POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Laboratorium Teorii Obwodów Ćwiczenie nr: 10 Temat: Pomiar mocy czynnej w układach trójfazowych
Rok akademicki: 2011/2012 Wydział elektryczny Studia: dzienne magisterskie Nr grupy: E-7/1
Uwagi:

 

1. Wiadomości teoretyczne

Moc czynna P pobierana przez odbiornik trójfazowy jest równa sumie mocy czynnych pobieranych przez poszczególne fazy odbiornika P_A, P_B, P_C.

lub

gdzie:

I_A, I_B, I_C – prądy fazowe w poszczególnych fazach,

U_A, U_B, U_C – napięcia fazowe poszczególnych faz,

ϕ_A, ϕ_B, ϕ_C –kąty przesunięcia fazowego.

W układzie trójfazowym symetrycznym, w którym występuje symetria układu napięć jak i symetria odbiornika, spełnione są następujące zależności:

Dla układu trójfazowego symetrycznego całkowitą moc układu P można wyrazić wzorem:

lub

gdzie:

U – napięcie międzyprzewodowe,

I – prąd przewodowy,

ϕ - kąt przesunięcia fazowego między prądem fazowym a napięciem.

Na rys. 1.1 przedstawiono układ połączeń do pomiaru mocy czynnej symetrycznego odbiornika za pomocą jednego watomierza w układzie 4-przewodowym. Całkowita moc układu w tym przypadku opisana jest równaniem:

Rys. 1.1. Układ połączeń do pomiaru mocy czynnej symetrycznego odbiornika w układzie 4-przewodowym

Pomiar mocy czynnej odbiornika symetrycznego zasilanego z sieci trójfazowej trójprzewodowej (bez przewodu neutralnego) można wykonać również jednym watomierzem. W tym przypadku należy stworzyć sztuczny punkt neutralny. Sztuczny punkt neutralny tworzy układ trzech rezystorów, połączonych w gwiazdę. Rezystancja tych rezystorów powinna być znaczna, aby nie pobierały one z sieci większej mocy. Jeden z wyżej wymienionych rezystorów jest równy rezystancji cewki napięciowej watomierza. Dwa pozostałe rezystory mają rezystancje jednakowe i równe rezystancji cewki napięciowej watomierza. W takim przypadku sztuczny punkt neutralny jest układem symetrycznym. Na rys. 1.2 przedstawiono układ połączeń watomierza do pomiaru mocy czynnej odbiornika trójfazowego przy zastosowaniu sztucznego punktu neutralnego.

Rys. 1.2. Układ do pomiaru mocy czynnej odbiornika symetrycznego w układzie trójprzewodowym przy pomocy sztucznego punktu neutralnego

Ten sposób pomiaru mocy czynnej można zastosować bez względu na układ połączeń odbiornika (gwiazda lub trójkąt), ale obciążenie musi być symetryczne. Moc całkowitą takiego układu obliczamy według wzoru:

gdzie: P – wskazanie watomierza.

Do pomiaru mocy czynnej odbiornika trójfazowego w przypadku symetrycznego i niesymetrycznego obciążenia faz w układzie 4-przewodowym stosuje się metodę trzech watomierzy. Każdy z watomierzy mierzy moc w jednej fazie. Sumując moce wskazane przez watomierze, oblicza się moc całkowitą układu wg zależności:

gdzie:

P₁, P₂, P₃ – moc czynna wskazana przez poszczególne watomierze.

Na rys. 1.3 pokazano układ połączeń do pomiaru mocy czynnej odbiornika trójfazowego w układzie 4-przewodowym.

Rys. 1.3. Układ połączeń do pomiaru mocy czynnej niesymetrycznego odbiornika

w układzie 4-przewodowym

Do pomiaru mocy czynnej odbiornika 3-fazowego zasilanego z sieci trójfazowej, 3-przewodowej, niezależnie od układu połączeń odbiornika (gwiazda lub trójkąt) stosuje się metodę dwóch watomierzy, zwaną układem Arona. Sposób połączenia watomierzy w tej metodzie przedstawiono na rysunku 1.4 (jeden z możliwych wariantów). Całkowita moc układu jest równa sumie wskazań watomierzy

Rys. 1.4. Układ połączeń do pomiaru mocy czynnej dwoma watomierzami

2. Przebieg ćwiczenia

2.1. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym czteroprzewodowym jednym watomierzem

2.1.1. Schemat połączeń układu pomiarowego oraz sposoby połączeń odbiorników

Sposoby połączenia odbiorników:

A) B)

R = 220 Ω, C = 20 µF

2.1.2. Przebieg pomiarów

Połączyć układ według schematu zamieszczonego w pkt. 2.1.1. Pomiary wykonać dla dwóch rodzajów połączeń odbiornika (pkt. 2.1.1).

A) Równoległe połączenie rezystorów i kondensatorów w gwiazdę.

B) Szeregowe połączenie rezystorów i kondensatorów w trójkąt.

Odczytać wskazania mierników, a wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 1.1.

2.1.3. Wyniki pomiarów

Tabela 1.1

UL1	IL1	P1	Pcał	Rodzaj połączenia odbiornika
[V]	[A]	[W]	[W]
78	0,58	23	69	A
78	0,81	47	141	B

2.2. Pomiar mocy czynnej w układzie 3-fazowym czteroprzewodowym, trzema watomierzami

2.2.1. Schemat połączeń układu pomiarowego oraz sposoby połączenia odbiorników

Sposoby połączenia odbiorników:

A) B)

R = 220 Ω, C = 20 µF

2.2.2. Przebieg pomiarów

Połączyć układ według schematu zamieszczonego w pkt. 2.2.1. Pomiary wykonać dla dwóch rodzajów połączeń odbiornika (pkt. 2.2.1 A i B). Odczytać wskazania mierników, a wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 1.2.

2.2.3. Wyniki pomiarów

Tabela 1.2

UL1	UL2	UL3	IL1	IL2	IL3	P1	P2	P3	Pcał	Rodzaj połączenia odbiornika
[V]	[V]	[V]	[A]	[A]	[A]	[W]	[W]	[W]	[W]
77	77	77	0,58	0,58	0,59	23	26	25	74	A
77	77	77	0,82	0,82	0,83	42	50	50	142	B

2.3. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym trójprzewodowym dwoma watomierzami

(układ Arona)

2.3.1. Schemat połączeń układu pomiarowego oraz sposoby połączenia odbiorników

Sposoby połączenia odbiorników

A) B)

R = 220 Ω, C = 20 µF

2.3.2. Przebieg pomiarów

Połączyć układ pomiarowy według schematu zamieszczonego w pkt. 2.3.1. Pomiary wykonać dla dwóch rodzajów połączeń odbiorników (pkt. 2.3.1 A i B). Odczytać wskazania mierników, a wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 1.3.

2.3.3. Wyniki pomiarów

Tabela 1.3

UL1L2	UL2L3	IL1	IL3	P1	P3	Pcał	Rodzaj połączenia odbiornika
[V]	[V]	[A]	[A]	[W]	[W]	[W]
130	134	0,58	0,58	7,5	69	76,5	A
130	134	0,82	0,82	43	104	147	B

2.4. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym trójprzewodowym ze sztucznym punktem

neutralnym

2.4.1. Schemat połączeń układu pomiarowego oraz sposoby połączenia odbiorników

Sposoby połączenia odbiorników

A) B)

R = 220 Ω, C = 20 µF

2.4.2. Przebieg pomiarów

Połączyć układ pomiarowy według schematu zamieszczonego w pkt. 2.4.1. Pomiary wykonać dla dwóch rodzajów połączenia odbiorników (pkt. 2.4.1 A i B). Odczytać wskazania mierników, a wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 1.4.

2.4.3. Wyniki pomiarów

Tabela 1.4

UL2L3	IL1	P	Pcał	Rodzaj połączenia odbiornika
[V]	[A]	[W]	[W]
134	0,58	24	72	A
134	0,82	48	144	B

3. Obliczenia

3.1. Obliczenia mocy czynnej dla pomiaru jednym watomierzem

Wykonać obliczenia poszczególnych wielkości zawartych w tabeli 3.1 dla dwóch sposobów połączenia odbiornika (A i B) założyć, że układ napięć źródłowych jest układem symetrycznym. Prąd i napięcie wyrazić w postaci Aexp(jϕ).

Tabela 3.1

UL1	IL1	P1	Pcał	Rodzaj połączenia odbiornika
[V]	[A]	[W]	[W]
78e^j0	0,604e^j54,1	27,6	82,8	A
78e^j0	0,86e^j35	54,9	164,7	B

U_f=78V

U_p=$\sqrt{3}$*U_f=135,1V

R=220Ω

C=20uF

Ω=2∏*f

F=50Hz

Operatory obrotu:

a=e^j120

a²=e^j-120

Napięcia fazowe:

U_L1=U_f

U_L1=78V=78e^j0V

U_L2=a²*78V=78e^-j120V

U_L3=a*78V=78e^j120

Napięcia między fazowe:

U_L12=U_L1-U_L2=117+67,55i=135,1e^j30

U_L23=U_L2-U_L3=-135,1i=135,1e^-j90

U_L31=U_L3-U_L1=-117+67,55i=135,1e^j150

Obliczenia kluczowe:

X_c=$\frac{1}{(j\omega c)}$= -159,235i=159,235e^-j90

Dla połączenia szeregowego:

Z_s=R+X_c=220-159,235i=271,58e^-j35

Dla połączenia równoległego:

Z_R=$\frac{R*X_{c}}{R + X_{c}}$=75,631-104,495i=128,99e^-j54

1. A –odbiornik połączony w gwiazde

U_L1=78V

I_L1= $\frac{U_{L1}}{Z_{R}}$=0,354+0,489i=0,604e^j54,1A

φ=54,1°

P= U_f*I_f*cosφ = 78*0,604*cos(54,1°) =27,6W

P_cał= 3*P= 82,8W

1. B – odbiornik połączony w trójkąt

U_L1=78V

I_L12=$\frac{U_{L12}}{Z_{s}}$=0,21+0,45i=0,497e^j65

I_L31=$\frac{U_{L31}}{Z_{s}}$= -0,49-0,043i=0,497e^-j175

I_L1= I_L12- I_L31=0,71+0,49i=0,86e^j35

φ=35°

P= U_f*I_f*cosφ = 78*0,86*cos(35°) =54,9W

P_cał= 3*P= 164,7W

3.2. Obliczenia mocy czynnej dla pomiaru mocy trzema watomierzami

Wykonać obliczenia poszczególnych wielkości zawartych w tabeli 3.2 dla dwóch sposobów połączeń odbiorników (A i B). Założyć, że układ napięć źródłowych jest układem symetrycznym. Prąd i napięcie wyrazić w postaci Aexp(jϕ).

Tabela 3.2

UL1	UL2	UL3	IL1	IL2	IL3	P1	P2	P3	Pcał	Rodzaj połączenia odbiornika
[V]	[V]	[V]	[A]	[A]	[A]	[W]	[W]	[W]	[W]
77 e^j0	77 e^j-120	77 e^j120	0,604 e^j54	0,604 e^j-66	0,604 e^j174	27,6	27,6	27,6	82,8	A
77 e^j0	77 e^j-120	77 e^j120	0,86 e^j54	0,86 e^j54	0,86 e^j54	56,8	56,8	56,8	170,4	B

Operatory obrotu:

a=e^j120

a²=e^j-120

Napięcia fazowe:

U_L1=U_f

U_L1=77V=77e^j0V

U_L2=a²*77V=77e^-j120V

U_L3=a*78V=78e^j120

Dla połączenia szeregowego:

Z_s=R+X_c=220-159,235i=271,58e^-j35

Dla połączenia równoległego:

Z_R=$\frac{R*X_{c}}{R + X_{c}}$=75,631-104,495i=128,99e^-j54

1. A –odbiornik połączony w gwiazde

I_L1= $\frac{U_{L1}}{Z_{R}}$=0,355+0,483i=0,604e^j54A

φ₁=54°

P₁= U_f*I_f*cosφ = 78*0,604*cos(54°) =27,6W

I_L2= $\frac{U_{L2}}{Z_{R}}$=0,604e^j-66A

φ₂=54°

P₂= U_f*I_f*cosφ = 78*0,604*cos(54°) =27,6W

I_L3= $\frac{U_{L3}}{Z_{R}}$=0,604e^j174A

φ₃=54°

P₃= U_f*I_f*cosφ = 78*0,604*cos(54°) =27,6W

P_cał= P₁+P₂+P₃= 82,8W

1. B – odbiornik połączony w trójkąt

Napięcia fazowe:

U_L1=U_f

U_L1=77V=78e^j0V

U_L2=a²*77V=77e^-j120V

U_L3=a*77V=77e^j120

Napięcia między fazowe:

U_L12=U_L1-U_L2=117+67,55i=135,1e^j30

U_L23=U_L2-U_L3=-135,1i=135,1e^-j90

U_L31=U_L3-U_L1=-117+67,55i=135,1e^j150

Prądy przewodowe:

I_L12=$\frac{U_{L12}}{Z_{s}}$=0,21+0,45i=0,497e^j65

I_L31=$\frac{U_{L31}}{Z_{s}}$= -0,49-0,043i=0,497e^-j175

I_L23=$\frac{U_{L23}}{Z_{s}}$=0,28+0,407i=0,497e^j-55

Prądy fazowe:

I_L1= I_L12- I_L31=0,71+0,49i=0,86e^j35

I_L2= I_L23- I_L12=0,75-0,857i=0,86e^j-85

I_L3= I_L31- I_L23=-0,78+0,36i=0,86e^j155

φ₁=5°

P₁= U_L1 • I_L1 • cosφ₁ = 78*0,86*cos(5°) =56,8W

φ₂=5°

P₂= U_L2 • I_L2 • cosφ₂ = 78*0,86*cos(5°) =56,8W

φ₃=5°

P₃= U_L3 • I_L3 • cosφ₃ = 78*0,86*cos(5°) =56,8W

P_cał= P₁+P₂+P₃= 170,4W

3.3. Obliczenia mocy czynnej dla przypadku pomiaru mocy dwoma watomierzami

Wykonać obliczenia poszczególnych wielkości zawartych w tabeli 3.3 dla dwóch sposobów połączeń odbiorników (A i B). Założyć, że układ napięć źródłowych jest układem symetrycznym. Prąd i napięcie wyrazić w postaci Aexp(jϕ).

Tabela 3.3

UL1L2	UL2L3	IL1	IL3	P1	P3	Pcał	Rodzaj połączenia odbiornika
[V]	[V]	[A]	[A]	[W]	[W]	[W]
131,6e^j30	131,6e^j-90	0,59e^j54	0,59 e^j174	8	71	79	A
131,6e^j30	131,6e^j-90	0,83e^-j84	0,83 e^j156	44	116	160	B

Dla połączenia szeregowego:

Z_s=R+X_c=220-159,235i=271,58e^-j35

Dla połączenia równoległego:

Z_R=$\frac{R*X_{c}}{R + X_{c}}$=75,631-104,495i=128,99e^-j54

1. A –odbiornik połączony w gwiazde

napięcia fazowe:

U_L1=$\frac{130}{\sqrt{3}}$=75,06V=75,06e^j0

U_L2=a²*75,06V=-37,99-65,8i=75,06e^-j120

U_L3=a*75,06V=-37,99+65,8i=75,06e^j120

napięcia międzyfazowe:

U_L12=U_L1-U_L2=113+65,8i=131,6e^j30

U_L23=U_L2-U_L3 =-131,6i=131,6e^-j90

U_L31=U_L3-U_L1=-113,97+65,8i=131,6e^j150

prądy fazowe

I_L2=$\frac{U_{L1}}{Z_{R}}$=0,34+0,47i=0,59e^j54

I_L2=$\frac{U_{L2}}{Z_{R}}$=0,24-0,54i=0,59e^-j66

I_L3=$\frac{U_{L3}}{Z_{R}}$=-0,59+0,06i=0,59e^j174

φ₁ = 84°

P₁ = U_L12 • I_L1 • cosφ₁ = 131, 6 • 0, 59 • 0, 1045 = 8 [W]

φ₂ = 24°

P₃ = U_L23 • I_L3 • cosφ₃ = 131, 6 • 0, 59 • 0, 9135 = 71 [W]

P_cal = P₁ + P₃ = 8 + 71 = 79[W]

1. B – odbiornik połączony w trójkąt

napięcia międzyfazowe:

U_L12=U_L1-U_L2=113+65,8i=131,6e^j30

U_L23=U_L2-U_L3 =-131,6i=131,6e^-j90

U_L31=U_L3-U_L1=-113,97+65,8i=131,6e^j150

prądy przewodowe

I_L1L2 = $\frac{U_{L1L2}}{Z_{s}}$ = $\frac{131,6e^{j30}}{271,58e^{- j35}}$ = 0,485 e^j65

I_L2L3 = $\frac{U_{L2L3}}{Z_{s}}$ = $\frac{131,6e^{- j90}}{271,58e^{- j35}}$ = 0,485 e^-j55

I_L3L1 = $\frac{U_{L3L1}}{Z_{s}}$ = $\frac{131,6e^{j150}}{271,58e^{- j35}}$ = 0,485 e^j175

prądy fazowe

I_L1= I_L12- I_L31=0,688+0,397i=0,795e^j30

I_L2= I_L23- I_L12=0,073-0,837i=0,84e^j-85

I_L3= I_L31- I_L23=-0,761+0,439i=0,879e^j150

φ₁ = 65°

P₁= U_L1L2 • I_L1 • cosφ₁ = 131,6*0,795*cos(84°) =44 W

φ₁ = 0°

P₃= U_L2L3 • I_L3 • cosφ₁ = 131,6*0,879*cos(0°) = 116 W

P_cał= P₁+P₃= 44+116 = 160 W

3.4. Obliczenia mocy czynnej dla pomiaru mocy jednym watomierzem ze sztucznym punktem neutralnym.

Wykonać obliczenia poszczególnych wielkości zawartych w tabeli 3.3 dla dwóch sposobów połączeń odbiorników (A i B). Założyć, że układ napięć źródłowych jest układem symetrycznym. Prąd i napięcie wyrazić w postaci Aexp(jϕ).

Tabela 1.4

UL2L3	IL1	P	Pcał	Rodzaj połączenia odbiornika
[V]	[A]	[W]	[W]
134 e^-j90	0,6 e^j54	27,28	81,84	A
134 e^-j90	0,85 e^j35	53,87	161,61	B

napięcia fazowe:

U_L1 = $\frac{134}{\sqrt{3}}$ = 77,37

U_L2 = a²*77,37 = 77,37 e^-j120

U_L3 = a*77,37 = 77,37 e^j120

napięcia międzyfazowe:

U_L1L2 = 134 e^j30

U_L2L3 = 134 e^-j90

U_L3L1 = 134 e^j150

Dla połączenia szeregowego:

Z_s=R+X_c=220-159,235i=271,58e^-j35

Dla połączenia równoległego:

Z_R=$\frac{R*X_{c}}{R + X_{c}}$=75,631-104,495i=128,99e^-j54

1. A- odbiornik połączony w gwiazdę

U_L1 = 77,37

I_L1 = $\frac{U_{L1}}{Z_{r}} = \frac{77,37e^{j0}}{128,99e^{- j54}}$ = 0,6 e^j54

φ= 54°

P= U_L1*I_L1*cosφ = 77,37*0,6*0,5878 =27,28 W

Pcał = 3P =3*27,28 = 81,84

1. B- odbiornik połączony w trójkąt

U_L1 = 77,37

I_L1L2 = $\frac{U_{L1L2}}{Z_{s}} = \frac{134e^{j30}}{271,58e^{- j35}}$ = 0,493 e^j65

I_L3L1 = $\frac{U_{L3L1}}{Z_{s}}$ = $\frac{134e^{j150}}{271,58e^{- j35}}$ = 0,493 e^-j175

I_L1= I_L1L2 – I_L3L1 = 0,493 e^j65 - 0,493 e^-j175 = 0,85 e^j35

φ = 35°

P = U_{L1 *} I_{L1 *} cos φ = 77,37*0,85*0,8192 = 53,87 W

Pcał = 3P = 3*53,87 =161,61 W

4. Wnioski i uwagi końcowe:

Celelm ćwiczenia był pomiar mocy czynnej w układach trójfazowych trój- i cztero-przewodowych symetrycznych i niesymetrycznych za pomoca róznych metod.

Pierwszą metodą była pomiar mocy w układzie czteroprzewodowym przy uzyciu jednego watomierza. W metodzie tej aby uzyskac moc calkowita układu musimy pomnożyć wskazanie watomierza razy 3. Kolejną metodą był pomiar mocy w układzie czteroprzewodowym trzema watomierzami, w której aby uzyskac moc całkowita należy zsumować wskazania poszczególnych watomierzy. Trzecią metodą jaka dokonaliśmy pomiarów był pomiar w układzie trójprzewodowym dwoma watomierzami (układ Arona). Metoda ta może być stosowana zarówno w układach symetrycznych jak i niesymetrycznych.

Ostatnie pomiary wykonaliśmy przy użyciu jednego watomierza w układzie trójprzewodowym ze sztucznym punktem neutralnym. Moc całkowita w tym wypadku analogicznie jak w metodzie pierwszej będzie potrojoną wartością wskazania watomierza. Reasumując na podstawie przeprowadzonych przez nas pomiarów i wykonanych obliczeń można stwierdzić ze najdokładniejsze wyniki można otrzymac stosując metode nr 3, przy uzyciu dwoch watomierzy, układ Arona.