Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 1

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

Elementy teorii niezawodności

Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz. 3

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:

Jeśli mamy do czynienia z koniecznością obliczenia prawdopodobieństwa złożonego zdarzenia A (P(A)=?) oraz istnieją zdarzenia: B1, B2, B3,…, Bn spełniające B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 ∩...∩ B

,

B

B

B

...

B

n = ∅

1 ∪

2 ∪

3 ∪

∪ n =

Ω

(Ω jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych, natomiast zdarzenia: B1, B2, B3,…, Bn nazywamy w takim przypadku pełną grupą zdarzeń)

to wtedy

P( )

A = P( A / B P B + P A B P B + P A B P B + + P A B P B

1 )

(

)

1

( / 2) ( )2 ( / 3) ( ) ...

3

( / n) ( ) n

Zadanie 1:

Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w chwili t system jest w stanie zdatności. Elementy systemu są identyczne, nieodnawialne o czasie poprawnej pracy o rozkładzie wykładniczym z parametrem a.

Struktura niezawodnościowa systemu złożonego z 5-ciu elementów ma postać: 1

2

Zatem:

F ( t)

i

= F( t) = 1− −

e at , t ≥ 0

5

R ( t)

i

= R( t) = −

e at , t ≥ 0

3

4

System jest nieodnawialny, ponieważ:

• wszystkie minimalne ciecia systemu złożone są z elementów nieodnawialnych Szukamy zatem Rs(t).

Podstawową trudność w rozwiązaniu tego zadania stanowi to, że system nie stanowi struktury szeregowo-równoległej lub równoległo-szeregowej. Element numer 5 nie pozwala na stwierdzenie, czy z punktu widzenia wejścia-wyjścia na najwyższym poziomie abstrakcji jest to system szeregowy lub równoległy.

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym pozwala na dekompozycję obliczeń prawdopodobieństw złożonych zdarzeń.

W naszym przypadku przyjmijmy, że:

A1={system jest w stanie zdatności w chwili t},

B1={element 5 jest w chwili t w stanie zdatności}, B2={element 5 jest w chwili t w stanie niezdatności}.

Zdarzenia B

∪

∩

1 i B2 spełniają warunki: B1

B2=Ω i B1 B2=∅, zatem stanowią pełną grupę zdarzeń.

Teraz mamy:

R ( t) = P( T ≥ t) = P

≥

≥

≥ +

≥

≤

≤

s

s

( T t / T t P T t P T t T t P T t

s

5

) (

)

5

(

/

s

5

) (

)

5

gdzie

Ts – jest czasem do awarii systemu,

Ti – jest czasem do awarii elementu i-tego, i=1,…,5.

Zauważmy, że jeśli w chwili t element numer 5 jest w stanie zdatności, to w tej chwili stanowi on gwarantowany przepływ w schemacie przez miejsce, w którym jest umiejscowiony. Możemy zatem w schemacie blokowym niezawodnościowym zastąpić go (dla rozpatrywanej chwili t i wcześniej, ponieważ mamy do czynienia z elementami nieodnawialnymi) linią łączącą punkty, z którymi był dotychczas połączony (Rysunek 1).

Zauważmy również, że jeśli w chwili t element numer 5 nie jest w stanie zdatności, to w tej chwili stanowi on przerwę przepływu w schemacie przez miejsce, w którym jest umiejscowiony. Możemy zatem w schemacie blokowym niezawodnościowym usunąć go (dla rozpatrywanej chwili t) pozostawiając przerwę miedzy punktami, z którymi był

dotychczas połączony (Rysunek 2).

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 2

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

1

2

1

2

3

4

3

4

Rysunek 1: schemat niezawodnościowy dla systemu Rysunek 2: schemat niezawodnościowy dla systemu dla chwili t, gdy (T5≥t)

dla chwili t, gdy (T ≤

5 t)

Rozpatrzmy teraz poszczególne elementy wyznaczanej formuły: R ( t) = P( T ≥ t) = P

≥

≥

≥ +

≥

≤

≤

s

s

( T t / T t P T t P T t T t P T t

s

5

) (

)

5

(

/

s

5

) (

)

5

Dla systemu z rysunku 1

Dla systemu z rysunku 2

− at

P T

(

− at

P T

( 5 ≤ t) = F t

( )

5

=1− e

5 ≥ t ) = R

t

( )

5

= e

P( T ≥ t / T ≥ t = R t P( T ≥ t / T ≤ t = R t s

5

) 2( )

s

5

) 1( )

s

s

1

R ( t) jest funkcją niezawodności systemu: 2

R ( t) jest funkcją niezawodności systemu: s

s

1

2

1

2

I

I

II

II

3

4

3

4

System ma strukturę szeregową złożoną z podsystemu I i System ma strukturę równoległą złożoną z podsystemu I podsystemu II, więc:

i podsystemu II, więc:

1

R ( t) = R ( t) ⋅ R ( t) 2

F ( t) = F ( t) ⋅ F ( t) s

I

II

s

I

II

Z kolei podsystem I ma strukturę równoległą elementów Z kolei podsystem I ma strukturę szeregową elementów 1 i 3, zatem:

1 i 2, zatem:

− at 2

− at

2

− at

F t

( ) = F t

( ) ⋅ F t

( ) = 1

( − e

) = 1− e

2

+ e

−

−

−

at

at

2 at

R t

( ) = R t

( ) ⋅ R t

( ) = e

⋅ e = e

I

1

3

I

1

2

Podsystem II ma strukturę równoległą elementów 2 i 4, Podsystem II ma strukturę szeregową elementów 3 i 4, zatem:

zatem:

− at 2

− at

2

− at

−

−

−

F t

( ) = F t

( ) ⋅ F t

( ) = 1

( − e

) = 1− e

2

+ e

at

at

2 at

R t

( ) = R t

( ) ⋅ R t

( ) = e

⋅ e = e

II

2

4

II

3

4

Otrzymujemy zatem:

Więc dalej:

2

1

2

− at 2

2

− at

4

− at

R 1 t

( ) = R t

( ) ⋅ R t

( ) = e

2 − − e−2

= e−2

4

− e 3

4 −

+ e−4

F t

( ) = F t

( ) ⋅ F t

( ) = 1

( − e

) = 1− e

2

+ e

s

I

II

( at

at )

at

at

at

s

I

II

Otrzymujemy:

2

2

2

− at

4

− at

R t

( ) = 1− F t

( ) = e

2

− e

s

s

Ostatecznie otrzymujemy:

R ( t)

s

= P( Ts ≥ t) = P( Ts ≥ t / T t P T t P T t T t P T t 5 ≥

) ( 5 ≥ ) + ( s ≥ / 5 ≤ ) ( 5 ≤ ) =

R ( t)

P T

t

e

e

e

e

e

e

e

s

= ( ≥ ) =

−

(2 2 at

s

− −4 at )⋅ − at +

−

(4 2 at −

−

4 3 at + −4 at ) 1

( − − at ) =

R t

( ) =

−3 at

e

2

e 5

e 2

4

e 3

4

e 4

e 3

4

e 4

4

e 5

s

− − at + − at − − at + − at − − at + − at − − at =

2

− at

3

− at

4

− at

5

− at

R t

( ) = e

4

− e

6

+ e

5

− e

2

s

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 3

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

Można zatem system traktować jako pojedynczy element prosty nieodnawialny o funkcji niezawodności Rs(t).

Można więc, na przykład:

• wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że system (obiekt nieodnawialny prosty) uszkodzi się do chwili t 2

− at

3

− at

4

− at

5

− at

F t

( ) = 1− R t

( ) = 1− 4 e

+ e

6

− e

5

+ e

2

s

s

• wyznaczyć oczekiwany czas do uszkodzenia systemu

∞

∞

E{ T

2

3

4

5

( )

4

6

5

2

s } = ∫ R t dt = ∫ [

−

e at

s

− −

e at +

−

e at −

−

e at ] dt =

0

0

∞

∞

∞

∞

= 4∫ −

e 2 atdt − 6∫ −

e 3 atdt + 5∫ −

e 4 atdt − 2∫ −

e 5 atdt =

0

0

0

0

pamiętamy, że

∞



∞

−

1





−

1



0

1

∫ e natdt =

e nat

= 0 − 

e  =





− na



 − na



na

0

0

wiec otrzymujemy:

∞

∞

∞

∞

−2

3

−

−4

5

−

4

6

5

2

E{ T = 4∫

− 6∫

+ 5∫

− 2∫

=

−

+

−

s }

e atdt

e atdt

e atdt

e atdt

2 a

a

3

4 a

a

5

0

0

0

0

zatem

1  4

6

5

2 

1 

5

2 

1  5

2 

1  25 − 8 

17 1

E{ T =  − + −  =  2 − 2 + −  =  −  = 

 =

⋅

s }

a  2

3

4

5 

a 

4

5 

a  4

5 

a  20 

20 a

Można wyliczyć inne charakterystyki typowe dla obiektów prostych nieodnawialnych przyjmując, że jego funkcja niezawodności jest równa Rs(t).

Zadanie 2:

Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w chwili t system jest w stanie zdatności. Elementy systemu są identyczne, odnawialne o czasie poprawnej pracy o rozkładzie wykładniczym z parametrem a oraz czasie odnowy o rozkładzie wykładniczym z parametrem b.

Struktura niezawodnościowa systemu złożonego z 5-ciu elementów ma postać: 1

2

Zatem:

F ( t)

i

= F( t) =1− −

e at , t ≥ 0

5

G ( t)

i

= G( t) =1− −

e bt , t ≥ 0

System jest odnawialny, ponieważ:

3

4

• wszystkie minimalne ciecia systemu złożone są z elementów odnawialnych

Szukamy zatem k

( t) .

g s

Postępujemy analogicznie jak w zadaniu 1, korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

Teraz mamy:

k ( t)

g

= P( X ( t)

s

= )

1 = P( X ( t)

s

= 1/ X ( t) = P X t = + P X t s

= X t = P X t =

5

)1 ( ( ) )1

5

( ( ) 1/ ( ) 0

5

) ( ( ) )0

5

s

gdzie

X ( t) – określa stan zdatności systemu, X ( t) – określa stan zdatności elementu 5.

s

5

Na podstawie wyników z poprzednich ćwiczeń mamy:

b

a

−( a+ b) t

P( X t

( ) = )

1 = k

t

( ) =

+

e

5

g 5

b + a

b + a

b

a

−( a+ b) t

P( X t

( ) = )

0 = 1− k

t

( ) = 1−

+

e

5

g 5

b + a

b + a

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 4

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

Rozpatrzmy teraz poszczególne elementy wyznaczanej formuły: k ( t)

g

= P( X ( t)

s

= )

1 = P( X ( t)

s

= 1/ X ( t) = P X t = + P X t s

= X t = P X t =

5

)1 ( ( ) )1

5

( ( ) 1/ ( ) 0

5

) ( ( ) )0

5

s

1

2

1

2

I

I

II

II

3

4

3

4

Rysunek 1: schemat niezawodnościowy dla systemu dla Rysunek 2: schemat niezawodnościowy dla systemu chwili t, gdy ( X ( t) = 1)

dla chwili t, gdy ( X ( t) = 0 )

5

5

P( X ( t) = 1/ X ( t) = = k t P( X ( t) = 1/ X ( t) = 0 = k t s

5

) 2 ( )

s

5

)1 1 ( )

gs

gs

1

k ( t)

2

jest współczynnikiem gotowości systemu

k ( t) jest współczynnikiem gotowości systemu g s

g s

System ma strukturę szeregową złożoną z podsystemu I i System ma strukturę równoległą złożoną z

podsystemu II, więc:

podsystemu I i podsystemu II, więc:

1

k ( t) = k ( t) ⋅ k ( t)

1

2

− k ( t) = 1

( − k ( t)) ⋅ 1

( − k

( t))

g

g

g

s

I

II

g

g

g

s

I

II

Z kolei podsystem I ma strukturę równoległą elementów 1

Z kolei podsystem I ma strukturę szeregową

i 3, zatem:

elementów 1 i 2, zatem:

b

a

−

2

( a+ b) t 2

1 − k ( t) = 1

( − k ( t)) ⋅ 1

( − k ( t)) = 1

( −

+

e

)

 b

a



− a+

g

g

(

b) t

I

1

g 3

b + a

b + a

k ( t)

k

t

k

t

e

g

=

( )

g

⋅

( )

g

= 

+



I

1

2

 b + a b + a



Podsystem II ma strukturę równoległą elementów 2 i 4, Podsystem II ma strukturę szeregową elementów 3 i 4, zatem:

zatem:

b

a

2

−( a b

+ ) t 2

 b

a



1− k

( t) = 1

( − k ( t)) ⋅ 1

( − k ( t)) = 1

( −

+

e

)

(

− a+ b) t

g

g

k

t

k

t

k

t

e

g

= g

⋅ g

=

+

II

2

g 4





b + a

b + a

( )

( )

( )

II

3

4

 b + a b + a



Otrzymujemy zatem:

Wi

2

ęc dalej:



b

a



1

−( a+ b) t 2

2

k ( t)

k

t

k

t

e

2





 b

a



g

=

( )

g

⋅

( )

g

= 1− 1

( −

+

) 

2

(

− a+ b)



t



s

I

II



b + a

b + a



1 − k ( t)

k

t

k

t

e

g

= 1

( −

( ))

g

⋅ 1

( −

( ))

g

= 1

s

I

II

 − 

+

 



 b + a b + a

 

Otrzymujemy:

2

2





 b

a



2

(

− a+ b)

k ( t)

e

g

=1 

− 1

t



s

 − 

+

 



 b + a b + a

 

Ostatecznie:

k ( t)

g

= P( X ( t)

s

= )

1 = 1

k ( t)

g

⋅ k ( t)

g

+ 2

k ( t)

g

⋅ 1

( − k ( t))

g

=

s

s

5

s

5



1

b

a





(

)

2

b

a



k

t

( )

k

t

( )

e

k

t

( ) 1

e (

)

g

= g

⋅

+

− a+ b t  + g

⋅ −

+

− a+ b t  =

s

s

 b + a b + a



s



b + a

b + a





2 



b

a





(

)

2

b

a





− a+ b t



k

t

( )

1

1

(

e

)

e (

)

g

=  − −

+

 ⋅ 

+

− a+ b t  +

s







b + a

b + a



 b + a b + a









2

2









 b

a



−(

)

b

a

a+ b t

 







+ 1− 1− 

+

e



⋅1−

+

−( a+ b) t

e









 b + a

b + a



 

b + a

b + a







 

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 5

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

Zadanie 3:

Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo zdarzenia, że , że system jest w stanie zdatności K

= lim k ( t) .

g

g

s

s

t→∞

Elementy systemu są identyczne, odnawialne o czasie poprawnej pracy o rozkładzie wykładniczym z parametrem a oraz czasie odnowy o rozkładzie wykładniczym z parametrem b.

Struktura niezawodnościowa systemu złożonego z 5-ciu elementów ma postać: 1

2

Zatem:

F ( t)

i

= F( t) =1− −

e at , t ≥ 0

5

G ( t)

i

= G( t) =1− −

e bt , t ≥ 0

Graniczne współczynniki gotowości dla pojedynczych elementów: 3

4

K , K , K , K , K

g 1

g 2

g 3

g 4

g 5

dla elementu odnawialnego mamy:

1

1

Θ

b

1

,

g

=

= a

K

= a =

i = ,

1 ... 5

,

i

Θ + Θ

1

1

b + a

b + a

1

2

+

a

b

ab

Postępujemy analogicznie jak w zadaniu 1 i 2, korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

Teraz mamy:

K

( t)

g

= P( X (

s ∞) =

)

1 = P( X (

s ∞) = 1 / X

(∞) = P X ∞ =

+ P X s ∞ = X ∞ = P X ∞ =

5

)1 ( ( ) )1

5

( ( ) 1/ ( ) 0

5

) ( ( ) )0

5

s

K

= P( X (∞) = )

1

1

2

= K ⋅ K + K ⋅ 1

( − K )

g

s

g

g

s

s

5

g

g

s

5

gdzie:

b

a

K

=

, 1

- K

=

g 5

a + b

g 5

a + b

Rozpatrzmy teraz poszczególne elementy wyznaczanej formuły: 1

2

1

2

I

I

II

II

3

4

3

4

Rysunek 1: schemat niezawodnościowy dla systemu dla Rysunek 2: schemat niezawodnościowy dla systemu chwili t, gdy ( X (∞) = 1 )

dla chwili t, gdy ( X (∞) = 0 )

5

5

System ma strukturę szeregową złożoną z podsystemu I i System ma strukturę równoległą złożoną z

podsystemu II, więc:

podsystemu I i podsystemu II, więc:

K 1 t

( ) = K ⋅ K

1

2

− K = 1

( − K ) ⋅ 1

( − K

)

g

g

g

s

I

II

g

g

g

s

I

II

Z kolei podsystem I ma strukturę równoległą elementów 1

Z kolei podsystem I ma strukturę szeregową

i 3, zatem:

elementów 1 i 2, zatem:

b

a

2

2

2

1 − K

= 1

( − K ) ⋅ 1

( − K ) = 1

( −

) = (

)

 b 

g

g

K

g

= Kg ⋅ Kg =

I

1

g 3





b + a

b + a

I

1

2

 b + a 

Podsystem II ma strukturę równoległą elementów 2 i 4, Podsystem II ma strukturę szeregową elementów 3 i 4, Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 7: Niezawodność systemów cz.3 6

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

zatem:

zatem:

b

a

2

2

2

1 − K

= 1

( − K ) ⋅ 1

( − K ) = 1

( −

) = (

)

 b 

g

g

Kg = Kg ⋅ Kg =

II

2

g 4





b + a

b + a

II

3

4

 b + a 

Otrzymujemy zatem:

Więc dalej:

2



a



2

1

2

K

2





 b 

g

= Kg ⋅ Kg = 1

 − (

) 

s

I

II



b + a



2

1 − Kg = 1

( − K )

g

⋅ 1

( − K

)



g

= 1



s

I

II

 − 

 

 b + a 





Otrzymujemy:

2

2





 b 

2

Kg = 1 

− 1



s

 − 

 



 b + a  

Ostatecznie:

K

P X

K

K

K

K

g

= ( s ∞

( ) = )

1 =

1

g ⋅

g

+ 2 g ⋅ 1

( −

)

g

=

s

s

5

s

5

2



2

2









a



b

2





















= 1− (

) 

⋅ K

K

g

+ 1− 1− 



⋅ 1

( −

)

g

=







b + a 

5







 b + a 







5





 

2



2

2









a





2

b  





 b 

  a 









= 1− (

) 

⋅

 + 1− 1− 



⋅









b + a 

 a + b  





 b + a 

  a + b 









 

Michał Kapałka

[e-mail]