Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 1

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

Elementy teorii niezawodnoś ci

Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z

zerowym czasem odnowy

Jedynymi

istotnymi

zdarzeniami

w

eksploatacji obiektu prostego odnawialnego z zerowa odnową są chwile uszkodzeń , które przy zerowej odnowie, są jednocześ nie chwilami odnów.

Przyjmujemy rozkład czasu T do uszkodzenia dla strumienia ogólnego:

– rozkład gamma z parametrami a, b t

t

a

1

1

1



−

−

−1 −

*

b 

a

a

bx

a

a

bx

F t

( )

1

= ∫

b x

e

dx =

b ∫ x e dx , f ( s) 1

= 



Γ( a)

Γ( a)

 b + s 

0

0

, … -rozkład Erlanga 2 rzędu z parametrem

n 1

-

(λt) i

i

1

−λ

λt

λ

λ

λ

λ

t

( )

2





− t

− t

− t

*

F (t) = 1− ∑

e

=1− ∑

e

=1 − e − λ te , f ( s) = 



i=0

!

i

i=

!

i

 λ + s 

0

Strumienie odnów

Proste

Ogólne

Wszystkie zmienne losowe , , … mają identyczne

Wszystkie zmienne losowe oprócz mają identyczne rozkłady określone:

rozkłady jak w strumieniu prostym, ma inny rozkład

• dystrybuantą ,

określony:

• gęstością ,

• dystrybuantą ,

• transformatą Laplace’a ,

• gęstością ,

•

wartością oczekiwaną ,

• transformatą Laplace’a ,

• odchyleniem standardowym .

• wartością oczekiwaną ,

• odchyleniem standardowym .

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 2

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

Miary niezawodnościowe

1. Czas do r-tej odnowy

- zmienna losowa dla której:

Dystrybuanta:

Transformata Laplace’a funkcji %&:

∞

Gęstość :

' ( ')*)+)

!

!

∞

Dla strumienia prostego

Dla strumienia ogólnego

! "#

! "#

! "#

! "#

Dla , - ∞ zmienna losowa dąży do rozkładu normalnego ."/ · 1, 2 · √/#

• Zadanie 1: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że 7-me uszkodzenie wystąpi po chwili , 6

a

a

1

1





 b   λ 

1  b   λ 

*

*

P( S ≥ t ) = 1− K ( t ), K ( s) =

f ( s) f ( s)





= 

 



= 

 



7

1

7

1

7

1

(

)

2

12

6

*





s

s  b + s   λ + s 

s  b + s   λ + s 





• Zadanie 2: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że do chwili , będzie co najmniej 5 napraw

4

a

a

1

1





 b   λ 

1  b   λ 

*

*

P( S < t ) = K ( t ), K ( s) =

f ( s) f ( s)





= 

 



= 

 



5

2

5

2

5

1

(

)

2

8

4

*





s

s  b + s   λ + s 

s  b + s   λ + s 





2. Proces stochastyczny 4 - liczba odnowień do chwili t

5., 6 / 5 7 ,

5., 6 / 5 7 , 1 9 8,

5., / 8, 9 8: ,

5., 7 / 5: 6 , 8: ,

5., / 5., 7 / 5., 6 / 1

Dla , - ∞ proces ., dąży do

, "2 ·

. <

√,#

1 ,

=

1

• Zadanie 3: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że do chwili , będzie dokładnie 8 uszkodzeń P( N ( t ) = )

8 = K ( t ) − K ( t ), 3

8

3

9

3

7

8

a

2

a

14

a

2

a

16

1





 b   λ 

1  b   λ 

1





 b   λ 

1  b   λ 

*

K ( s)





= 

 



= 

 



*

K ( s)





= 

 



= 

 



8





s  b + s   λ + s 

s  b + s   λ + s 









9

s  b + s   λ + s 

s  b + s   λ + s 





Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 3

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

3. Funkcja odnowy > - oczekiwana liczba odnowień do chwili t

> ?4

Równanie odnowy:

> > ·

Dla strumienia prostego

Dla strumienia ogólnego

1 BA

1 BA

@A

A 1 9 BA

@A A 1 9 BA

4. Gęstość odnowy C

E@,

D, E,

Dla strumienia prostego

Dla strumienia ogólnego

BA

BA

@A

1 9 BA

@A 1 9 BA

• Zadanie 4: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę napraw do chwili ,F



a

b 





*

1

f

s

b +

1 (

)

1



s 

*

H ( t ) = ?, H ( s) =

=

4

*

2

s 1 − f ( s)

s

 λ 

1 − 



 λ + s 

• Zadanie 5: Wyznaczyć oczekiwaną liczbę uszkodzeń w przedziale czasu ,G, ,H

@,H 9 @,G ?

Jak w poprzednim punkcie.

5. Miary graniczne dla - ∞ @, 1

,

lim

N-O , 1 ; EQR ESżUVD ,: @, 1

\

Tw. Blackwella

XYZ[> \ 9 > ]

-O

• Zadanie 6: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę uszkodzeń w przedziale ,^, ,_

lim( H t

( )

R ,

/. `/QRb%R

8

− H( )

7 ) = a

t

_ 9 ,^, Θ ` λ

t 7 ∞

→

Θ

t − t

λ

8

7

lim( H ( t ) − H ( t ) =

=

t − t

8

7 )

(

)

t

∞

→

7

2

2 8

7

λ

• Zadanie 7: Wyznaczyć oczekiwaną graniczną liczbę napraw do chwili ,c lim H ( ) = t

t

t→∞

Θ

@,c 2 ,c

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 4

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

• Zadanie 8: Wyznaczyć rozkład granicznej liczby uszkodzeń w chwili , e σ

N ( t) → N ( m,σ '), gdzie

= t

m

, σ ' =

t , pamiętamy, że dla rozkładu Erlanga σ √

3

λ

t→∞

Θ

2

Θ













2









 t

σ t

λ

λ

λ t

λ t

10

10 

zatem N(t

 10

10 

N

,

= N t ,

t 

N

3

10

3

10

=

10) dąży do rozkładu



,



 Θ



 2



2

2



Θ2 

 2 2







 





 λ 



• Zadanie 9: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że do chwili , będzie co najmniej 50

uszkodzeń

P( S

< t ) = K ( t ) ≅ F

( t )

50

11

50

11

normalny

11





100

100

Ge fgh ."50 · 1, 2 · √50# , N ( m,σ ') = N (50Θ,σ 50 )





= N

,

N-O





 λ

λ 

• Zadanie 10: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że do chwili , będzie mniej niż 100 napraw

P( S

≥ t ) = 1− K ( t ) ≅ 1− F

( t )

100

12

100

12

normalny

12





200 10 2

ee fgh ."100 · 1, 2 · √100# N ( , m σ ') = N (100Θ,σ 100)





= N

,

N-O





λ

λ





6. Prawdopodobieństwo k , \braku uszkodzenia w przedziale , \

k , \ 9 \ ([ 9 \ 9 )]C)+)

l

Tw. Smitha

O

XYZ ( mn 9 oC)+)

-O

( 'p+p

l

q

Prawdopodobieństwo graniczne braku uszkodzenia w przedziale ,, , r

O

5r XYZ5,, , r

-O

([1 9 sU] +t

\

• Zadanie 11: Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że w przedziale (t13,t14) nie będzie uszkodzeń t

P( t , t

1 F ( t )

1 F ( t

τ ) h(τ ) dτ

13

14 )

13

= − 1 14 + ∫[ −

14 −

]

0



a

b 





 b + s 

h(t) wyznaczamy z formuły

*

h

( s) =

, zatem h(t)=λ, więc

2

 λ 

1− 



 λ + s 

t

t

14

13

1

−λ ( t −

a

a−1 − bx

−λ(

τ

1

t 4 −

)

14

P( t , t

1

b

x

e

dx

e

λ

τ

( t

τ ) e

h(τ ) dτ

14

13 ) =

−

∫

+ ∫[

) +

14 −

]

Γ( a)

0

0

Michał Kapałka

[e-mail]

Ćwiczenia nr 3: Obiekty proste odnawialne z zerowym czasem odnowy 5

Elementy teorii niezawodności, ćwiczenia

• Zadanie 12: Wyznaczyć graniczne prawdopodobieństwo tego, że w przedziale czasu (t15,t16) nie będzie uszkodzeń

ze wzoru

O

k\ ([1 9 s,] +

\

∞

∞

∞

1

2

−

λ

λ

t

λ

−λ t

−λ t

−λ

mamy P(

t

t

t

e

λ te dt

e

dt

te

dt

16 − 15 ) =

∫

+

=

∫

+

∫

θ

2

2

1

t 6 − 1

t 5

1

t 6 − 1

t 5

1

t 6 − 1

t 5

Uwaga:

1

b

( &uvwxE& R&uvwx 9R(&u vwxE& 7. Pozostały czas zdatności y , jeśli od ostatniej odnowy minął czas t

5zN 7 r 5,, , r

y k , \ 9

\ ([ 9 \ 9 )]C)+)

l

Dla dużych t:

O

y ([1 9 sU] +t

\

O

1 2

`z ( 5rEr 2 21

e

Michał Kapałka

[e-mail]