Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
...
08
,
1
1
,
1
6
1
,
1
5
1
,
1
4
1
,
1
3
1
,
1
1
...
3
2
...
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
1
R
v
v
R
v
v
R
ZauwaŜmy, Ŝe:
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
5
1
,
1
1
2
5
2
5
2
5
2
4
2
3
2
2
2
....
08
,
1
1
,
1
7
08
,
1
1
,
1
6
1
,
1
5
1
,
1
4
1
,
1
3
1
,
1
2
1
,
1
1
B
A
OD
+
+
+
+
+
+
+
=
[
]
10%
stopie
przy
1
25
2
25
5
...
2
2
25
)
1
5
2
(
...
)
1
2
2
(
)
1
(
5
...
3
2
...
6
1
,
0
;
5
1
,
0
;
5
6
5
5
2
6
5
2
6
2
4
2
3
2
2
v
v
a
Ia
A
v
a
v
v
v
v
v
v
v
v
A
v
v
v
v
Av
A
−
−
−
=
−
−
+
+
+
=
−
−
⋅
+
+
−
⋅
+
=
−
+
+
+
+
=
=
[
]
0,08
stopie
...
1
5
2
25
...
...
7
6
2
24
...
)
1
8
2
(
)
1
7
2
(
6
)
1
(
...
7
6
...
7
6
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
przy
B
a
v
a
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
B
v
v
Bv
v
v
B
=
→
−
úû
ù
êë
é
−
−
+
=
=
−
−
−
+
+
+
=
+
−
⋅
+
−
⋅
+
=
−
+
+
=
+
+
=
∞
∞
bo:
∞
+
=
+
+
+
=
−
+
+
=
+
+
=
a
v
v
v
v
v
N
v
v
Nv
v
v
N
5
...
6
)
1
(
...
7
6
...
7
6
3
2
3
2
2
4000
15
,
1
1
≈
+
=
B
A
OD
Zadanie 2
300
var
60
)
90
;
30
(
~
1
50
1
=
=
−
=
X
EX
J
X
X
Y
1
10
)
0
;
50
max(
2
−
−
=
X
Y
(
)
(
)
ò
+
+
=
+
=
>
=
≤
−
=
≤
=
=
−
t
t
t
X
P
X
P
X
P
50
50
60
3
1
60
1
3
1
0
t
dla
)
0
;
50
max(
3
1
)
50
(
0
)
0
;
50
max(
ò
ò
=
−
=
→
=
=
=
=
40
0
2
2
40
0
9
1600
9
1600
9
3200
var(max)
9
3200
60
(max)
3
40
60
(max)
x
E
X
E
5
,
14
12
100
9
16
9
16
100
1
9
1600
2
var
12
,
0
2500
300
)
1
var(
≈
=
→
=
=
=
=
ODP
Y
Y
Zadanie 3
Dolna liczba oznacza warto
ść
opcji, górna dochód z wcze
ś
niejszego wykonania, obok warto
ść
jako max.
)
1
;
10
max(
)
1
(
1
,
1
4
4
,
0
22
6
,
0
1
P
W
P
=
⋅
+
⋅
=
)
2
;
0
max(
)
2
(
1
,
1
9
6
,
0
2
P
W
P
=
⋅
=
1
,
9
1
,
1
)
2
(
4
,
0
)
1
(
6
,
0
≈
+
=
W
W
C
Zadanie 4
A - depozyt
B - WWW
C - ZZZ
A+B+C=1000000
1. je
ś
li który
ś
indeks maleje 1,12A>=1000000
mo
Ŝ
na przyj
ą
c,
Ŝ
e
2
1
,
1
1000000
=
A
bo dla wy
Ŝ
szych wzrostów bardziej zale
Ŝ
y od indeksów
Zał.
ś
e B,C>=0 bo inaczej mo
Ŝ
liwa nieograniczona strata
2.
)
2500
)
(
(
2000
)
2000
)
(
(
280
)
25000
)
(
(
40
2000
2000
)
(
25000
25000
)
(
−
+
−
≤
−
−
≤
−
z
ind
C
w
ind
B
z
ind
k
w
ind
z
ind
3.
)
25000
)
(
(
2000
)
2000
)
(
(
280
)
2000
)
(
(
500
2000
2000
)
(
25000
25000
)
(
−
+
−
≤
−
−
≥
−
z
ind
C
w
ind
B
w
ind
k
w
ind
z
ind
prawe strony s
ą
minimalne gdy wzrosty procentowe indeksów s
ą
równe, st
ą
d po podstawieniu
za w z odpowiednio:
2.
)
12
,
1
1
1
(
1000000
80000
7
4
80000
140000
−
+
−
=
+
−
≥
→
+
≤
B
C
i
k
B
C
C
B
k
3.
30000
140000
C
B
k
+
≤
je
Ŝ
eli 2 spełniona to i 3 spełnione
wi
ę
c wystarczy:
musi le
Ŝ
e
ć
na prostej
Szukamy maksymalnego k by istniały B i C tzn. takiego k by proste przecinały si
ę
w
(0;1000000(1-1/1,12), st
ą
d
32
,
1
80000
)
12
,
1
1
1
(
1000000
≈
→
=
−
k
k
Zadanie 5
1) TAK:
)
;
max(
P
U
k
C
−
=
U - ilo
ść
akcji
k-kurs
mniejsza szansa,
Ŝ
e P b
ę
dzie max
2) NIE:
Pytanie sprowadza si
ę
do pytania; czy gdy
ρ
ro
ś
nie czy z tego wynika,
Ŝ
e P(X+Y>0) ro
ś
nie
Kontrprzykład: P(X+Y>0)>0 i zwi
ę
kszamy
ρ
do 1 tak,
Ŝ
e X=-Y i wtedy P(X+Y>0)=0
3) TAK:
Z ogólnych własno
ś
ci - duration wła
ś
nie zabezpiecza w ten sposób
4) TAK
)
,
var(
))
,
var(min(
var
var
var
var
1
1
1
1
Y
X
Y
X
Y
Y
X
X
<
<
<
var cało
ś
ci wzrasta, z tego wynika,
Ŝ
e je
Ŝ
eli wariancja wzrasta to cena wzrasta (teoria)
Zadanie 6
06
,
0
;
10
3
08
,
0
;
10
2
08
,
0
;
30
2
1
,
0
;
20
1
1
,
0
;
30
1
1000000
:
a
R
a
R
a
R
a
R
a
R
X
=
=
=
06
,
0
;
10
08
,
0
;
10
08
,
0
;
20
1
,
0
;
20
1
3
08
,
0
;
20
1
,
0
;
20
1
2
1
,
0
;
30
1
1000000
a
a
a
a
R
R
a
a
R
R
a
R
=
=
=
?
5
10
5
:
3
2
1
=
+
+
R
R
R
X
(iii)
TAK
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
=
+
−
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
=
−
=
−
=
=
+
=
−
+
=
+
−
−
−
−
−
−
−
ò
ò
ò
1
ln
)
1
(
)
(
ln
ln
ln
1
ln
1
1
1
1
1
1
ln
)
1
(
1
)
1
(
2
2
2
2
))
(
exp(
)
exp(
))
(
exp(
)
exp(
0
n
t
n
n
n
n
t
n
n
n
n
t
n
t
n
t
n
t
n
n
t
n
n
t
n
n
x
n
t
x
n
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
w
w
w
w
dw
w
w
dw
w
dx
w
n
x
w
i
dx
i
L
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
L
P
i
ln
tego
z
1
1
1
1
=
→
−
−
=
−
−
−
−
=
n
t
n
n
t
n
e
e
e
e
e
e
P
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Zadanie 9
}
{
å
å
−
+
−
+
=
Y
t
t
n
t
X
t
t
v
t
tv
n
v
t
v
t
n
2
1
3
2
)
1
(
)
1
(
lim
dzielimy licznik i mianownik przez n+1 i wtedy X i Y d
ąŜą
do zera.
Granica =
6
,
29
1
1
1
2
1
1
2
≈
−
+
=
−
−
=
∞
∞
∞
∞
=
∞
=
å
å
v
v
Ia
v
a
Ia
tv
v
t
t
t
t
t
Bo wyliczenia pomocnicze:
v
a
Ia
a
v
v
v
v
v
I
v
v
Iv
v
v
I
−
−
=
−
+
+
=
+
−
⋅
+
=
−
+
+
=
+
+
=
∞
∞
∞
1
2
...)
2
(
2
...
)
1
2
2
(
1
)
1
(
...
2
1
...
2
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
Zadanie 10
f jest odwzorowaniem liniowym (ci
ą
gła bo
t
δ
ci
ą
głe)
Z tego wynika:
f(0)=1, f(1)=2
t
t
+
=
→
1
1
δ
ò
ò
ò
ò
+
=
+
=
+
=
+
−
=
+
−
=
n
t
n
n
n
n
n
t
dt
t
dt
t
dt
ds
s
a
0
0
0
0
0
)
1
ln(
)
1
ln(
1
1
))
1
ln(
exp(
)
1
1
exp(
