Ćwiczenia 4

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia Ćwiczenia nr 4. Model systemu wielostanowego

1. Podstawy

Założenia:

- elementy dwustanowe w sensie niezawodności o wykładniczych rozkładach czasów poprawnej pracy i odnowy (model Markowa);

- system wielostanowy w sensie niezawodności, a jego stany definiowane są stanami elementów.

Dowolny stan systemu opisany jest stanami jego elementów, czyli wektorem x = x ,..., x ,..., x 1

i

n

Poszczególne, zdefiniowane wcześniej stany niezawodnościowe systemu stanowią podzbiory stanów jego elementów, czyli podzbiory wektorów x. Zatem przechodzenie procesu zmian stanów systemu wynika jednoznacznie z procesów przechodzenia elementów pomiędzy swoimi stanami. Przy założeniu o wykładniczym charakterze rozkładu czasu przechodzenia do kolejnych stanów i przebywania w stanach rozkłady łączne procesu zmian definiuje się za pomocą macierzy intensywności przejść. W efekcie uzyskać można metodą równań stanów charakterystyki chwilowe lub graniczne prawdopodobieństw przebywania procesu w poszczególnych stanach, z których z kolei wyznacza się kolejne istotne wartości miar niezawodnościowych systemu.

Arkadiusz Wrzosk

1

[e-mail]

Ćwiczenia 4

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia Zadanie 1

Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, pasywną, przesuwającą się złożoną z elementów identycznych, odnawialnych. Schemat blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku. Uszkodzony element naprawiany jest przez jednego konserwatora. Najpierw naprawiane są elementy podstawowe, a dopiero później nadmiarowy.

Element 3 stanowi redundancję pasywną, przesuwającą się, dla elementów 1 i 2.

Zatem

− at

F t

( ) = F t

( ) = 1 − e

i

− bt

G t

( ) = G t

( ) = 1 − e

i

1 konserwator

Graf stanów procesu

Stan

-3a

zdatności

1

111

2a

a

-(2a+b)

b

b

2

3

011

101

110

-(2a+b)

a

a

b

2a

4

b

5

-(a+b)

001

010

100

b

6

a

-(a+b)

a

000

Stan

-b

awarii

Uwaga:

- intensywności (pętle) na wierzchołkach grafu to minus suma intensywności wychodzących z wierzchołka.

- suma intensywności „a” wychodzących ze stanu jest równa liczbie elementów w stanie zdatności w tym stanie

- suma intensywności „b” wychodzących ze stanu powinna być równa liczbie konserwatorów

- z każdego stanu istnieje „wyjście” o intensywności „b”

Równania stanu są sposobem na reprezentację modelu matematycznego układu dynamicznego. Jest to układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, rozwiązanych względem pierwszych pochodnych.

Dla obwodu zawierającego n stanów można sformułować n równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Arkadiusz Wrzosk

2

[e-mail]

Ćwiczenia 4

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia

Układ równań różniczkowych stanu (Kołmogorowa)

 d



p ( t) = −3 ap ( t) + bp ( t) + bp ( t) 1

1

2

3

 dt

 d



p ( t) = 2 ap ( t) − (2 a + b) p ( t) + bp ( t) 2

1

2

4

dt

 d p ( t) = ap ( t)−(2 a+ b) p ( t)+ bp ( t)



3

1

3

5

 dt

 d p ( t) = ap ( t) − ( a + b) p ( t)



4

2

4

dt

 d p ( t) = ap ( t)+ 2 ap ( t)−( a+ b) p ( t)+ bp ( t)



5

2

3

5

6

dt

 d



p ( t) = ap ( t) + ap ( t) − bp ( t)



6

4

5

6

dt

Aby układ równań miał rozwiązanie zamiast jednego z równań wstawiamy równanie normalizujące:

p ( t) + p ( t) + p ( t) + p ( t) + p ( t) + p ( t) = 1

1

2

3

4

5

6

Oraz warunek początkowy

p(0) = (0. 0

,

5 .

,

0

,

0

,

5

,

0 0)

Równania te można rozwiązać stosując transformatę Laplace’a.

 d



L

f ( t)

*

 = sf ( s) − f (0)

 dt



L{ f

∫ ( t dt} 1

)

*

=

f ( s)

s

{

L }

a

a =

s

 p ( s) − 0 5

. = −3 ap ( s) + bp ( s) + bp ( s)

 1

1

2

3

 p ( s) − 0.5 = 2 ap ( s) − (2 a + b) p ( s) + bp ( s) 2

1

2

4

 p ( s) − 0 = ap ( s) − (2 a + b) p ( s) + bp ( s)

 3

1

3

5

 p ( s) − 0 = ap ( s) − ( a + b) p ( s) 4

2

4

 p ( s) − 0 = ap ( s) + 2 ap ( s) − ( a + b) p ( s) + bp ( s)

 5

2

3

5

6

 p ( s) − 0 = ap ( s) + ap ( s) − bp ( s) 6

4

5

6

Warunek normalizujący

1

p ( s) + p ( s) + p ( s) + p ( s) + p ( s) + p ( s) =

1

2

3

4

5

6

s

Arkadiusz Wrzosk

3

[e-mail]

Ćwiczenia 4

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy wektor p( t) = ( p ( t), p ( t), p ( t), p ( t), p ( t), p ( t)) 1

2

3

4

5

6

będący podstawa obliczania charakterystyk niezawodnościowych wielostanowego w sensie niezawodności systemu.

System jest zdatny w stanach 1,2 i 3, więc

*

k ( t)

g

p ( t) + p ( t) + p ( t) 1

2

3

η

=

=

k ( t )

g

k ( t)

k ( t) k ( t)

g

g 1

g 2

Chcąc uzyskać charakterystyki graniczne przekształcamy uzyskany układ równań Prawdopodobieństwo graniczne

p = lim p ( t)

i

i

t →∞

oraz

d

d

d

lim

p ( t) =

lim p ( t) =

p = 0

i

i

i

t →∞

t →∞

dt

dt

dt

0 = −3 ap + bp + bp



1

2

3

0 = 2 ap − (2 a + b) p + bp 1

2

4

0 = ap − (2 a + b) p + bp



1

3

5

0 = ap − ( a + b) p 2

4

0 = ap + 2 ap − ( a + b) p + bp



2

3

5

6

0 = ap + ap − bp

4

5

6

Ten układ równań liniowych można rozwiązać np. metodą Gaussa. Otrzymujemy wtedy wektor

p = ( p , p , p , p , p , p ) 1

2

3

4

5

6

granicznych prawdopodobieństw będący podstawa obliczania granicznych charakterystyk niezawodnościowych wielostanowego w sensie niezawodności systemu.

System jest zdatny w stanach 1,2 i 3.

*

Kg

p + p + p

1

2

3

η

( t) =

=

K g

K

K K

g

g 1

g 2

Arkadiusz Wrzosk

4

[e-mail]

Ćwiczenia 4

Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia Zadanie 2

Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, pasywną złożoną z elementów identycznych, odnawialnych. Schemat blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku. Uszkodzony element naprawiany jest przez jednego konserwatora. Najpierw naprawiane są elementy podstawowe, a dopiero później nadmiarowe.

Elementy 3 i 4 stanowi redundancję pasywną, dla elementów 1 i 2.

Zatem

− at

F t

( ) = F t

( ) = 1 − e

i

− bt

G t

( ) = G t

( ) = 1 − e

i

1 konserwator

Graf stanów procesu

Stan

1

zdatności

1111

2a

2a

b

b

3

2

0111

1101

1011

1110

a

b

a

b

a

a

a

b

2a

6

4

5

b

0011

1001

1100

0110

7

0101

a

1010

2a

b

a

a

2a

b

b

a

8

9

0010

0100

0001

1000

a

a

b

10

0000

Stan awarii

Uwaga: intensywności (pętle) na wierzchołkach grafu to minus suma intensywności wychodzących z wierzchołka.

Arkadiusz Wrzosk

5

[e-mail]