Ćwiczenie D6:

A

LGORYTMY

 

OBLICZANIA

 

MODUŁU

 

WEKTORA

,

PIERWIASTKA

 

KWADRATOWEGO

 

I

 

FUNKCJI

 

TRYGONOMETRYCZNYCH

 

PRZY

 

ZASTOSOWANIU

PROCESORÓW

 

SYGNAŁOWYCH

 TMS320

opracował:

mgr inż. Tadeusz Białoń

Tadeusz.Bialon@polsl.pl

Cele ćwiczenia:

–

poznanie sposobów aproksymacji funkcji nieliniowych na 
przykładzie funkcji sinus

–

analiza błędów procedur realizujących funkcje nieliniowe na 
przykładzie procedur realizujących funkcję sinus

–

doskonalenie umiejętności obliczeniowych w arytmetyce 
stałoprzecinkowej

Metody aproksymacji funkcji nieliniowych

Stałoprzecinkowe procesory sygnałowe są zoptymalizowane pod kątem wykonywania podstawowych 
operacji   arytmetycznych   czyli   dodawania   i   mnożenia.   Niektóre   procesory   sygnałowe   zawierają  
w swojej   strukturze   dodatkowe   urządzenia   w   sposób   sprzętowy   ułatwiające   obliczanie   wartości  
funkcji nielinowych takich jak funkcje trygonometryczne czy pierwiastek kwadratowy. W przypadku  
braku takich urządzeń w strukturze procesora, wartości funkcji nieliniowych należy obliczać przy 
wykorzystaniu tylko operacji mnożenia i dodawania, stosując odpowiednie metody aproksymacji. 

Aproksymacja za pomocą szeregu Taylora

Jedną   z   metod   praktycznej   realizacji   funkcji   nieliniowych   jest   aproksymacja   za   pomocą   szeregu  
Taylora,   pozwalająca   sprowadzić   problem   obliczania   wartości   funkcji   nieliniowej   do   obliczania  
wartości wielomianu. 
Po rozwinięciu funkcji sinus w szereg Taylora w przedziale wartości kątów   [0,  

π

]  radianów 

i pominięciu wyrazów stopnia piątego i wyższych otrzymujemy:

        sin( x ) = 0,0013 + 0,9826 * x + 
                   + 0,0544 * x

2

 – 0,2338 * x

3

 + 0,0372 * x

4

Powyższy wzór pozwala obliczyć wartość funkcji sinus dla kątów z przedziału  [0,  

π

]. wartości 

funkcji sinus dla katów z przedziału [-

π

, 0] obliczamy korzystając z nieparzystości funkcji sinus:

        sin( -x ) = -sin( x )

Wartości   dla   pozostałych   wartości   kątów   obliczamy   korzystając   ze   wzorów   redukcyjnych.  
Bezwzględny błąd obliczania funkcji sinus za pomocą wyżej podanej aproksymacji szeregiem Taylora 
przedstawia wykres poniżej. Jest to tylko błąd związany z metodą aproksymacji. Rzeczywiste błędy  
obliczeniowe gotowej procedury będą większe ze względu na dodatkowe zaokrąglenia wynikające  
z ograniczonej precyzji arytmetyki stałoprzecinkowej.

Tablica wartości funkcji i interpolacja

Inną   metodą   obliczania   wartości   funkcji   nieliniowej   jest   utworzenie   tablicy   wartości   tej   funkcji  
i umieszczenie jej w pamięci procesora. Procedura obliczająca wartość funkcji ma wtedy za zadanie  
odnalezienie   w   tablicy   wartości   odpowiadających   podanemu   argumentowi,   a   następnie  
przeprowadzenie   odpowiedniej   interpolacji,   najczęściej   liniowej.   Ideę   interpolacji   liniowej  
przedstawia poniższy rysunek.

−−−

   rzeczywista wartość funkcji,    

- - -

 wartość interpolowana

Aby obliczyć wartość funkcji dla argumentu x należy odczytać z tablicy dwie wartości sąsiednie x

i 

i x

i+1

  oraz odpowiadające im wartości funkcji  y

i

  i  y

i+1

, a następnie obliczyć wartość funkcji  y  ze 

wzoru:

        y = y

i

 + ( y

i+1

 – y

i

 ) * ( x – x

i

 ) / ( x

i+1

 – x

i

 ) 

Bezwzględny   błąd   obliczania   funkcji   sinus   za   pomocą   wyżej   podanej   interpolacji   liniowej  
przedstawia   wykres   poniżej.   Jest   to   tylko   błąd   związany   z   interpolacją.   Rzeczywiste   błędy  
obliczeniowe gotowej procedury będą większe ze względu na dodatkowe zaokrąglenia wynikające  
z ograniczonej precyzji arytmetyki stałoprzecinkowej.

Skalowanie wartości i argumentu funkcji

Kolejnym problemem jest skalowanie argumentu i wartości funkcji. Wartości funkcji sinus należą do  
przedziału    [-1, 1]  więc można je przedstawić w 16-bitowym kodzie uzupełnienia do dwóch  

i skalowaniu   Q15   bez   żadnych   dodatkowych   zabiegów.   Dziedziną   funkcji   sinus   w   rozpatrywanej  
realizacji   jest   przedział    [-

π  

,  

π

]  niedający   się   zakodować   w   16-bitowym   skalowaniu   Q15. 

Przedział kątów wymaga więc przeskalowania polegającego na podzieleniu wszystkich jego wartości  
przez  

π

. Aby obliczyć wartość funkcji sinus dla przykładowego kąta  0,11

π

, należy jako wartość 

wejściową dla badanych procedur podać liczbę 0,11 w 16-bitowym kodzie uzupełnienia do dwóch  

i skalowaniu Q15.

Przebieg ćwiczenia

Ćwiczenie   polega   na   uruchamianiu   i   testowaniu   działania   gotowego   programu   realizującego 
obydwa opisane powyżej algorytmy obliczania funkcji sinus. Program ten, napisany w asemblerze, 
oraz   całe   środowisko   programistyczne   zostanie   przygotowany   przez   prowadzącego   ćwiczenie. 
W trakcie ćwiczenia należy zdjąć charakterystyki wartości funkcji sinus obliczane przez obydwa 
algorytmy.

Sprawozdanie z ćwiczenia

Sprawozdanie powinno zawierać wykreślone charakterystyki błędów względnych i bezwzględnych 
dla wyników działania obydwu algorytmów. Błędy względne należy obliczać w odniesieniu do 
wartości funkcji sinus obliczonych na kalkulatorze lub w dowolnym programie matematycznym 
zmiennoprzecinkowym, przy czym wartości te należy brać do obliczeń z dokładnością co najmniej 
ośmiu znaczących pozycji dziesiętnych. W sprawozdaniu powinny się również znaleźć wnioski 
i spostrzeżenia dotyczące działania i właściwości użytkowych obydwu procedur.