Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
v
2
v
∞
−
n
2
2
k
2
k
1
( − v)
1 − v
å k v
å k v
=1
=1
1 −
1 + v
k
v
durIa
k
=
→
=
=
n
Ia
Ia
v
∞
1 − v
n
1
( − v)2
I = 12 v + 22 v 2 + ...
Iv = 12 v 2 + 22 v 3 + ...
2
2
2 v
v
I 1
( − v) = 1 v + (2 ⋅ 2 − ) 1 v + ... = 2 Ia∞ − a∞ =
−
1
( − v)2
1 − v
Ia + Da = ( n + ) 1 a → Da = ( n + ) 1 a − Ia
n
n
n
n
n
n
n
2
k
( n + )
1 Ia − å k v
n
k
durD =
=1
dzielimy licznik i mianownik przez (1+n) i mamy ( n + )
1 a − Ia
n
n
.....
Ia −
n
Ia
v
1
∞
− v
1
n →
=
=
....
a
1
(
∞
− v)2 v
1 − v
a −
n
n
1 + v
1
ODP :
:
= 1+ v ≈ 9
,
1
1 − v 1 − v
Zadanie 2
L = Pan
a)å
k
n− j +
P 1
( − v
1 ) = X P 1
(
n−
1
+
−
j
v
)
j =1
b)å
k
P 1
( − j
v ) = Y
j =1
(i)
TAK
k
k
X = Y ⇔ å vn− j+1 = å v j ⇔ vn− k a = a ⇔ vn− k = 1 ⇔ i =
0 l
u
b n
= k
k
k
j =1
j =1
TAK
n
n
Y
Y
Y
Y
1 − v
Y 1
( − v )
P =
=
→ L =
a =
=
k
n
k
k
−
−
1 −
−1+
j
k
a
k
a
v
i
ik
v
k
k
å 1(− v )
k −
j =1
i
(iii)
TAK
Y
X
PK −
P =
i P =
→ a =
Y → =
X
P
→
k − a
k − n−
v k a
k
P
n− k PK −
k
k
k −
Y
v
P
n− k
PK −
→ v
=
X → ( n − k)( δ
æ PK − X ö
− ) = lnç
÷ → δ
PK − Y
è PK − Y ø
Zadanie 3
ODP
ò4,5 C( t)ex çæ
=
4,5
4,5
4,5
5
,
5
p
δ ds dt exp
δ ds
1
(
t) ln 1
(
t)
dt
5
,
5
s
s
0
è ò
ö
æ
÷ +
t
ø
è ò
÷ö
ç
=
0
ø ò
+
+
+
=
0
1 + t
= 5
,
5 ò4,5ln 1
( + t) + 5
,
5
0
u = ln 1
( + t
) v
′ = 1
òln 1(+
1
t) =
1
= t ln 1
( + t) − ò1−
dt = ln 1
( + t) 1
( + t) −
u′
t
=
v
= t
1 + t
1 + t
ODP =
[5
,
5
5
,
5 ln 5
,
5 −
]5
,
4
+ 5
,
5
≈ 32 5
,
Zadanie 4
(i)
NIE
L = 1 + 1
( + i) + ... + 1
( + i) n 1
−
P = 1 + 1 + i + 1 + 2 i + ... + 1
( + ni)
(ii)
TAK
duration przy i
>0
å4
6
4
7 8
tk
tk
k
c v t
c v k
c v k
k
k
å t
å c v
k
t
å ck
å t
TEORIA ale t - duration przy i=0% →
>
→ v < v
<
k
c
nd
å
c
tk
v
å c
c
k
å
k
k
(iii)
TAK
TEORIA - twierdzenie
100000 = R a
1
50;0 1
,
R a
= R a
1
2
40;0 1
,
30;0 1
, 2
40
I =
å
50− k +
R 1
(
v
)
1
−
1
0 1
,
k =12( parz)
30
II =
å
30− k +
R 1
(
v
)
2
−
1
0 1
, 2
k =2( parz )
ODP=II-I
30
é
æ 1
1
1 öù
é
1 − v ù
11
I = R 1
ê 5 −
+
+ ...
çç
+
÷÷ú = R 1
ê 5 − v
ú
1
39
37
11
1
2
è 1
,
1
1
,
1
1
,
1
ë
øû
ë
1 − v û 0 1,
30
é
æ 1
1
1 öù
é
1 − v ù
II = R 1
ê 5 −
+
+ ...
çç
+
÷÷ú = R 1
ê 5 − v
ú
2
29
27
1
2
2
ë
è 1
,
1 2
1
,
1 2
1
,
1 2 øû
ë
1 − v û 0 1,2
Zadanie 6
np = λ → 100 ⋅ 0
,
0 2 = 2 = λ
2 k
P( l = k)
−2
=
e
k!
l l
-
iczba b
ankructw
−
−
−
æ
−
− ö
æ
−
− ö
2
2
2
4
2
2
2
4
2
4
E( WYP) = 130( e
+ 2 e + 2 e ) +100ç e + e ÷ + 90
2
ç
e
+
e
÷ +
è 3
3
ø
è15
45
ø
æ
−
−
−
−
−
−
− ö
E WYP
2
2
2
4
2
2
2
4
2
4
2
(
)
+ 50ç1− e − 2 e − 2 e − e − e −
e
−
e
÷ → CENA =
≈ 10 ,
8 72
è
3
3
15
45
ø
1
,
1
po jednym bankructwie
130 gdy 0,1 w 99 próbach
100 2,3
90
4,5 99 ⋅ 0
,
0 2 = 9
,
1 8 = λ
1
50
>5
E
E (
2 WYP) = 13 (
0 −
WYP
,
1 98
e
+ 9
,
1 8 − ,198
e
)
(
2
)
+ ..... itd =→ CEN 2
A =
≈ 100
1
,
1
é
CENA 2 ù
ODP = 1 −
100 ≈ 7,75%
ê
ú
ë
CENA û
Cena wykonania
50
60
70
Cena call
7,8(a)
3,9(c)
1,8(e)
Cena put
4,1(b)
9,4(d)
16,5(f)
1. b(50-x)+d(60-x)+f(70-x)=20
2. a(x-50)+d(60-x)+f(70-x)=120-2x 3. a(x-50)+c(x-60)+f(70-x)=4x-240
4. a(x-50)+c(x-60)+e(x-70)=6x-380
Z tego 8 równań porównujemy przy x i wyrazy wolne i otrzymujemy: a- dowolne
b=-a-2
c=4-2a
d=2+2a
e=a+2
f=-a
CENA=7,8a+4,1(-a-2)+3,9(4-2a)+9,4(2+2a)+1,8(a+2)-16,5a=29,8
Zadanie 8
X ~ J 1
( 0 3
; 0
) X ∈ 1
( 0 3
; 0)
C ~ J ( ,
0 6 X ,
1
; 6 X )
2
,
1 6
20
20
200
E O
( Pzarok)
ò C −
=
X
= C
dC
−
,
1 6 X
C
,
1 28
32
20
=
X −
+
20
X
2 X
X
X
200
,
1 28 X − 32 + X
CENA =
1
,
1
Pomoc: 20>0,6X bo inaczej X>33,33.. a to niemoŜliwe Jeśli 20>1,6X to całka ujemna i tu by nie wyszło, to obejmują wyliczenia
,
1 28 2
x − 3 ,
6 4 x + 200
3 ,
6 4 + 300 9
, 6
CENA − 4 > 0 →
> 0 → x =
b
o x < 10
1
x
2 ⋅ ,
1 28
2
E( WYP = 1
)
ò30é ,128
32
200
ù
ê
X −
+
− 4ú = A
1
20 x ë 1
,
1
1
,
1
1
,
1 X
û
= A
ODP
≈ 5
,
1 5
1
,
1
R = v + 1
( + )
1 2
v + 1
( + 2 ⋅ )
1 3
v + 1
( + 3 ⋅ )
1 4
v + 1
( + 4 ⋅ )
1 5
v + 1
( + 5 ⋅ )
1 6
v + 1
( + 6 ⋅ )
1 7
v + 1
( + 7 ⋅ )
1 8
v +
1
+ 1
( + 8 ⋅ )
1 9
v + 1
( + 9 ⋅ )
1 10
v
+ ...
3
R = v + 1
( + )
3 4
v + 1
( + 2 ⋅ )
3 5
v + 1
( + 3 ⋅ )
3 6
v + 1
( + 4 ⋅ )
3 7
v + 1
( + 5 ⋅ )
3 8
v + 1
( + 6 ⋅ )
3 9
v + 1
( + 7 ⋅ )
3 10
v
+ ...
3
5
R = v + 1
( + )
5 6
v + 1
( + 2 ⋅ )
5 7
v + 1
( + 3 ⋅ )
5 8
v + 1
( + 4 ⋅ )
5 9
v + 1
( + 5 ⋅ )
5 10
v
+ ....
5
7
R = v + 1
( + 7) 8
v + 1
( + 2 ⋅ 7) 9
v + 1
( + 3 ⋅ 7) 10
v
+ ...
7
9
R = v + 1
( + 9) 10
v
+ 1
( + 2 ⋅ 9) 11
v + ...
9
Pomoc:
I = 11 v + 13 3
v + ...
2
Iv = 11 3
v + ...
I 1
(
2
− v ) = 11 v + 2 3
v + 2 5
v + ...
gdy stopa jednolita to:
k −
R
1
k = v
[ a +
∞
kvIa∞ ]
1
1
é
k
ù
dla k=11,13,... R
k =
a
a
10
k −11 ê
∞;0 1
,
+
∞;0 1
, ú
0
,
1 5
1
,
1
ë
1
,
1
û
3
2 v
+11 v
13
2
1
1
1
1 − v
S = å R =
a∞
+
Ia
1
k
10
10
∞;0 1
,
2
=
−
k
0
,
1 5
1
11
0
,
1 5
1 v
1 −
2
1
,
1
dla k=1,3,5,9 trochę gorzej
1
é
1
ù
1
R
k =
k
ê a
+
kIa
k
k
ú +
1 + k 1
( 0 − k) a
+ kIa
1
−
11− ;0,05
10− ;0,05
10
([
) ∞;01,
∞;0 1
, ]
0
,
1 5
ë
0
,
1 5
û
0
,
1 5
na piechotę liczymy:
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S = v + 2 v + 4 v + 8 v + 13 v + 22 v + 32 v + 48 v + 75 v + 90 v +
2
1
+
90 a
+ 25 Ia
10 [
∞;0 1
,
∞;0 1
, ]
0
,
1 5
S + S ≈ 9728
1
2
X - udział poŜyczki
0,1X=(1-X)a
a- udział akcji
f - udział funduszu ale tak, Ŝe a+f=1
cov( r , r )
A
f
= 5
,
0 ⋅ ,
1 6 = 8
,
0
X 1
( + r ) + a 1
( − X ) 1
( + r ) + f 1
( − X ) 1
( + r ) = 1 + r
p
A
f
Z tego wyliczamy r i liczymy wariancję którą minimalizujemy: Minimalizujemy: 1
,
0 2 2
x
5
,
2 6 + 1
( − 1
,
1 x)2 + 2 ⋅ 1
,
0 x 1
( − 1
,
1 x) 8
,
0
500000 ⋅ x
= Ra
min
5;0,07
ODP = R 1
(
3
− v ) ≈ 21000