Pomiary podwójne (parami)

Gdy przy pomiarze pewnych wielkości wykonujemy po dwa spostrzeżenia, np. przy podwójnym pomiarze długości boków lub kątów, to mówimy o wyrównaniu par spostrzeżeń. Rozważmy dwa przypadki pomiarów podwójnych (parami) jednakowo i niejednakowo dokładnych. W pierwszym pomiary wykonane są tym samym instrumentem, przez tego samego obserwatora i w jednakowych warunkach, w drugim któryś z wymienionych powyżej warunków nie jest spełniony. Biorąc pod uwagę zbiór pomiarów podwójnych
można wyznaczyć odpowiadający jemu zbiór różnic:

,
, …,
.

Na ich podstawie określamy błąd średni par pomiarów mierzonej wielkości
:

.

Różnice
traktujemy jak błędy prawdziwe poszczególnych par pomiarów.

Ponieważ w skład każdej z różnic wchodzą dwa pomiary a błąd średni każdego z nich jest równy
, to zgodnie z prawem przenoszenia błędów błąd różnicy tych pomiarów jest dany zależnością

.

Stąd błąd średni pojedynczego pomiaru określony z pomiarów podwójnych

.

Jeśli pomiary parami są niejednakowo dokładne, to błąd średni różnicy dwóch pomiarów wyrażamy wzorem:

.

Stąd błąd średni typowego spostrzeżenia (o wadze równej jedności) określony z pomiarów podwójnych

.

W zastosowaniach operujemy zwykle dużą ilością par spostrzeżeń. Poniższe przykładowe obliczenia dotyczą niewielkiej ilości takich par.

Przykład

W ciągu poligonowym zamkniętym zmierzono dwukrotnie wszystkie boki (patrz tab.). Wyznaczyć najprawdopodobniejsze długości boków oraz błędy średnie różnicy dwóch pomiarów i pojedynczego pomiaru.

Nr boku	Wyniki pomiarów		Średnia arytmetyczna	d	dd
		I				II
1	150,63	150,68	150,655	-0,05	0,0025
2	155,32	155,30	155,31	+0,02	0,0004
4	158,04	158,08	158,06	-0,04	0,0016
5	151,27	151,20	151,235	+0,07	0,0049
					Σ 0,0094

Ponieważ wszystkie boki są prawie jednakowej długości, to można uznać, że pary pomiarów są jednakowo dokładne.

Błąd średni różnicy dwóch pomiarów:

.

Błąd średni pojedynczego pomiaru:

.

Przykład

Wykonano pomiary parami trzech różnych odcinków (patrz tab.). Wyznaczyć błąd średni różnicy dwóch pomiarów oraz błąd średni typowego spostrzeżenia. Przyjąć, że błąd pomiaru rośnie proporcjonalnie do mierzonej odległości tj., że wagi p tych odległości D są proporcjonalne do odwrotności kwadratów odległości:
.

Nr boku	Wyniki pomiarów				d	pd	pdd
		I						II
1	50,1 m	50,0 m		4	0,1	0,4	0,04
2	75,0	75,1		1,8	0,1	0,18	0,018
4	100,3	100,1		1	0,2	0,2	0,04
							Σ 0,098

Dla wygody obliczeń wagi wyznaczano stosując wzór
.

Błąd średni różnicy dwóch pomiarów:

.

Błąd średni typowego spostrzeżenia (o wadze równej jedności):

.

Zauważmy, że w rozważanym przypadku pomiaru odległości ze względu na przyjęty dla wag mnożnik 10000 m² = (100 m) ² jest to błąd średni pomiaru odcinka o długości 100 m

Przykład. Wyrównanie jednakowo dokładnych par spostrzeżeń.

Lp.	Spostrzeżenia		Średnia	d	dd
		I				II
l	180° 47' 20"	180° 47' 40"	180° 47' 30"	-20"	400
2	237° 10' 00"	237° 10' 40"	237° 10' 20"	-40"	1600
3	154° 26' 40"	154° 26' 20"	154° 26' 30"	+20"	400
4	171° 28' 00"	171° 28' 40"	171° 28' 20"	-40"	1600
5	130° 55' 20"	130° 55' 00"	130° 55' 10"	+20"	400
6	103° 43' 20"	103° 43' 00"	103° 43' 10"	+20"	400
					4800

Błąd średni pojedynczego pomiaru kąta

.

Przykład. Wyrównanie niejednakowo dokładnych par spostrzeżeń.

Lp.	Spostrzeżenia		Średnia	p	d	pd	pdd
		I						II
1	2,385 m	2,371 m	2,378 m	0,50	+14	+7,00	98,00
2	3,254	3,278	3,266	0,28	-24	-6,72	161,28
3	1,101	1,107	1,104	1,00	- 6	-6,00	36,00
4	0,582	0,578	0,580	2,00	+ 4	+8,00	32,00
5	4,563	4,574	4,568	0,66	-11	-7,26	79,86
6	1,581	1,578	1,580	2,00	+ 3	+6,00	18,00
							425,14

Błąd średni (jednostkowy) pomiaru długości odcinka (o wadze równej jedności)

.

Przykład (różnice o jednakowej dokładności). Obliczyć błąd średni pojedynczego pomiaru kąta dla kątów pomierzonych na pięciu stanowiskach dwukrotnie, z jednakową dokładnością.

Nr	Pomiar I	Pomiar II	Średnia	d	d^2	Obliczenia
1	27°35'12"	27°35'20"	27°35'16"	+8	64
2	112°2410"	112°2402"	112°2406"	-8	64
3	148°17'50"	148°17'32"	148°17'41"	-18	324
4	216°05'05"	216°04'52"	'216°04'58"	-13	169
5	165°48'52"	165°49'16"	165°49'04"	24	576
				[d]=-7	1197

Gdyby wykonywano (w tych samych warunkach na każdym stanowisku) pojedynczy pomiar kąta, wówczas na podstawie uzyskanych pięciu wyników pomiarów można spodziewać się błędu średniego o wartości 11" na stanowisko. Gdyby jednak wykonywano dwukrotny pomiar kąta na każdym stanowisku, wówczas błąd średniej arytmetycznej tych dwu pomiarów można byłoby oceniać na 8".

Przykład. W ciągu poligonowym pomierzono dwukrotnie 10 boków. Obliczyć średnie arytmetyczne, wagi i błędy średnie.

Nr	D1	D2	d	Dsr	p =100/D
	m	m	cm	m
1	113,42	113,39	+3	113,40	0,88
2	184,16	184,22	-6	184,19	0,54
3	142,18	142,14	+4	142,16	0,70
4	2C8.20	208,26	-6	208,23	0,48
5	280,79	280,71	+8	280,75	0,36
6	196,12	196,18	-6	196,15	0,51
7	130,10	130,06	+4	130,08	0,77
8	91,92	91,95	-3	91,94	1,09
9	75,52	75,50	+2	75,51	1,32
10	163,06	163,11	-5	163,08	0,61
	1585,47	1585,52		1585,49

Dane spostrzeżenia nie są jednakowo dokładne, ponieważ pomiar większej długości stwarza więcej źródeł błędów, jest zatem mniej dokładny. Obliczając wagę p = 100/D, przyjmujemy bok poligonu o długości 100 m jako opowiadający jednostce wagi. Błąd średni jednokrotnie mierzonej długości o wadze p = 1 tj. o boku o dłu­gości 100 m, wynosi

Błąd średni dwukrotnie mierzonej długości 100 m:

.

Przykład. (Na różnice o niejednakowej dokładności)

W wyniku przeprowadzonych pomiarów otrzymano dziesięć ciągów niwelacyjnych o niejednakowej długości, niwelację prowadzono dwukrotnie w przeciwnych kierunkach (kierunku głównym i powrotnym) . Różnice d otrzymane z każdej pary uzyskanych w ten sposób spostrzeżeń zestawiono w poniższej tablicy. Należy określić błąd średni różnicy wysokości dwóch sąsiednich pikiet (na jednym stanowisku) i błąd średni niwelacji na długości jednego kilometra.

Wagi
dla i - tego ciągu obliczono według wzoru

gdzie
oznacza ilość stanowisk w i-tym ciągu. A więc wagę p = 1 przyjęto dla 1000 stanowisk. Ponieważ jedno stanowisko przypada przeciętnie na 100 metrów niwelacji, więc dla 1 km niwelacji przyjęto 10 stanowisk.

Nr, i						Obliczenia
1	- 4	20	50	16	800
2	+ 3	19	53	9	477
3	- 2	18	56	4	224
4	+ 8	25	40	64	2560
5	+ 1	10	100	1	100
6	- 5	16	62	25	1550
7	+ 1	12	83	1	83
9	- 2	14	71	4	284
9	+4	17	59	16	944
10	- 4	21	48	16	768
[pdd]=7790

W tabeli obliczono błąd
dla 1000 stanowisk, błąd
dla 1 stanowiska oraz błąd
dla 1 km niwelacji. Z powyższych danych wynika, że błąd średni popełniony na jednym stanowisku wynosi 0,6 mm, błędowi średniemu 1 km niwelacji odpowiada około 2 mm. W przypadku niwelacji wykonanej dwukrotnie, wynik ten należy podzielić przez
. A więc błąd podwójnej niwelacji odcinka 1 km, to

.

Jeżeli zorientujemy się, że w pomiarach są obecne błędy systematyczne, wówczas błąd ten możemy oszacować z zależności

.

Różnice d poprawiamy odejmując od nich wartość
. Poprawione w ten sposób różnice tracą charakter błędów prawdziwych, dlatego aby wyznaczyć odpowiadający im błąd średni należy zastosować wzór odnoszący się do poprawek tj. błąd średni różnicy dwóch pomiarów
obliczyć następująco

,

.

W powyższym przykładzie nie uwzględniono błędu systematycznego, ponieważ zarówno liczba znaków różnic dodatnich równa się liczbie znaków różnic ujemnych jak również suma tych różnic wynosi zero. Taka idealna zgodność nie jest zresztą konieczna, by nie uwzględniać wpływu błędów systematycznych.

Przykład. (różnice o niejednakowej dokładności z błędem systematycznym).

W wyniku przeprowadzonych pomiarów otrzymano dziesięć ciągów niwelacyjnych o niejednakowej długości, niwelację prowadzono dwukrotnie w przeciwnych kierunkach (kierunku głównym i powrotnym). W różnicach zauważono istotną przewagę błędów dodatnich nad ujemnymi, co wskazuje na istnienie błędu systematycznego. Po wyeliminowaniu wpływu tego błędu należy obliczyć błąd średni przypadkowy niwelacji na długości 1 km.

Błąd systematyczny na jedno stanowisko to:

Przyjmując, że błąd systematyczny jest stały dla każdego stanowiska można obliczyć wielkość błędu systematycznego dla każdego ciągu posługując się następującą zależnością

.

Przyjmując za pomiar o wadze równej jedności ciąg niwelacyjny składający się z 1000 stanowisk otrzymamy błąd średni typowego spostrzeżenia (dla 1000 stanowisk)

= 17 mm (16,6 mm)

Stąd błąd pojedynczego stanowiska to

a błąd średni na długości 1 km niwelacji tj. przypadający na 10 stanowisk:

1,7 mm (1,66 mm).

i
1	+3	13	77	+3	0	0	0
2	+4	15	66	+4	0	0	0
3	+6	14	71	+4	+2	4	284
4	- 2	8	125	+2	- 4	16	2000
5	+10	24	42	+7	+3	9	378
6	+7	20	50	+5	+2	4	200
7	+4	15	66	+4	0	0	0
8	- 1	13	77	+4	- 5	25	1925
9	+5	17	59	+5	0	0	0
10	+8	23	44	+6	+2	4	176
	+44	162			0		4963

Zadanie. Pomiędzy reperami różnych ciągów niwelacyjnych wykonano dwukrotnie niwelację na niejednakowo długich 10 odcinkach. Obliczyć wagi i wyznaczyć błędy średnie wykonanych spostrzeżeń przyjmując, że są to obserwacje wykonane parami.

Nr	sl	s2	d	Ssr	l	p=1/l	ms	d'
	m	m	mm	m	km		mm	mm
1	-1,692	-1,688	-4	-1,690	1,1	0,91	-2	-2
2	-2,371	-2,369	-2	-2,370	2,3	0,43	-4	+2
3	+ 0,547	+ 0,550	-3	+ 0,548	0,7	1,43	-1	-2
4	+ 1,190	+ 1,187	+3	+ 1,188	1,8	0,56	-3	+6
5	-0,874	-0,871	-3	-0,872	0,9	1,11	-1	-2
6	-1,427	-1,423	-4	-1,425	2,7	0,37	-4	0
7	-2,054	-2,049	-5	-2,052	3,4	0,29	-5	0
8	+ 1,920	+ 1,914	+6	+ 1,917	2,5	0,40	-4	+10
9	+ 0,532	+ 0,540	-8	+ 0,536	0,8	1,25	-1	-7
10	-0,746	-0,739	-7	-0,742	1,4	0,71	-2	-5
	-4,975	-4,948	-27	-4,962	17,6

Rozwiązanie: Suma różnic między przewyższeniami (-27 mm) z przewagą znaków ujemnych uzasadnia przypuszczenie istnienia błędu systematycznego. Błąd ten obliczamy ze wzoru

.

Zakładając, że błąd systematyczny, popełniany na ciągu o długości 1 km, rośnie proporcjonalnie do odległości, obliczamy go dla każdego ciągu o długości

i po odjęciu go od każdej różnicy, otrzymamy różnicę zredukowaną

Błąd średni na 1 km dla raz mierzonego przewyższenia

Błąd średni na 1 km dla dwukrotnie mierzonego przewyższenia pary spostrzeżeń

.

9

---