RUCH OBROTOWY
Kinematyka ruchu obrotowego
Ruch jednostajny po okregu
ω = const
v
v
r
r
bo
r i v = const
v = const
r
s
∆
v ≠ const
ω
r
a
∆ α
t
ad
r
a
v
ad
∆ s
s
∆
∆ s = r∆ α
sin α =
⇒ ∆ α =
⇒
Przyspieszenie
r
r
r
r
r
∆
a = a + a
s = r∆ α
t
d
2
2
ds
r∆ α
∆ α
dα
2
dv
v
v =
=
i
ω =
=
2
2
a = a
t
+ ad = +
dt
∆ t
∆ t
dt
dt
r
v = rω
r
r r
Przyspieszenie styczne
v = ω × r
w notacji wektorowej
dv
a =
ale
v = rω
t
ω =
= α
ω d
dt
const
⇒ α
d
= ωdt
dt
dω
d 2 α
a = r
=
= rε
t
2
α = ∫ ω
dt
dt
dt = ωt + α 0
gdzie
Ruch po okregu - ruch okresowy dω
ε =
= s 2 π
dt
v
=
r
bo
s = 2 r
π
v = rω
t
T
Przyspieszenie dosrodkowe
2
oraz
d α
a =
d
dt 2
= α
ω
= 2 π =
2 πn bo α = 2 π
2
v 2
t
T
a = ω r = ωv =
d
1
1
r
f =
Hz =
T
s
Ruch jednostajnie przyspieszony (ε>0) i opóznionym (ε<0), ε=const
= ω
ε d ⇒ ω
d
= εdt
ω =
dt
∫ εdt = εt + ω 0
= α
ω d ⇒ α = ωdt = ( εt + ω ) dt
∫
∫
dt = 1
2
εt
ω t α
0
+ 0 + 0
2
1
Dynamika ruchu obrotowego
Moment pedu czastki
r
y
L = ω r
I
r
r
L =
r
r × p,
L = rp sin θ
L
Moment sily czastki
r
r
r
dp
d ( v
m )
r
F =
=
× r,
dt
dt r
r
r
r d ( v
m )
r × F = r ×
,
0
x
dt
r
r
r
r
(
)
r
r
p
d
v
m
M = r ×
= r × F
z
dt
m
θ
os obrotu
r
A
B
0
F2
F1
F
r
r
r
Rózniczkujac po dt równanie na moment pedu L = r × p
r
r
r
r
r
r
dL
d ( r × p) dr
r
r dp
dr
r
=
= (
× p) + r
( ×
),
ale
= v
dt
dt
dt
dt
dt
r
r
dL
r
r
r d ( v
m )
= ( v × v
m ) + r
( ×
)
dt
dt
r
r
r r
0
r r
( v × v
m ) = 0, bo v × v = v ⋅ v ⋅ sin 0 = 0, v v r
dL
r
d
r
r
r
d
r
= r × ( mv) i M = r × ( mv), dt
dt
dt
r
r
dL
czyli
M =
dt
r
r
r
M = r × F
M = rF sin θ
Cialo sztywne - ruch srodka masy r
r
F
= Ma
zew
2
Równanie ruchu - II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ciala r
r
L
d
M
=
zew
dt
r
r
r
r
r
L
d
d ( ω r
I )
ω r
d
r
M = ε r
I
M = ε
I
lub
M =
=
= I
= Iε
dt
dt
dt
I – moment bezwladnosci
2
I = Σmiri ,
I = ∫r2dm = ∫ρr2dV, dm=ρdV,
ω
m
Twierdzenie Steinera
r
i
i
2
I = I + md
0
ri
Zasada zachowania momentu pedu
r
r
L
d
r
M
= 0 wtedy
= 0 i L = const
zew
dt
Calkowity moment pedu ukladu izolowanego r
r
r
r
r
L =
r
∑ × = ∑ × =
i
pi
ri mvi
const
i
i
Np. Zachowanie momentu pedu pojedynczego ciala - dla planety na orbicie wokól Slonca r
r
r
L = r × p
r
r
r
dL
dr
r
r dp
r
=
×
r
r
r
p + r ×
= v × p + r × F
dt
dt
dt
r
r
r r
v × p = 0
gdyz
v p
r
r
r
r
r × F = 0
gdyz
r F
r
dL
r
= 0 czyli L = const dt
Ruch prostoliniowy i obrotowy – analogie RUCH PROSTOLINIOWY
RUCH OBROTOWY
Przemieszczenie
x
Przemieszczenie katowe
α
Predkosc
v = dx/dt
Predkosc katowa
ω = dα/dt
Przyspieszenie
a = dv/dt
Przyspieszenie katowe
ε = dω/dt
Masa
m
Moment bezwladnosci
I
Sila
F = ma
Moment sily
M = Iε
Praca
W = ∫F dx
Praca
W = ∫M dθ
Energia kinetyczna
Ek = ½mv2
Energia kinetyczna
Ek = ½Iω2
Moc
P = Fv
Moc
P = Mω
Ped
p = mv
Moment pedu
L = Iω
3
Sily bezwladnosci (lub sily pozorne) - uklad nieinercjalny ma = F + FB
F* = - ma*
F* = Fod + Fc
2
v 2
F
= mωv = mω r = m od
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
F
= m ω
( × v) = m ω
[ × ω
( × r )] bo v = ω × r od
gdzie
2
v 2
F
= mω r = m
od
r
2
v
F = 2 mωv = 2
2
mω r = 2 m
c
r
r
r r
F = 2 m( ω × v) c
Fc = 2mωv
bo
Fc prostopadla do v i ω
przy czym
F0 – sila odsrodkowa
Fc – sila Coriolisa
Sila Coriolisa
s
v =
⇒ s = vt i s = AB
t
Sila Coriolisa
r
2
v = ωr, v =
⇒ s = ωrt = ωvt i
AB = ωvt
t
1
1
B
2
2
s =
at
i
AB =
2 ωvt
ω
2
2
A
0
2
a = 2
=
=
v
c
ω
v
ana log icznie
F
ma
m 2
c
ω
v
r
r
r
r
r r
a = (
2 ω × v)
F = 2 (
m ω × v )
c
c
Sila odsrodkowa
Droga kuli po czasie t wynosi s = K1M1
K
K1
K2
K
2
2
s
102 = K1M0 + 0M0 , ale
K10 = K1M + 0M1
M
czyli K
M1
10 = s + r,
K1M0 = vt
0
(s + r)2 = (vt)2 + r2
r
M2
s2 + 2sr + r2 = v2t2 + r2
2sr = v2t2
s = ½v2t2/r
analogia do
s = ½at2
0
aod = v2/r
Fod = mv2/r
4