I ROK INŻYNIERIA ŚRODOWISKA		13.03.2012r.
Ćwiczenie nr 6	Wyznaczanie stosunku Cp/Cv dla powietrza metodą Clementa-Desormesa

1. Krótki opis zagadnienia:

Stan ciała lotnego (gazu) posiadającego sprężystość objętości, określamy podając cztery jego parametry: objętość V, temperaturę T, masę M i ciśnienie p. Jeżeli masa gazu jest stała, zmiana jednego z parametrów powoduje zmianę pozostałych ( a przynajmniej jednego z nich). Wnioskujemy stąd, że parametry określające stan gazu są ze sobą w ścisły sposób powiązane. Związek ten podaje tzw. Równanie stanu gazu doskonałego. Gazem doskonałym nazywamy gaz składający się z cząsteczek nie posiadających objętości własnej (punkty materialne). W takim gazie nie działają siły spójności między cząsteczkami. Przy niskich ciśnieniach wymiary cząsteczek gazów rzeczywistych są o wiele mniejsze od średniej odległości pomiędzy cząsteczkami, co pozwala w pierwszym przybliżeniu traktować te cząsteczki jak punkty materialne. Z uwagi na duże odległości międzycząsteczkowe siły spójności są bardzo małe i można je zaniedbać. Tak więc przy niskich ciśnieniach gazy rzeczywiste będą zachowywały się w sposób podobny jak modelowy gaz idealny. Jednakże przy wysokich ciśnieniach gazy rzeczywiste nie będą spełniały warunków nałożonych na gazy idealne.

Równanie stanu gazu doskonałego możemy wyprowadzić w oparciu o kinetyczną teorię gazów. Załóżmy, że gaz zamknięty jest w sześciennym naczyniu o długości krawędzi ścianki l. Zgodnie z definicją gazu doskonałego cząsteczki gazu nie oddziałują ze sobą. Każda z cząsteczek porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, dopóki nie zderzy się ze ścianką naczynia.

Podczas zderzenia energia kinetyczna cząsteczki nie ulega zmianie, zmienia się natomiast jej pęd (zderzenie sprężyste)

p₀ = 2mv

Gdzie:

p₀- zmiana pędu,

m- masa cząsteczki,

v- średnia prędkość ruchu cząsteczki.

Z uwagi na dużą liczbę cząstek gazu w naczyniu, żaden kierunek ruchu cząsteczek nie jest wyróżniony, możemy więc przyjąć, że między każdą parą przeciwległych ścian naczynia porusza się 1/3 całkowitej liczby cząsteczek zamkniętych w naczyniu. Dowolna cząsteczka uderza w dowolną ściankę w równych odstępach czasu t

$$t = \frac{2l}{v}$$

W czasie t 1/3 z całkowitej liczby N cząsteczek gazu dozna (na obu ściankach) całkowitej zmiany pędu równej:

$$p_{2} = \frac{4}{3}\text{Nm}v$$

Celem doświadczenia jest wyznaczenie stosunku C_p/C_v dla powietrza metodą Clementa – Desormesa. Do pomiaru stosunku C_p/C_v użyto urządzenia składającego się z balonu szklanego B o pojemności kilkudziesięciu litrów ,zawierającego powietrze . Balon pozwala zmierzyć różnicę ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia gazu zamkniętego w jego wnętrzu bo zaopatrzony jest w manometr wodny M z podziałką. Druga rurka szklana wprowadzona do balonu posiada zawór Z (kurek) pozwalający na połączenie balonu z powietrzem atmosferycznym A, bądź z pompką P (gruszką gumową). Posługując się instrukcją ustawić kurek zaworu Z w położeniu A, łącząc pompę z balonem i za jej pomocą wytworzyć nadwyżkę ciśnienia h₁ w balonie. Następnie kurek zaworu ustawić w pozycji B. Nadwyżka ciśnienia to różnica poziomów słupa cieczy w manometrze. Po upływie minuty kiedy ustali się temperatura gazu i różnica poziomu h₁ odczytać jej wartość. Ustawić kurek zaworu w położeniu C, aby nastąpiło połączenie balonu z powietrzem atmosferycznym. Po wyrównaniu poziomów cieczy w manometrze kurek ponownie ustawić w pozycji B. Po około 4 minutach kiedy ustali się różnica poziomów cieczy w manometrze h₂ odczytać jej wartość. Pomiary h₁ i h₂ powtórzyć co najmniej dziesięciokrotnie. Wyniki pomiarów umieścić w tabeli.

II. Tabela pomiarów

Lp	h 1	h 2	H1-h2	X
1	13	2,9	10,1	1,287
2	10,5	2,5	8	1,312
3	12,5	2,7	9,8	1,276
4	10,9	2,4	8,5	1,282
5	11,1	2,4	8,7	1,276
6	12,1	2,6	9,5	1,274
7	10,4	2,3	8,1	1,284
8	13,9	3,2	10,7	1,299
9	12,5	2,7	9,8	1,276
10	11,7	2,6	9,1	1,286

III. OBLICZENIA

$$\chi = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}}$$

Wyniki działania h₁ − h₂ zapisałam w tabeli

$$\chi_{1} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{13}{10,1} = 1,287$$

$$\chi_{2} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{10,5}{8} = 1,312$$

$$\chi_{3} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{12,5}{9,8} = 1,276$$

$$\chi_{4} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{10,9}{8,5} = 1,282$$

$$\chi_{5} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{11,1}{8,7} = 1,276$$

$$\chi_{6} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{12,1}{9,5} = 1,274$$

$$\chi_{7} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{10,4}{8,1} = 1,284$$

$$\chi_{8} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{13,9}{10,7} = 1,299$$

$$\chi_{9} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{12,5}{9,8} = 1,276$$

$$\chi_{10} = \frac{h_{1}}{h_{1} - h_{2}} = \frac{11,7}{9,1} = 1,286$$

Średnia arytmetyczna:

$$\chi_{s} = \frac{1,287 + 1,312 + 1,276 + 1,282 + 1,276 + 1,274 + 1,284 + 1,299 + 1,276 + 1,286}{10}$$

χ_s = 1, 285

IV. RACHUNEK I DZSKUSJA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Obliczam niepewność standardową wartości χ_s:

$$u\left( \chi \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}{(\chi_{i} - \chi_{s})^{2}}}{10 \times \left( 10 - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{0,001304}{90}} = \ \sqrt{0,000014489} = 0,0038$$

Niepewność rozszerzona:

k=2

U(χ_s) = k * u(χ) = 2 * 0, 0038 = 0, 0076

V. WNIOSKI

Wartość współczynnika χ dla powietrza suchego według tablic wynosi 1.403, pod ciśnieniem 760mm Hg, oraz w temperaturze 15°. Warunki, w których zostało przeprowadzone ćwiczenie z pewnością były inne, dlatego też wynik doświadczenia odbiega od wartości umieszczonej w tablicach. Ostateczna wartość współczynnika χ otrzymana w ćwiczeniu wynosi :

χ = 1,285 ± 0,0076

Na wynik oprócz tego wpłynęły również inne czynniki, takie jak niedokładność skali manometru, dla której przyjęliśmy niepewność :

u(h₁) = 0,1cm

u(h₂) = 0,1cm

Oraz niepewność eksperymentatora która wyniosła 0,5cm.

Dla gazu doskonałego (1 mola) dV = RdT/p  , więc

dQ = c_vdT + RdT

skąd

$$\frac{\text{dQ}}{\text{dT}} = c_{v} + R$$

Ostatecznie więc:

c_p = c_v + R

Molowe ciepła właściwe różnych rodzajów gazów doskonałych (teoretyczne) są zestawione w tabeli poniżej.

Typ gazu	cv	cp	cv/cp
Jednoatomowy Dwuatomowy + rotacja Dwuatomowy + rotacja + drgania Wieloatomowy + rotacja (bez drgań)	(3/2)R (5/2)R (7/2)R (6/2)R	(5/2)R (7/2)R (9/2)R (8/2)R	5/3 7/5 9/7 4/3

5/3=1,66…

7/5=1,4

9/7=1,286

4/3=1,33..