Płaski dowolny układ sił

Przykład 1.

Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy

Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.



R o z w i ą z a n i e.

Wektor główny układu sił jest równy

Moment główny układu wynosi

Przykład 2

Nieważka belka AB = 4l została obciążona trzema siłami równoległymi P

1

, P

2

, P

3

prostopadłymi do

belki. Znaleźć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w
punkcie B. Dane liczbowe: P

1

= 100 N, P

2

= 300 N, P

3

= 400 N, l = 1 m.

R o z w i ą z a n i e.

Reakcje w podporach A i B maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił równoległych P

1

,

P

2

, P

3

, R

A

i R

B

. Dwie niewiadome reakcje R

A

i R

B

wyznacza się z dwóch równań równowagi

Stąd

Przykład 3

Nieważka belka AB = 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze przegubowej, a w punkcie B
na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki stanowią siły P

1

= 300 N i P

2

= 400 N, a kąt





= 30º. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B.

R o z w i ą z a n i e.

Kierunek reakcji R

A

w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia działania

tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się na dwie składowe wzdłuż osi
prostokątnego układu współrzędnych Axy. Składowe reakcji R

A

zostały oznaczone przez R

Ax

i R

Ay

.

Zatem, belka

jest obciążona dwoma siłami zewnętrznymi P

1

i P

2

oraz trzema reakcjami więzów R

Ax

, R

Ay

i R

B

. Wartości tych reakcji wyznacza się z trzech równań równowagi

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy

Reakcja R

B

jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku. Wartość reakcji R

A

oblicza się ze wzoru

Przykład 4

Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w punkcie A i podporze
przegubowej przesuwnej w punkcie B. Obciążenie zewnętrzne ramy stanowią siły P i siła 2P. Obliczyć
reakcje podpór R

A

i R

B

, jeżeli P = 1000 N, l = 0,5 m.

R o z w i ą z a n i e.

Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i reakcjami R

A

i R

B

. Ponieważ kierunek reakcji R

A

jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R

Ax

, R

Ay

. Niewiadome reakcje wyznacza się z

trzech równań równowagi ramy

Stąd

Przykład 5

Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne stanowią dwie
siły P

1

= 200 N, P

2

= 100 N i moment M = 200 N · m. Pozostałe dane liczbowe wynoszą: l = 1 m,





= 45º,





= 30º.

R o z w i ą z a n i e.

Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi P

1

, P

2

, momentem M oraz reakcjami R

A

i R

B

.

Ponieważ kierunek reakcji R

A

jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R

Ax

, R

Ay

.

Niewiadome reakcje

wyznacza się z trzech równań równowagi

Stąd

Reakcje R

Ax

, R

Ay

są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość reakcji R

A

wynosi

Przykład 6

Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcem A na stałej podporze
przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W punktach D i E do belki przyłożone są siły
P

1

, P

2

. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B. Dane liczbowe:

P

1

= 100 N, P

2

= 800 N, G = 200 N,





= 45º,





= 60º, l = 4 m.

R o z w i ą z a n i e.

Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja R

B

więzów będzie prostopadła do płaszczyzny tej

równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami równi i belki równa się zeru. Kierunek
reakcji R

A

w przegubie A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia działania tej siły przechodzi przez

środek przegubu, tj. przez punkt A. Reakcję tę rozkładamy na dwie składowe R

Ax

, R

Ay

wzdłuż osi

prostokątnego układu współrzędnych Axy. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi
i trzema reakcjami. Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań równowagi.

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

Stąd

Przykład 7

Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z dwóch kół tocznych,
oddziałuje na belkę siłami P

1

, P

2

. W jakiej odległości x od punktu A powinien wózek się zatrzymać, aby

reakcja w punkcie B była dwukrotnie mniejsza od reakcji w punkcie A ? Dane liczbowe: P

1

= 4000 N i P

2

= 2000 N, b = 1 m, l = 10 m.

R o z w i ą z a n i e.

Ponieważ siły P

1

, P

2

, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja R

B

ma kierunek pionowe, również

reakcja R

A

ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania równowagi

Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że R

B

= 0,5R

A

, otrzymujemy

Przykład 8

Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych przesuwnych B i D
oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki.

Dane:
P

1

= 1000 N,

P

2

= 2000 N,





= 30º,

l = 1 m.

R o z w i ą z a n i e.

W celu wyznaczenia reakcji R

A

, R

B

, R

C

i R

D

rozważymy równowagę obu części belki.

Równania równowagi lewej części belki mają postać

Równania równowagi prawej części belki

Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po rozwiązaniu tego
układu otrzymujemy

Reakcje R

A

i R

C

wynoszą

Przykład 9

Dźwig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na torze jezdnym
AB. Obliczyć reakcje kół dźwigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A i podpory przegubowej
przesuwnej w punkcie B oraz reakcję w przegubie E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.

R o z w i ą z a n i e.

Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji R

A

o nie znanym kierunku

oraz momentu utwierdzenia M

A

. W podporze przegubowej przesuwnej w punkcie B i podporach kół

dźwigu w punkcie C i D występują reakcje o kierunku pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej
(przesuwu). Reakcja przegubu E sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania,
przechodzącej przez oś tego przegubu. Z dwóch równań równowagi dźwigu (rys. b) wyznaczamy
reakcje R

C

i R

D

podpór jego kół

Stąd

Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:



część belki BE



część belki AB

Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy