- 8 -

5.4. ZWI

Ą

ZKI POMI

Ę

DZY NAPI

Ę

CIEM I PR

Ą

DEM

DLA ELEMENTÓW R, L, C

REZYSTOR

Przy przepływie prądu harmonicznego

( )

(

)

i

m

t

I

t

i

Ψ

ω

+

=

sin

(5.17)

przez rezystor o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się napięcie

( )

( )

(

)

(

)

u

m

i

m

t

U

t

I

R

t

i

R

t

u

Ψ

ω

Ψ

ω

+

=

+

=

=

sin

sin

(5.18)

przy czym amplituda przebiegu napięcia

m

m

I

R

U

=

(5.19)

a faza początkowa

i

u

Ψ

Ψ

=

(5.20)

Czyli przesunięcie fazowe

ϕ

między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero:

0

=

−

=

i

u

Ψ

Ψ

ϕ

(5.21)

Napi

ę

cie na

idealnym rezystorze

jest w fazie z pr

ą

dem

0

u t

( )

U

m

ω

t

i t

( ),

Ψ

u

Ψ

i

I

m

- 9 -

W POSTACI SYMBOLICZNEJ

Symboliczna wartość chwilowa prądu

i

j

m

m

t

j

m

e

I

I

e

I

t

i

Ψ

ω

=

=

gdzie

)

(

(5.22)

napięcia

t

j

m

t

j

m

e

U

e

I

R

t

i

R

t

u

ω

ω

=

=

=

)

(

)

(

(5.23)

Zatem

m

m

I

R

U

=

(5.24)

co oznacza, że

I

R

U

=

U

G

I

=

(5.25)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-

czej, otrzymujemy

i

u

j

j

e

I

R

e

U

Ψ

Ψ

=

(5.26)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (5.26) znajdujemy

I

R

U

=

U

G

I

=

(5.27)

a z przyrównania argumentów

i

u

Ψ

Ψ

=

(5.28)

Pomnożenie wskazu I przez R
powoduje wydłużenie tego wska-
zu R razy. Wobec tego wskaz na-
pięcia

I

R

U

=

znajduje się na tej

samej prostej co wskaz I

)

U

I

Ψ

u

=

Ψ

i

Wykres wskazowy rezystora

- 10 -

CEWKA INDUKCYJNA

Przy przepływie prądu w cewce idealnej o indukcyjności L napięcie na

jej zaciskach wyraża zależność (1.21)

( )

( )

dt

t

i

d

L

t

u

=

Przyjmując, że w cewce płynie prąd harmoniczny

( )

(

)

i

m

t

I

t

i

Ψ

ω

+

=

sin

(5.29)

napięcie na cewce wynosi

( )

(

)

u

m

i

m

t

U

t

I

L

t

u

Ψ

ω

π

Ψ

ω

ω

+

=













+

+

=

sin

2

sin

(5.30)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia

m

m

I

L

U

ω

=

(5.31)

natomiast faza początkowa

2

π

Ψ

Ψ

+

=

i

u

(5.32)

Czyli przesunięcie fazowe

ϕ

między przebiegami u(t) i i(t) cewki in-

dukcyjnej wynosi:

2

π

Ψ

Ψ

ϕ

=

−

=

i

u

(5.33)

Napi

ę

cie na zaciskach

idealnej cewki

wyprzedza pr

ą

d

o 90

o

0

u t

( )

,

ω

t

i t

( )

Ψ

i

Ψ

u

π

/2

- 11 -

Dla

cewki indukcyjnej - symboliczna wartość chwilowa prądu

i

j

m

m

t

j

m

e

I

I

e

I

t

i

Ψ

ω

=

=

gdzie

)

(

(5.34)

napięcia

( )

( )

t

j

m

t

j

m

e

U

e

I

L

j

dt

t

i

d

L

t

u

ω

ω

ω

=

=

=

(5.35)

Zatem

m

m

I

L

j

U

ω

=

(5.36)

co oznacza, że

I

L

j

U

ω

=

U

L

j

I

ω

1

=

(5.37)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-

czej, otrzymujemy













+

=

2

π

Ψ

Ψ

ω

i

u

j

j

e

I

L

e

U

(5.38)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (5.38) znajdujemy

I

X

I

L

U

L

=

=

ω

U

B

U

L

I

L

=

=

ω

1

(5.39)

reaktancja indukcyjna

susceptancja indukcyjna

a z przyrównania argumentów

2

π

Ψ

Ψ

+

=

i

u

(5.40)

Pomnożenie wskazu I przez j

ω

L

powoduje wydłużenie wskazu I
i jego obrót o 90

o

„w przód”

2

π

Ψ

Ψ

ϕ

=

−

=

i

u

U

I

Ψ

i

Ψ

u

ϕ π

= /2

- 12 -

KONDENSATOR

Gdy istnieje napięcie u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o po-

jemności C, to prąd płynący przez kondensator opisuje zależność (1.18)

( )

( )

dt

t

u

d

C

t

i

=

Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie

( )

(

)

u

m

t

U

t

u

Ψ

ω

+

=

sin

(5.41)

prąd płynący przez kondensator wynosi

( )

(

)

i

m

u

m

t

I

t

U

C

t

i

Ψ

ω

π

Ψ

ω

ω

+

=













+

+

=

sin

2

sin

(5.42)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu prądu

m

m

U

C

I

ω

=

(5.43)

natomiast faza początkowa

2

π

Ψ

Ψ

+

=

u

i

(5.44)

Zatem przesunięcie fazowe

ϕ

między przebiegami u(t) i i(t) kondensa-

tora wynosi:

2

π

Ψ

Ψ

ϕ

−

=

−

=

i

u

(5.45)

Pr

ą

d płyn

ą

cy przez

idealny kondensator

wyprzedza napi

ę

cie

o 90

o

0

u t

( )

,

ω

t

i t

( )

Ψ

i

Ψ

u

π

/2

- 13 -

Dla kondensatora - symboliczna wartość chwilowa napięcia

i

j

m

m

t

j

m

e

U

U

e

U

t

u

Ψ

ω

=

=

gdzie

)

(

(5.46)

prądu

( )

( )

t

j

m

t

j

m

e

I

e

U

C

j

dt

t

u

d

C

t

i

ω

ω

ω

=

=

=

(5.47)

Zatem

m

m

U

C

j

I

ω

=

(5.48)

co oznacza, że

U

C

j

I

ω

=

I

C

j

U

ω

1

=

(5.49)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-

czej, otrzymujemy













+

=

2

π

Ψ

Ψ

ω

u

i

j

j

e

U

C

e

I

(5.50)

Z przyrównania modułów, znajdujemy

U

B

U

C

I

C

=

=

ω

I

X

I

C

U

C

=

=

ω

1

(5.51)

susceptancja pojemno

ś

ciowa

reaktancja pojemno

ś

ciowa

a z przyrównania argumentów

2

π

Ψ

Ψ

+

=

u

i

(5.52)

Pomnożenie wskazu I przez
1/j

ω

C powoduje wydłużenie

wskazu I i jego obrót o 90

o

„wstecz”

2

π

Ψ

Ψ

ϕ

−

=

−

=

i

u

U

I

Ψ

i

Ψ

u

ϕ π

=- /2

- 14 -

5.5. PODSTAWOWE PRAWA W POSTACI ZESPOLONEJ

Prawo Ohma

Symboliczna warto

ść

skuteczna napi

ę

cia U dwójnika

równa si

ę

iloczynowi impedancji dwójnika Z i warto

ś

ci

skutecznej pr

ą

du I w nim płyn

ą

cego:

I

Z

U

=

(5.53)

Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elektrycz-
ne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.

Podstawiając w (5.53) symboliczne wartości skuteczne w postaci wy-

kładniczej, otrzymujemy

(

)

i

u

i

u

j

j

j

e

I

U

e

I

e

U

I

U

Z

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

−

=

=

=

(5.54)

czyli:

(

)

ϕ

Ψ

Ψ

=

−

=

=

i

u

Z

I

U

Z

arg

,

(5.55)

Zatem

ϕ

j

e

Z

Z

=

X

j

R

Z

+

=

(5.56)

rezystancja

reaktancja

Impedancję Z można przed-
stawić

geometrycznie

na

płaszczyźnie zmiennej zespo-
lonej za pomocą trójkąta
impedancji.

Z

ϕ

Im

Re

R

X

- 15 -

Prawo Ohma można także przedstawić następująco:

Symboliczna warto

ść

skuteczna pr

ą

du I płyn

ą

cego

przez dwójnik równa si

ę

iloczynowi admitancji dwójnika

Y i warto

ś

ci skutecznej napi

ę

cia U na jego zaciskach:

U

Y

I

=

(5.57)

Admitancja (przewodność zespolona – jej jednostką jest simens S) dwój-
nika równa się odwrotności jego impedancji:

Z

Y

1

=

(5.58)

co oznacza, że

ϕ

ϕ

j

j

e

Z

e

Z

Y

−

=

=

1

1

(5.59)

czyli:

ϕ

−

=

=

=

Y

U

I

Z

Y

arg

,

1

(5.60)

Zatem

ϕ

j

e

Y

Y

−

=

B

j

G

Y

+

=

(5.61)

konduktancja

susceptancja

Admitancję Y można przed-
stawić

geometrycznie

na

płaszczyźnie zmiennej zespo-
lonej za pomocą trójkąta
admitancji.

Y

-

ϕ

Im

Re

G

B

- 16 -

I prawo Kirchhoffa - pr

ą

dowe prawo Kirchhoffa (PPK)

Algebraiczna suma symbolicznych warto

ś

ci chwilowych

pr

ą

dów i

n

(t) we wszystkich gał

ę

ziach doł

ą

czonych do jed-

nego, dowolnie wybranego w

ę

zła obwodu jest w ka

ż

dej

chwili czasu równa zeru:

∑

=

=

n

k

k

k

t

t

i

1

0

)

(

λ

Λ

(5.62)

gdzie:

λ

k

=

±

1 („+” jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; „-” jeśli zwrot

jest przeciwny, od węzła)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (5.62a) oraz sym-

bolicznych wartości skutecznych (5.62b) odpowiednich prądów:

∑

=

=

n

k

k

m

k

I

1

0

λ

(5.62a)

∑

=

=

n

k

k

k

I

1

0

λ

(5.62b)

II prawo Kirchhoffa - napi

ę

ciowe prawo Kirchhoffa (NPK)

Algebraiczna suma symbolicznych warto

ś

ci chwilowych

napi

ęć

u

n

(t) na wszystkich elementach, tworz

ą

cych dowol-

nie wybrane oczko obwodu jest w ka

ż

dej chwili czasu rów-

na zeru:

∑

=

=

n

k

k

k

t

t

u

1

0

)

(

ν

Λ

(5.63)

gdzie:

ν

k

=

±

1 („+” jeśli zwrot napicia jest zgodny z przyjętym za dodatni kie-

runkiem obiegu oczka; „-” jeśli jest przeciwny)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (5.63a) oraz sym-

bolicznych wartości skutecznych (5.63b) odpowiednich napięć

∑

=

=

n

k

k

m

k

U

1

0

ν

(5.63a)

∑

=

=

n

k

k

k

U

1

0

ν

(5.63b)

- 17 -

5.6. POŁ

Ą

CZENIA DWÓJNIKÓW

•

Połączenie szeregowe

n dwójników

I

Z

I

Z

I

Z

I

Z

I

Z

U

U

U

U

n

k

k

n

n

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

∑

=

1

2

1

2

1

K

K

(5.64)

∑

=

=

n

k

k

Z

Z

1

(5.65)

•

Połączenie równoległe

n dwójników

U

Y

U

Y

U

Y

U

Y

U

Y

I

I

I

I

n

k

k

n

n

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

∑

=

1

2

1

2

1

K

K

(5.66)

∑

∑

=

=

=

=

n

k

k

n

k

k

Z

Z

Y

Y

1

1

1

1

lub

(5.67)

- 18 -

5.7. POŁ

Ą

CZENIA ELEMENTÓW R, L, C

Obwód szeregowy RLC

R

L

C

Wartość

napięcia na elemencie

impedancji elementu

R

I

R

U

R

=

R

Z

R

=

L

I

jX

I

L

j

U

L

L

=

=

ω

L

L

X

j

L

j

Z

=

=

ω

C

I

jX

I

C

j

I

C

j

U

C

C

−

=

−

=

=

ω

ω

1

1

C

C

X

j

C

j

Z

−

=

−

=

ω

1

Ponieważ

(

)

[

]

(

)

I

jX

R

I

X

X

j

R

I

C

L

j

R

I

Z

U

C

L

+

=

−

+

=

























−

+

=

=

ω

ω

1

(5.68)

Zatem:

(

)

2

2

2

2

2

2

1

X

R

X

X

R

C

L

R

Z

C

L

+

=

−

+

=













−

+

=

ω

ω

(5.69)













=













−

=

























−

=

=

R

X

arctg

R

X

X

arctg

R

C

L

arctg

Z

C

L

ω

ω

ϕ

1

arg

(5.70)

- 19 -

Obwód równoległy RLC

R

L

C

Wartość

prądu w elemencie

admitancji elementu

R

U

G

I

R

=

G

Y

R

=

L

U

B

j

U

L

j

U

L

j

I

L

L

−

=

−

=

=

ω

ω

1

1

L

L

L

X

j

B

j

L

j

Y

1

1

−

=

−

=

−

=

ω

C

U

B

j

U

C

j

I

C

C

=

=

ω

C

C

C

X

j

B

j

C

j

Y

1

=

=

=

ω

Ponieważ

(

)

[

]

(

)

U

jB

G

U

B

B

j

G

U

L

C

j

G

U

Y

I

L

C

+

=

−

+

=

























−

+

=

=

ω

ω

1

(5.71)

Zatem:

(

)

2

2

2

2

2

2

1

B

G

B

B

G

L

C

G

Y

L

C

+

=

−

+

=













−

+

=

ω

ω

(5.72)













=













−

=

























−

=

G

B

arctg

G

B

B

arctg

G

L

C

arctg

Y

L

C

ω

ω

1

arg

(5.73)

- 20 -

5.8. TWIERDZENIE THEVENINA I NORTONA W POSTACI

SYMBOLICZNEJ

Twierdzenie Thevenina

(o zast

ę

pczym

ź

ródle/generatorze napi

ę

ciowym)

Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS mo

ż

na zast

ą

pi

ć

ob-

wodem równowa

ż

nym, zło

ż

onym z szeregowego poł

ą

cze-

nia idealnego

ź

ródła napi

ę

cia o napi

ę

ciu

ź

ródłowym U

0

i

impedancji wewn

ę

trznej Z

W

, przy czym:

- napi

ę

cie

ź

ródłowe U

0

jest równe napi

ę

ciu na rozwartych

zaciskach dwójnika (napi

ę

ciu stanu jałowego U

SJ

)

- impedancja wewn

ę

trzna Z

W

, jest równa impedancji za-

st

ę

pczej (impedancji wej

ś

ciowej Z

AB

) dwójnika pasywne-

go (bez

ź

ródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w

wewn

ę

trznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich

autonomicznych

ź

ródeł energii.

DA

A

B

A

B

A

B

DA

A

B

DP

Wyznaczenie: oraz

- 21 -

Twierdzenie Nortona

(o zast

ę

pczym

ź

ródle/generatorze pr

ą

dowym)

Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS mo

ż

na zast

ą

pi

ć

ob-

wodem równowa

ż

nym, zło

ż

onym z równoległego poł

ą

cze-

nia idealnego

ź

ródła pr

ą

du o pr

ą

dzie

ź

ródłowym I

Z

i admi-

tancji wewn

ę

trznej Y

W

, przy czym:

- pr

ą

d

ź

ródłowy I

Z

jest równy pr

ą

dowi płyn

ą

cemu przez

zwarte zaciski dwójnika (pr

ą

dowi stanu zwarcia I

SZ

)

- admitancja wewn

ę

trzna Y

W

, jest równa admitancji za-

st

ę

pczej (admitancji wej

ś

ciowej Y

AB

) dwójnika pasywne-

go (bez

ź

ródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w

wewn

ę

trznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich

autonomicznych

ź

ródeł energii.

DA

A

B

A

B

DA

A

B

DP

Wyznaczenie: oraz

A

B

- 22 -

5.9. MOC W OBWODACH PR

Ą

DU HARMONICZNEGO

Jeśli na zaciskach układu klasy SLS występuje wymuszenie harmo-

niczne napięciowe, to prąd zmienia się również sinusoidalnie z tą samą
pulsacją

( )

(

)

u

m

t

U

t

u

Ψ

ω

+

=

sin

( )

(

)

i

m

t

I

t

i

Ψ

ω

+

=

sin

Moc chwilowa pobierana przez analizowany układ wyniesie zatem

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

i

m

u

m

t

I

t

U

t

i

t

u

t

p

Ψ

ω

Ψ

ω

+

+

=

=

sin

sin

(5.74)

Na podstawie tożsamości

(

)

(

)

β

α

β

α

β

α

+

−

−

=

cos

cos

sin

sin

2

powyż-

szą zależność zapiszemy w postaci

( )

(

)

(

)

i

u

m

m

i

u

m

m

t

I

U

I

U

t

p

Ψ

Ψ

ω

Ψ

Ψ

+

+

−

−

=

2

cos

2

cos

2

(5.75)

a ponieważ

I

U

I

U

I

U

m

m

m

m

=

=

2

2

2

oraz

i

u

Ψ

Ψ

ϕ

−

=

ostatecznie otrzymamy

( )

(

)

i

u

t

I

U

I

U

t

p

Ψ

Ψ

ω

ϕ

+

+

−

=

2

cos

cos

(5.76)

u t

( )

ω

t

i t

( )

p t

( )

ω

t

p t

( )

1

2

- 23 -

Wartość średnią mocy p(t) można określić, uwzględniając jej okreso-

wość, jako

( )

∫

+

=

T

t

t

sr

dt

t

p

T

P

0

0

1

(5.77)

Tę wartość średnią w obwodach prądu harmonicznego nazywamy

MOC

Ą

CZYNN

Ą

i oznaczamy P

ϕ

cos

I

U

P

=

[W]

(5.78)

W obwodach prądu harmonicznego iloczyn wartości skutecznych napięcia
i prądu nazywamy

MOC

Ą

POZORN

Ą

i oznaczamy przez S

I

U

S

=

[VA]

(5.79)

Istnieje ponadto pojęcie

MOCY BIERNEJ

oznaczanej symbolem Q

( ) (

)

ϕ

ϕ

ϕ

sin

cos

1

cos

2

2

2

2

2

UI

UI

UI

UI

P

S

Q

=

−

=

−

=

−

=

[var]

(5.80)

- 24 -

ZESPOLON

Ą

MOC

Ą

POZORN

Ą

nazywamy wielkość

*

I

U

S

=

(5.81)

Podstawiając

u

j

e

U

U

Ψ

=

oraz

i

j

e

I

I

Ψ

−

=

*

otrzymujemy

(

)

(

)

ϕ

ϕ

ϕ

Ψ

Ψ

sin

cos

j

I

U

e

I

U

e

I

U

S

j

j

i

u

+

=

=

=

−

(5.82)

Część rzeczywista zespolonej mocy pozornej jest równa mocy czynnej

P, a

część urojona mocy biernej

Q układu, czyli:

[ ]

[ ]









=

=

=

=

S

I

U

Q

S

I

U

P

Im

sin

Re

cos

ϕ

ϕ

(5.83)

Wobec tego zespoloną moc pozorną można przedstawić w postaci:

Q

j

P

S

+

=

(5.84)

Moduł zespolonej mocy pozornej

I

U

Q

P

S

=

+

=

2

2

(5.85)

jest równy mocy pozornej układu

a argument zespolonej mocy pozornej

ϕ

=

S

arg

(5.86)

kątowi przesunięcia fazowego między napięciem i prądem

Zespoloną moc pozorną S moż-
na przedstawić geometrycznie
na płaszczyźnie zmiennej zespo-
lonej za pomocą

trójkąta mocy.

S

ϕ

Im

Re

P

Q

- 25 -

Wyrazimy

zespolon

ą

moc pozorn

ą

w zale

ż

no

ś

ci od impe-

dancji

Z dwójnika.

Na podstawie prawa Ohma mamy:

I

Z

U

=

czyli

*

*

I

I

Z

I

U

S

=

=

wobec czego

(

)

2

2

I

X

j

R

I

Z

S

+

=

=

(5.87)

Moc czynna i bierna wynoszą zatem

[ ]

[ ]

2

2

Im

,

Re

I

X

S

Q

I

R

S

P

=

=

=

=

(5.88)

a moc pozorna jest równa

2

2

2

I

Z

Q

P

S

=

+

=

(5.89)

Natomiast

zespolona moc pozorna w zale

ż

no

ś

ci od admitan-

cji

Y dwójnika.

Na podstawie prawa Ohma mamy:

U

Y

I

=

Wartość sprzężoną I

*

otrzymamy zastępując wszystkie wielkości występu-

jące w tym wzorze przez wielkości sprzężone.

Zatem

*

*

*

U

Y

U

I

U

S

=

=

wobec czego

(

)

2

2

*

U

B

j

G

U

Y

S

−

=

=

(5.90)

Moc czynna i bierna wynoszą zatem

[ ]

[ ]

2

2

Im

,

Re

U

B

S

Q

U

G

S

P

−

=

=

=

=

(5.91)

a moc pozorna jest równa

2

2

2

U

Y

Q

P

S

=

+

=

(5.92)

- 26 -

5.10. DOPASOWANIE OBCI

Ą

ZENIA DO

Ź

RÓDŁA

Dopasowanie obciążenia do źródła przebiegu harmonicznego może

dotyczyć mocy czynnej lub mocy pozornej.

Warunkiem dopasowania pod względem:

•

Mocy czynnej jest równość

*

w

dP

Z

Z

=

(5.93)

gdzie: Z

dP

- impedancja obciążenia w warunkach dopasowania,

Z

w

* - sprzężona wartość impedancja wewnętrznej źródła.

Wówczas

w

w

o

Z

U

P

ϕ

cos

4

2

max

=

(5.94)

•

Mocy pozornej są równości

w

dS

Z

Z

=

(5.95a)

(

)

(

)












=

±

−

∈

+

∈

−

=

0

2

2

,

0

2

2

,

0

2

w

w

w

dS

dla

dla

dla

ϕ

π

π

ϕ

π

π

ϕ

π

ϕ

(5.95b)

- 27 -

(

)

w

X

X

R

R

R

U

P

X

R

P

w

w

4

,

2

max

=

=

−

=

=