowagi
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy
Reakcja R
B
jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku. Wartość reakcji R
A
oblicza się ze wzoru
Przykład 4
Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w punkcie A i podporze
przegubowej przesuwnej w punkcie B. Obciążenie zewnętrzne ramy stanowią siły P i siła 2P. Obliczyć
reakcje podpór R
A
i R
B
, jeżeli P = 1000 N, l = 0,5 m.
R o z w i ą z a n i e.
Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i reakcjami R
A
i R
B
. Ponieważ kierunek reakcji R
A
jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R
Ax
, R
Ay
. Niewiadome reakcje wyznacza się z
trzech równań równowagi ramy
Stąd
Przykład 5
Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne stanowią dwie
siły P
1
= 200 N, P
2
= 100 N i moment M = 200 N · m. Pozostałe dane liczbowe wynoszą: l = 1 m,
= 45º,
= 30º.
R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi P
1
, P
2
, momentem M oraz reakcjami R
A
i R
B
.
Ponieważ kierunek reakcji R
A
jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R
Ax
, R
Ay
.
Niewiadome reakcje
wyznacza się z trzech równań równowagi
Stąd
Reakcje R
Ax
, R
Ay
są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość reakcji R
A
wynosi
Przykład 6
Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcem A na stałej podporze
przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W punktach D i E do belki przyłożone są siły
P
1
, P
2
. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B. Dane liczbowe:
P
1
= 100 N, P
2
= 800 N, G = 200 N,
= 45º,
= 60º, l = 4 m.
R o z w i ą z a n i e.
Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja R
B
więzów będzie prostopadła do płaszczyzny tej
równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami równi i belki równa się zeru. Kierunek
reakcji R
A
w przegubie A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia działania tej siły przechodzi przez
środek przegubu, tj. przez punkt A. Reakcję tę rozkładamy na dwie składowe R
Ax
, R
Ay
wzdłuż osi
prostokątnego układu współrzędnych Axy. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi
i trzema reakcjami. Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań równowagi.
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
Stąd
Przykład 7
Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z dwóch kół tocznych,
oddziałuje na belkę siłami P
1
, P
2
. W jakiej odległości x od punktu A powinien wózek się zatrzymać, aby
reakcja w punkcie B była dwukrotnie mniejsza od reakcji w punkcie A ? Dane liczbowe: P
1
= 4000 N i P
2
= 2000 N, b = 1 m, l = 10 m.
R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ siły P
1
, P
2
, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja R
B
ma kierunek pionowe, również
reakcja R
A
ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania równowagi
Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że R
B
= 0,5R
A
, otrzymujemy
Przykład 8
Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych przesuwnych B i D
oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki.
Dane:
P
1
= 1000 N,
P
2
= 2000 N,
= 30º,
l = 1 m.
R o z w i ą z a n i e.
W celu wyznaczenia reakcji R
A
, R
B
, R
C
i R
D
rozważymy równowagę obu części belki.
Równania równowagi lewej części belki mają postać
Równania równowagi prawej części belki
Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po rozwiązaniu tego
układu otrzymujemy
Reakcje R
A
i R
C
wynoszą
Przykład 9
Dźwig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na torze jezdnym
AB. Obliczyć reakcje kół dźwigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A i podpory przegubowej
przesuwnej w punkcie B oraz reakcję w przegubie E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji R
A
o nie znanym kierunku
oraz momentu utwierdzenia M
A
. W podporze przegubowej przesuwnej w punkcie B i podporach kół
dźwigu w punkcie C i D występują reakcje o kierunku pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej
(przesuwu). Reakcja przegubu E sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania,
przechodzącej przez oś tego przegubu. Z dwóch równań równowagi dźwigu (rys. b) wyznaczamy
reakcje R
C
i R
D
podpór jego kół
Stąd
Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:
część belki BE
część belki AB
Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy