STATYSTYKA - wykład I

Statystyka obejmuje metody zbierania, prezentacji i analizy danych dotyczących zjawisk masowych.

Zadaniem statystyki jest badanie prawidłowości zachodzących w zjawiskach masowych na podstawie badań.

Każde badanie statystyczne składa się z następujących etapów:

1. Planowanie badania

2. Obserwacja statystyczna

3. Opracowanie i prezentacja zebranego materiału statystycznego

4. Opis i wnioskowanie statystyczne

Ad. 1. Planowanie badania

Na tym etapie należy określić:

• Cel

• Przedmiot

• Zakres badania

Przedmiotem badania jest populacja generalna (zbiorowość statystyczna).

Populacją generalną nazywamy zbiór przedmiotów bądź osób posiadających wiele cech wspólnych oraz przynajmniej jedną cechę pozwalającą na rozdzielenie elementów tego zbioru pomiędzy sobą.

Jednostką statystyczną nazywamy dowolny element populacji generalnej.

Przykłady:

1. Prowadzenie obserwacji gospodarstw domowych K-ce za I półrocze 2006; celem jest ustalenie kondycji finansowej badanych gospodarstw

2. Prowadzimy badania studentów GWSH, interesuje nas poziom znajomości j.obcych badanie dotyczy studentów semestru letniego 2005/06

Zakres badania:

Wszystkie badania ze wzgl. na zakres dzielimy na:

1. badania pełne - badaniu podlega cała populacja (rejestracje, spisy - ogromne koszty)

2. badania częściowe - badaniu podlega wybrana część populacji, którą nazywamy próbą statystyczną

Spis - populację mamy określoną, przebadać należy każda jednostkę. Ustalamy datę, czas trwania spisu, zatrudniamy komisarzy spisowych (np. spisy ludności, ostatni 2002 r.)

Rejestracja - prowadzą urzędy, są to koszty stałe, ponoszone przez państwo

(np. rejestracja urodzeń, małżeństw)

Sposób losowania próby statystycznej, są dwa podstawowe podejścia:

1. dobór celowy (konkretne osoby) i opis tych jednostek, nazywane jest badaniem monograficznym

2. dobór losowy:

• losowanie indywidualne

• losowanie zespołowe

• losowanie warstwowe

Badanie reprezentacyjne to takie badanie, w którym struktura jednostek statystycznych w próbie odzwierciedla strukturę populacji.

Obserwacja statystyczna

Ustalamy

2. cechy statystyczne

3. skale statystyczne

4. rodzaje ankiety

5. kontrola zebranego materiału

6. opracowanie i prezentacja

ad. I. Podział cech statystycznych:

1. cechy stałe - cechy, które nie podlegają badaniu, służą identyfikacji jednostki statystycznej z populacją generalną:

• rzeczowe (co? bądź kto?)

• czasowe (kiedy?)

• przestrzenne (gdzie?)

2. cechy zmienne - cechy, które podlegają badaniu:

• jakościowe - których wartości nie wyrażamy liczbowo np. płeć, wykształcenie

• ilościowe - wartości wyrażamy liczbowo np. wiek

• skokowe - wartości na zbiorze dyskretnym (zbiór liczb naturalnych)

• ciągłe - wartości z pewnego przedziału np. ceny z zł

ad. II. Skale statystyczne

Rodzaje:

1. NOMINALNA Dla cech jakościowych, przeprowadzamy klasyfikację obserwowanych wartości badanej cechy, np. kolor oczu

• Klasyfikacja: kolor, płeć

PORZĄDKOWA Stosujemy dla cech jakościowych i ilościowych, służy:

• Klasyfikacji i uporządkowaniu wartości badanej cechy np. miejsce zamieszkania, porządek alfabetyczny, odległość od danego miejsca.

• PRZEDZIAŁOWA (interwałowa) Dotyczy cech ilościowych. Przedziały mają ustaloną długość. Brak stałego zera, np. skale temperaturowe

• STOSUNKOWA (proporcjonalna) lub ILORAZOWA Dotyczy cech ilościowych i przedziały mają ustaloną długość, zero jest absolutne i ma takie znaczenie jak w zbiorze liczb.

ad. III. Rodzaje ankiety

W ankiecie musi być wyróżniona część pytań dotyczących cech stałych i zmiennych

Rodzaje pytań:

- zamknięte (a, b, c)

- otwarte (wpisz odpowiedź)

ad. IV. Rodzaje kontroli:

1. Formalna - dotyczy odpowiedzi na pytania o cechy stałe

2. Merytoryczna - dotyczy odpowiedzi na pytania o cechy zmienne

ad. V. Opracowanie i prezentacja

Trzy formy prezentacji:

1. szeregi statystyczne

2. tabele

3. wykresy

Podział szeregów statystycznych:

1. szczegółowe - wyliczające

2. rozdzielcze - strukturalne

dla cechy mierzalnej ilościowej:

- punktowe

- przedziałowe

dla cechy niemierzalnej jakościowej

3. przestrzenne

4. czasowe:

• szeregi momentów

• szeregi okresów

Ilustracje

• szereg szczegółowy wyliczający : 25, 34, 45, 24, 34, 25, 45 (czas dojazdu w min.)

symbol: liczba elementów w grupie n, N

n = 7 (siedem obserwacji)

Jeśli próby są duże, obserwacje się powtarzają budujemy szeregi rozdzielcze.

Rozdzielamy informacje o wartościach w próbie z informacją o tym ile razy ta wartość się powtarza.

Szereg rozdzielczy punktowy




x i	n i
5	3
34	2
45	2


x _i - ciąg wartości (wartości obserwowanej cechy)

n _i - liczebności z jaką występują badane wartości

n ₁ + n ₂ + n ₃ = 7

Szereg rozdzielczy przedziałowy




< x i x i+1 >	n i
4-6 6-8 8-10 10-12	12 10 8 6
	36





Podział na przedziały nazywamy AGREGACJĄ INFORMACJI

Szereg czasowy okresów




t i	y i
1998 1990 2000 2001 2002	24 25 23 22 23

szereg rozdzielczy szereg czasowy





n _i y _i



x _i t _i

Tabele

Tabela statystyczne to więcej niż 1 szereg statystyczny

Wykresy

Poza układem współrzędnych:

- diagram, - wykres słupkowy





w układzie współrzędnych:

- histogram,

- wielobok liczebności

- krzywa liczebności.

Opis i wnioskowanie statystyczne

Opis statystyczny to wykonanie analiz wartości badanych cech obserwowanych w próbie.

1. analiza struktury zbiorowości

2. analiza współzależności badanych cech

3. analiza zmian badanych zjawisk w czasie rzeczywistym

Wnioskowanie statystyczne to metody opisu populacji z wykorzystaniem przeprowadzonych analiz w próbie oraz rachunku prawdopodobieństwa.

Parametry statystyczne są to liczby służące do opisu zbiorowości statystycznej. Stosowane w analizach parametry dzielimy na:

• MIARY PRZECIĘTNE

• MIARY ZMIENNOŚCI

• MIARY ASYMETRII

• MIARY KONCENTRACJI

MIARY PRZECIĘTNE

Miary poziomu przeciętnego:

1. Klasyczne

3 średnie:

• Arytmetyczna

• Geometryczna

• Harmoniczna

• Pozycyjne

• Dominanta (moda)

• Kwantyle

• Kwartyl pierwszy

• Mediana

• Kwartyl trzeci




ŚREDNIA ARYTMETYCZNA x




n - wielkość próby

x ₁ - wielkość próby




23, 34, 45, 23, 34, 23, 45

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA WAŻONA - w szeregu rozdzielczym punktowym




n - suma liczebności n₁

k - liczba wartości cechy w szeregu


- liczebność i-tej wartości cechy

x i	n i
23 34 45	3 2 2





ŚREDNIA ARYTMETYCZNA WAŻONA - w szeregu rozdzielczym przedziałowym







Przedział (środek przedziału)




n - suma liczebności


k - liczebność klas (wierszy) w szeregu (przedziale)



- środek i-tego przedziału


- liczebność i-tego tego przedziału

<x i x i +1)	n i
4-6 6-8 8-10 10-12	12 10 18 6

Własności średniej arytmetycznej:

1. 
   Jest wypadkową wartości wszystkich obserwacji z próby

2. Suma odchyleń wartości cechy od średniej jest równa zero:

3. Powiększenie wszystkich wartości w próbie o pewną stałą powiększy średnią arytmetyczną o tę wielkość stałą

4. Suma wartości zmiennej równa jest iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności próby

5. Na poziom średniej silny wpływ mają wartości ekstremalne (największa, najmniejsza).

Szereg rozdzielczy punktowy

x i	w 1
4	0,4
5 6 7	0,2 0,1 0,3
	1


w ₁ - częstość względna

Obliczamy następująco: (zawsze licz.większa)

w ₁ (zawsze ułamki)

D = 4 (4 różne obserwacje)




n=?

k=

40% obserwacji miało wartość 4


20% -\\- 5

10% -\\- 6

30% -\\- 7

a(b+c) = ab+ac

DOMINANTA (miara pozycyjna) Jest to wartość cechy, która występuje w danej próbie najczęściej


23, 34, 45, 23, 34, 23, 45 D = 23

Dominanta w szeregu rozdzielczym przedziałowym:

• Wskazujemy przedział gdzie jest najwięcej elementów w badanej próbie, gdzie jest dominanta

• Wyznaczamy wartość dominanty, wykorzystujemy wzór:




Zad. Wyznaczyć dominujący czas eksploatacji maszyn:

Czas [godz]	Liczba maszyn	N cum	wi
<0,2) <2,4) <4,6) <6,8) <8,10)	15 40 30 10 5	15 55 (15+40) 85 (55+30) 95 (85+10) 100 (95+5)	0,15 0,4 0,3 0,1 0,05




x_k - lewy koniec przedziału w którym jest dominanta (2)

x - wartość cechy


n- liczebność (40)

k - przedział dominanty

∆ - długość przedziału, w którym jest dominanta (2)

W badanej próbie czas eksploatacji najczęściej wynosił 3,42 [godz].

Wszystkie miary przeciętne mają jednostkę taką samą jak badana cecha.


Metoda graficzna wyznaczania dominanty - histogram










Mediana - kwantyle

Mediana jest to wartość cechy, która dzieli próbę na dwie części w taki sposób, że połowa wartości jest niewiększa i połowa niemniejsza od mediany (wartość środkowa w próbie)




43, 56, 76, 84, 102

próba ma nieparzystą liczbę elementów wówczas środkowy element istnieje Me = 76

43, 56, 76, 84 parzysta liczba obserwacji




reguła: uśrednij dwa elementy stojące najbliżej środka




Jeżeli próba ma nieparzysta liczbę obserwacji mediana jest równa:




Jeżeli próba ma parzystą liczbę obserwacji:

Porządkujemy rosnąco obserwacje i dopiero wykorzystujemy regułę:


3, 5, 8, 2, 9 2, 3, 5, 8, 9 Me = 5

Szereg rozdzielczy punktowy

x i	n i
2 3 4 5	1 3 2 1




7 obserwacji

x i	n i
2 3 4 5	1 3 3 1




8 obserwacji

Kwartyl pierwszy





Kwartyl pierwszy Q₁

Wartość cechy, która dzieli próbę na ... części tak, że 25% 0,25 wartości jest nie większa oraz 75% ¾.


Szereg rozdzielczy przedziałowy Mediana

1. wskazujemy przedział w którym jest dany kwartyl

2. wyznaczamy przybliżoną wartość posługując się wzorem:

x - wartość cechy

n - liczebność

k - przedział mediany

x_k- lewy koniec przedziału

∆ - długość tego przedziału

Zad. Wyznacz kwartyle czasu eksploatacji maszyn

N cum - ile mamy obserwacji w poprzednim przedziale

Skumulowanie informacji, szukamy liczb 25, 26

Q₁ będzie w <2,4)

Q₃ będzie w <4,6)

Q₂ będzie w <2,4)




¼ badanych maszyn miała czas eksploatacji nie przekraczający 2,5 godz.




½ badanych maszyn miała czas eksploatacji nie przekraczający 3,75 godz.




¼ badanych maszyn miała czas eksploatacji dłuższy niż 5,3 godz.

Graficzna metoda wyznaczenia kwartyli wielobok skumulowanych liczebności

Wykład II

Miary zmienności:

- klasyczne (poziomu przeciętnego, zmienności), wykorzystujemy w rachunkach

• wariancja

• odchylenie standardowe

• odchylenie przeciętne

• współczynnik zmienności

- pozycyjne (dominanta)

• rozstęp

• odchylenie ćwiartkowe

• współczynnik zmienności

~ wymiennie do pojęcia zmienności:

• zróżnicowanie

• rozproszenie

dotyczy wartości badanej cechy statystycznej

Porównaj zróżnicowanie wartości w próbach

~ Liczba elementów jest wspólna (dodać element podzielić przez 5)

1, 2, 3, 4, 5

R1=3

Mediana Me = 3

2, 3, 3, 3, 4

R2 = 3

Me = 3

Badając zróżnicowanie wartości cech w próbach statystycznych obserwujemy odległości badanej cechy od średniej arytmetycznej:



- im mniejsze te odległości tym mniejsze zróżnicowanie wartości badanej cechy











W próbie drugiej obserwujemy mniejsze zróżnicowanie wartości badanej cechy

Wariancja to średnia (ważona) kwadratów odchyleń wartości cechy od wartości przeciętnej

Wzory dotyczące wariancji:

Wariancja w szeregu wyliczającym




n - wielkość próby

x₁ - wartość badanej cechy w próbie




wariancja dla próby pierwszej




wariancja dla próby drugiej

W próbie drugiej mniejsze zróżnicowanie

Wariancja w szeregu rozdzielczym punktowym




n - suma liczebności

k - liczba wartości cechy w szeregu

n_i - liczebność i-tej wartości cechy

Wariancja w szeregu rozdzielczym przedziałowym




n - suma liczebności n_i

k - liczba klas (wierszy) w szeregu


środek i-tego przedziału

n_i - liczebność i-tego przedziału


Ze względu na jednostkę miernika jakim jest wariancja wyznaczamy dodatkowo pierwiastek kwadratowy z wariancji, nazywany odchyleniem standardowym



Odchylenie przeciętne jest to średnia (ważona) bezwzględnych odchyleń wartości cechy od wartości przeciętnej

Odchylenie przeciętne w szeregu rozdzielczym przedziałowym

n - suma liczebności n

k - liczba klas (wierszy) w szeregu


środek i-tego przedziału

n_i - liczebność i-tego przedziału

Do wyznaczania zmienności cech statystycznych, których pomiar dokonujemy w różnych jednostkach, wyznaczamy dodatkowo względną miarę względności - współczynnik zmienności






interpretacja wyniku w procentach

Współczynnik zmienności informuje, jaki jest udział zmienności badanej cechy w odniesieniu do wartości przeciętnej analizowanej badanej cechy.




W przypadku rozkładu stałego (wszystkie obserwacje identyczne) przy braku zmienności wartości badanych cech miary zmienności wynoszą 0 (zero)

(~wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności i odchylenie przeciętne)

Pozycyjne miary zmienności


- odchylenie ćwiartkowe (interkwarty)




współczynnik zmienności - miary pozycyjne

(~liczymy gdy nie można z innych powodów

zmierzyć miary asymetrii)

Miary symetrii Mediana





Dla rozkładu symetrycznego


x = D = Me


x - wartość średnia

D - dominanta mają tę samą wartość


Me - mediana

Badając asymetrię rozkładu cechy statystycznej należy określić:

• rodzaj asymetrii

• siłę asymetrii

ASYMETRIA

• prawostronna (więcej wartości małych)










• lewostronna


Miary asymetrii

Współczynnik skośności Persona

Jest wielkością niemianowaną o wartościach z przedziału od -1 do +1




1. sym.




2. prawostronna

3. 
   lewostronna

Im większa wartość bezwzględna współczynnika skośności tym większa siła asymetrii

A_s [-1, 1]

0,3 słaba (od 0 do 3)

- 0,6 średnia

0,8 silna




Współczynnik asymetrii

Q dzieli obszar na jednakowe ćwiartki








klasyczna miara symetrii

[ ]³ jednostka kubiczna

M₃ moment centralny

γ₃ moment centralny zestandaryzowany

Analiza współzależności dwóch cech statystycznych

- należy ustalić typy powiązań

- pomiar

rodzaje zależności między dwoma zmiennymi

1. zależność funkcyjna

2. -\\- sochastyczna

3. -\\- korelacyjna

dwie badane cechy X (ocena z jednego języka) Y (ocena z drugiego języka)

ad a) zależność funkcyjna wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej następuje ściśle określona zmiana wartości drugiej zmiennej (~do wyliczania podatków, oprocentowania obligacji)

ad. b) zależność sochastyczna wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej następuje zmiana rozkładu prawdopodobieństwa drugiej zmiennej (~jak sprzedają się oferty turystyczne - nie przewidywalne)

ad. c) zależność korelacyjna: - liniowa, - nieliniowa wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej następuje zmiana wartości średnich drugiej zmiennej ustaleniu typu zależności służy wykonanie wykresu: - rozrzutu, - diagram korelacyjny

rodzaje zależności korelacyjnej











Zależność korelacyjna liniowa dodatnia ma miejsce wówczas, gdy: wraz ze wzrostem wartości jednej cechy następuje wzrost wartości drugiej cechy

Zależność korelacyjna liniowa ujemna ma miejsce, gdy: wraz ze wzrostem wartości jednej cechy nastepuje spadek wartości drugiej cechy.

Pomiar siły zależności korelacyjnej - w przypadku zbieżności liniowej




Siłę zależności korelacyjnej wyznaczamy wykorzystując współczynnik korelacji liniowej Pearsona


cov - kowariancja jest to liczba niemianowana o wartościach unormowanych do przedziału od - do +1




Miernik jest symetryczny




Obroty dzienne (mln zł)	10	12	14	15	17	18	19	21	22	23
Zapasy (mln zł)	41	40	38	37	35	33	31	34	32	30


Zad. Zbadać zależność korelacyjną wielkości dziennych obrotów oraz wysokości zapasów w wybranych hurtowniach

2. Pomiar natężenia (wyznaczanie współczynnika korelacji)








3. odchylenie wartości badanych cech od wartości przeciętnych x_i - x ,y - y

Obroty dzienne (mln zł)	Zapasy (mln zł)
10	41	-7,1	5,9	50,41	34,81	-41,89
12	40	-5,1	4,9	26,01	24,00	-24,99
14	38	-3,1	2,9	9,61	8,41	-8,99
15	37	-2,1	1,9	4,41	3,61	-3,99
17	35	-0,1	-0,1	0,01	0,00	0,01
18	33	0,9	-2,1	0,81	4,41	-1,89
19	31	1,9	-4,1	3,61	16,81	-7,79
21	34	3,9	-1,1	15,21	1,21	-4,29
22	32	4,9	-3,1	24,00	9,61	-15,19
23	30	5,9	-5,1	34,81	26,01	-30,09
171	351	x	y	168,90	128,9	-139,10





Wariancje badanych cech



Odchylenia standardowe badanych cech




Kowariancja




Współczynnik korelacji




Współczynnik determinacji informuje jaki procent zmian wartości cechy x (y) jest wyjaśniony zmianami wartości cechy x (y)




Dodatkowo wyznaczamy wartość współczynnika determinacji

W badanej próbie zachodzi silna ujemna liniowa zależność korelacyjna pomiędzy wielkością dziennych obrotów z wysokością zapasów, czyli, że wraz ze wzrostem wielkości obrotów maleje wielkość zapasów. Wielkość dziennych zapasów w 88,9% zależy od wysokości obrotów, natomiast w pozostałych od innych czynników.

14

Mamy 3 różne wartości i 7 obserwacji




36 obserwacji

ile wartości w badanej próbie

(nie określamy w przedziałach)











































10

8

6

4

2

n_i

40

30

20

10

Liczba maszyn




x_i

[czas w godz.]

Wielobok liczebności

(środki przedziału łączymy)

Krzywa liczebności

Mo













Me

Q₃

Q₂

Q₁

50%

50%













Próba 1

x₁: 1, 2, 3, 4, 5

x = 3

x₁- x

-2, -1, 0, 1, 2

Próba 2

x₁: 2, 3, 3, 3, 4

x = 3

x₁- x

-1, 0, 0, 0, 1




























Próba 2

x₁: 2, 3, 3, 3, 4

x = 3

x₁- x : 0, 0, 0, 0, 0

S²(x) = 0

S(x) = 0


d=0







Krzywa liczebności

Częstość względna

x

50 %

50 %

Mediana

x

Częstość względna

x

x

Częstość względna

Częstość względna







dominanta
















25 %

25 %

x

25 %

25 %

Q₁

Q₂

Q₃




Zależność liniowa ujemna

Zależność nieliniowa

x

x

x

y

Zależność liniowa dodatnia

y

y

r bliskie zeru

Brak zależności

x

r>0

r<0

y










obwiednia

Zależność liniowa ujemna

40

20

10

20

obroty

10

30

40

30

zapasy







t _i - czas

y _i - cecha zmienna (ile?)


































---