2. Wykonane pomiary.

M	m	h	r	d	d^2	t	t^2	I	Ic−^+Ic
[kg]	[kg]	[m]	[m]	[m]	[m^2]	[s]	[s^2]	[kgm^2]	[kgm^2]
0.193	0.135	0.46	0.0215	0.44	0.1936	7.392	54.641	0.043	54.38 * 10^−4−^+5.68 * 10^−4
						7.488	56.070
						7.338	53.846
						7.409	54.893
						7.622	58.094
						7.454	55.562
						7.263	52.751
						7.195	51.768
						7.304	53.348
						7.428	55.175
				0.40	0.16	6.808	46.348	0.036
						6.892	47.499
						6.903	47.651
						7.000	49
						6.740	45.427
				0.36	0.1296	6.298	39.664	0.03
						6.366	40.525
						6.352	40.347
						6.295	39.627
						6.449	41.589
				0.32	0.1024	5.807	33.721	0.025
						5.785	33.466
						5.877	34.539
						5.743	32.982
						5.669	32.137
				0.28	0.0784	5.314	28.238	0.021
						5.252	27.583
						5.175	26.780
						5.313	28.227
						5.235	27.405
				0.24	0.0576	4.768	22.733	0.017
						4.722	22.297
						4.738	22.448
						4.713	22.212
						4.692	22.014
				0.20	0.04	4.113	16.916	0.013
						4.198	17.623
						4.199	17.631
						4.131	17.065
						4.132	17.073

3. Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczam współczynniki A i B prostej t²=Ad²+B przyjmując jako zmienną niezależną x=d², a zmienną zależną y=t².

$$\mathbf{A =}\frac{\mathbf{n*}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}}}{{\mathbf{n(}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{B =}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}\mathbf{- A*}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}}$$

A = 243.10 | B = 8.27

zatem t² = 243.10d² + 8.27

4. Współczynniki A, B obarczone są niepewnościami. Wyznaczam te niepewności.

$$\mathbf{u(A) =}\sqrt{\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{n - 2}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{(}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{- a}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- b}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{)}}}}}{\mathbf{n}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{(}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}}}$$

$$\mathbf{u(B) =}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 2}}\mathbf{*(}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{- a}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- b}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}}}\mathbf{)}}\mathbf{*}\sqrt{\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{(}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}}}$$

u(A)=1.32 | u(B)=0.502

4. Korzystając z uzyskanych danych wykreślam zależność t²(d²) oraz wykres t²=243.10d²+8.27.

5. Wyznaczam moment bezwładności I_c wykorzystując wyznaczoną wartość współczynnika B i masę walca M korzystając z wartości współczynnika A.

$$\mathbf{I}_{\mathbf{c}}\mathbf{= m*}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{B*g}}{\mathbf{2*h}}\mathbf{- 1} \right)\mathbf{\ \lbrack kg}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

I_c = 5.44 * 10⁻³ [kgm²]

$$\mathbf{M =}\frac{\mathbf{A*m*g*}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*h}}$$

$$M = \frac{243.101*0.135*9.81*4.622*10^{- 4}}{2*0.46} = 0.162\ \left\lbrack \text{kg} \right\rbrack = 162\ g$$

6. Dla każdej wartości d obliczam moment bezwładności I wahadła Oberbecka.

I=I_c+Md², gdzie I_c=const

7. Wyliczam niepewności pomiarowe u(h), u(r),u(M), u(I_c).

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{h} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{0.001}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\mathbf{= 0.00058\ \lbrack m\rbrack}$$

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{r} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{r}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{r}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 0.00065\ \lbrack m\rbrack}$$

8. Wyliczam korzystając z prawa przenoszenia niepewności u(I_c), u(M).

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{M} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\text{δM}}}{\mathbf{\text{δh}}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{h} \right) \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\text{δM}}}{\mathbf{\text{δr}}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{r} \right) \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\text{δM}}}{\mathbf{\text{δA}}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{A} \right) \right)^{\mathbf{2}}}$$

u(M) = 0.0098 [kg]

Obliczenia pomocnicze:

$$\frac{\text{δM}}{\text{δh}} = \frac{A*m*g*r^{2}}{2*h^{2}} = 0.0157$$

u(h) = 0.00058

$$\frac{\text{δM}}{\text{δr}} = \frac{A*m*g*r}{h} = 15$$

u(r) = 0.00065

$$\frac{\text{δM}}{\text{δA}} = \frac{m*g*r^{2}}{2*h} = 0.000141$$

u(A) = 1.32

$\mathbf{u}\left( \mathbf{I}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\delta}\mathbf{I}_{\mathbf{c}}}{\mathbf{\text{δh}}}\mathbf{*u(h)} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\delta}\mathbf{I}_{\mathbf{c}}}{\mathbf{\text{δr}}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{r} \right) \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\text{δI}}_{\mathbf{c}}}{\mathbf{\text{δB}}}\mathbf{*u}\left( \mathbf{B} \right) \right)^{\mathbf{2}}}$

u(I_c) = 5.68 * 10⁻⁴ [kgm²]

Obliczenia pomocnicze:

$$\frac{\delta I_{c}}{\text{δh}} = \frac{m*r*B*g}{2*h^{2}} = 0.556$$

u(h) = 0.00058

$$\frac{\delta I_{c}}{\text{δr}} = 2*m*r*\left( \left( \frac{B*g}{2*h} \right) - 1 \right) = 0.506$$

u(r) = 0.00065

$$\frac{\delta I_{c}}{\text{δB}} = \frac{m*r^{2}*2*g}{4*h} = 0.0006654$$

u(B)=0.502

9. Niepewność rozszerzona U(M).

U(M)=k * u(α)

Za k przyjmuje wartość umowną: k = 2

Natomiast za u(α) przyjmuje wartość średnią obliczonych niepewności: u(α) = 0.0098

U(α) = 0.02

10. Wnioski.

Celem ćwiczenie było sprawdzenie II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego brył. Moment bezwładności wyniósł I_c = 54.38 * 10⁻⁴₋⁺5.68 * 10⁻⁴[kgm²], natomiast moment bezwładności I wahadła Oberbecka wyszedł dla każdej wartości d z przedziału od 0.013 [kgm²] do 0.043 [kgm²]. Wyniki te znajdują się w tabeli.

Dodatkowo należało porównać podaną masę walca M z masą, którą wyznaczyłem z wykresu. Masa walca, którego używałem w ćwiczeniu wynosi 0.193 kg. Wyznaczona masa natomiast 0.162₋⁺0.0098 kg. Obie te masy różnią się od siebie nieznacznie. Należy zaznaczyć, że rozbieżność wyników może wynikać z niedokładnego umieszczania opadającego ciężarka (mógł on zawierać pewną prędkość początkową na starcie), bądź też z działania sił tarcia. Ćwiczenie przebiegło pomyślnie.