Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

1

Michał Kapałka

[e-mail]

Elementy teorii niezawodności

Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne

Jedynym

istotnym

zdarzeniem

w

eksploatacji

obiektu

prostego

nieodnawialnego

jest

chwila

jego

uszkodzenia. Wtedy traci on własność
realizacji przewidzianych funkcji (zadań).

Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia: wykładniczy z parametrem

 



[1/h].

Dlaczego rozkład wykładniczy jest „ahistoryczny”, „bez pamięci” ?

Wyznaczmy wartości prawdopodobieństw:

 



| 



   



| 





    1      1  1  



  



 



| 



 

 





 



 















 



   

 



| 



   



| 



 są takie same i nie zależą od



i

!

.

Niestarzenie się elementu oznacza, że prawdopodobieństwo awarii w danym przedziale czasu nie zależy od wieku

elementu. Określamy tę własność jako brak pamięci rozkładu wykładniczego.

Miary funkcyjne niezawodności

1.

Dystrybuanta

"   #$  

Własności dystrybuanty:
ciągła, niemalejąca,

%∞  0 ,%∞  1

%  (

0

1  



)*+  , 0

)*+  0

-

%0  1  

./

 0 ; %∞  1  

.1

 1

Czy funkcja jest stale rosnąca:

)%

)  



2 3  3



Wartość dystrybuanty

"  określa prawdopodobieństwo, że czas awarii jest mniejszy niż . Czyli, że obiekt się

popsuje do chwili

.

•

Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że uszkodzenie wystąpi do chwili





 



  %





Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

2

Michał Kapałka

[e-mail]

2.

Funkcja niezawodności

4     "   #$  

50  

./

 1 ; 5∞  

.1

 0

6 0: 5 %  1

Wartość funkcji niezawodności

4  określa prawdopodobieństwo, że czas awarii będzie większy niż . Czyli, że

obiekt się nie popsuje do chwili

.

•

Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że uszkodzenie wystąpi po chwili





 , 



  1  %



  5





3.

Gęstość rozkładu zmiennej losowej T,

8 

9 

)%

)  



2 3  3



: 9) 

1

1

:

)%

) ) 

1

/

;%<

/

1

 1  0  1

Wartość funkcji gęstości

8  określa rozłożenie masy prawdopodobieństwa na wszystkich możliwych chwilach

awarii. Czyli, prawdopodobieństwo, że obiekt się popsuje w chwili

.

•

Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że uszkodzenie wystąpi w przedziale



=

, 

?





=

, , 

?

  %

?

  %

=

  : 9)



@



A

4.

Funkcja intensywności uszkodzeń,

 

3 

9

5 

3







 3

funkcja stała, czyli obiekt się nie starzeje, a rozkład
ahistoryczny

Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

3

Michał Kapałka

[e-mail]

5.

Funkcja wiodąca,

B 

Λ  : 3D)D  : 3)D  3 :D)D 



/



/



/

3;D<

/



 3

funkcja ma sens resursu czasu życia wykorzystanego
przez obiekt,
np.:

Λ10

E

  10

F

. 10

E

 0,001 - dla 100000

godzin wykorzystana została dopiero tysięczna część
resursu do awarii.

•

Zadanie 4: Wyznaczyć wykorzystanie resursu życia obiektu do chwili



E

Λ

E



Wyznaczyć kiedy obiekt wykorzysta połowę resursu życia

  Λ



G

1

2I

6.

Warunkowe prawdopodobieństwo braku awarii w przedziale czasu,

4

J

5



K 

5 K

5 



L













L





 

L

Widać, że obiekt jest „bez pamięci”, ponieważ chwila t
nie wpływa na wartość prawdopodobieństwa.

•

Zadanie 5: Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że obiekt nie popsuje się w przedziale czasu



M

, 

M

K jeżeli do

chwili



M

był sprawny

5



N

K  

L

7.

Bezwarunkowe prawdopodobieństwo braku awarii w przedziale czasu,

# , J

,  K  1  : 9D)D 

L



1  ;5  5 K<  1  O



 

L

P  1  



1  

L



;5  5 K<  ;% K  %<

•

Zadanie 6: Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że obiekt nie popsuje się w przedziale czasu



Q

, 

Q

K



Q

, 

Q

K  1  



R

1  

L



Miary liczbowe niezawodności

8.

Wartość oczekiwana czasu do awarii,

S$  T

U   V  : 9) 

1

/

: 3



)  : 5)  : 



) 

1

/

1

/

1

/

W

1

3 



X

/

1



1

3

9.

Wariancja czasu do awarii,

Y$

Z   :;  U <



9) 

1

/



1

3



Ćwiczenia nr 1: Obiekty proste nieodnawialne

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

4

Michał Kapałka

[e-mail]

10.

Odchylenie standardowe czasu do awarii,

[$

\   ]Z   ^:;  U <



9)

1

/



1

3

11.

Kwantyl rzędu p,

_

%

`

  a

%

`

  1  



b

 a





b

 1  a /*d

3

`

 ln1  a



`



1

3 ln1  a

•

Zadanie 7: Wyznaczyć czas do którego obiekt popsuje się z prawdopodobieństwem

a





`





1

3 ln1  a