40

RUCH OBROTOWY

Moment siły

Moment siły jest iloczynem wektorowym ramienia działania i siły.

F

r

M

r

r

r

×

=

Wektor momentu siły jest skierowany wzdłuż
osi obrotu, a jego zwrot jest określony przez
kierunek przesuwania się śruby obracanej tak
jak obraca się bryła.

Wartość momentu siły wynosi:

M

rF

====

sin

αααα

r

R

sin

αααα ====

M

F R

==== ⋅⋅⋅⋅

Warunek równowagi bryły

Rozważamy bryłę sztywną pozostającą
początkowo w spoczynku, na którą działają
siły F

1

, F

2

, i F

3

. Momenty sił F

1

i F

2

mają

zwrot przed płaszczyznę rysunku, a
moment siły F

3

ma zwrot za płaszczyznę

rysunku. Jeśli suma wektorowa momentów
sił działających na bryłę jest równa zeru, to
bryła pozostaje w spoczynku. Ten stan jest
określony przez warunek:

0

M

M

M

3

2

1

====

++++

++++

r

r

r

Oznacza to, że bryła pozostaje w
równowadze,

jeśli

suma

wartości

momentów sił obracających bryłę w prawo jest równa sumie wartości momentów sił
obracających w lewo. W tym przypadku jest to warunek skalarny:

M

3

= M

1

+ M

2

,

lub: F

3

R

3

= F

1

R

1

+ F

2

R

2

Spełnienie powyższego warunku oznacza, że bryła będzie w równowadze ale może
mieć miejsce ruch postępowy. O ruchu postępowym decyduje wypadkowa sił
działających na bryłę. Aby nie wystąpił również ruch postępowy, musi być spełniony
warunek:

r

r

r

M

⊗

⊗

⊗

⊗

R

r

F

αααα

F

1

R

3

R

1

F

3

••••

••••

••••

F

2

R

2

••••

41

0

F

F

F

3

2

1

====

++++

++++

r

r

r

Przedstawione warunki wyrażają pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego i
dla ruchu postępowego.

Przyspieszenie kątowe

Rozważamy bryłę sztywną, która obraca się z rosnącą prędkością kątową. Punkt
odległy o r od osi obrotu ma prędkość liniową

V

r

.

Przyspieszeniem kątowym bryły jest wektor skierowany
wzdłuż osi obrotu, określony jako pochodna prędkości
kątowej po czasie:

dt

d

ω

ω

ω

ω

====

εεεε

v

r

Pomiędzy prędkością liniową i prędkością kątową istnieje
związek:

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

V

r

d

dV

r

εεεε ====

dV

rdt

;

dV

dt

a

====

εεεε ====

a

r

;

r

a

r

r

r

××××

εεεε

====

Moment bezwładności

Każdą bryłę można traktować jako zbiór nieskończenie wielu punktów materialnych.

Przez moment bezwładności bryły rozumiemy sumę
nieskończenie wielu iloczynów :

I

dm r

dm r

dm r

====

++++

++++

++++

1 1

2

2 2

2

3 3

2

. . . . . . . .

I

dm r

i i

i

====

====

∞

∞

∞

∞

∑

∑

∑

∑

2

1

Sumowanie musi rozciągać się na wszystkie punkty bryły. Do obliczania takich sum
jest wykorzystywany rachunek całkowy.

r

ω

ω

ω

ω

r

a

r

εεεε

r

V

r

dm

42

1. Moment bezwładności punktu, cienkiej obręczy lub rury

W przypadku punktu, cienkościennej obręczy lub rury, cała masa znajduje się w tej
samej odległości od osi obrotu. Suma określająca moment bezwładności sprowadza
się zatem do jednego składnika i wynosi:

I

mr

====

2

2. Moment bezwładności cienkiego, jednorodnego pręta.

Rozważamy pręt o masie m i długości l obracający się wokół osi przechodzącej

przez

jeden

z

końców

pręta.

Moment

bezwładności elementu masy (dm) jest równy:

dI

dmx

====

2

dm

m

dx

l

dm

m

l

dx

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

dI

m

l

x dx

====

2

dI

f x dx

====

( )

f x

m

l

x

( )

====

2

I

dI

====

∑

∑

∑

∑

I

m

l

x dx

m

l

x dx

m

l

x

m

l

l

l

l

l

====

====

====













====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

2

0

2

0

3

0

3

3

3

I

ml

====

2

3

3. Moment bezwładności jednorodnego walca.

Jednorodny walec można podzielić na
cienkościenne rurki o masie dm ,
promieniu r i grubości dr. Moment
bezwładności takiej rurki wynosi:

dI

dmr

====

2

r

r

m

m

r

m

x

dx

dm

m l

m R l

dr

dm

r

43

dm

m

rldr

R l

rdr

R

====

====

ρρρρ ππππ

ρπ

ρπ

ρπ

ρπ

2

2

2

2

dm

mrdr

R

====

2

2

dI

m

R

r dr

====

2

2

3

I

dI

m

R

r dr

m

R

r

m

R

R

R

R

====

====

====













====

∫∫∫∫

∑

∑

∑

∑

2

2

4

2

4

2

3

2

0

4

0

2

4

I

mR

====

2

2

4. Moment bezwładności jednorodnej kuli.

Kulę można podzielić na cienkie krążki o masie

dm

, promieniu y i grubości

dx

.

Moment bezwładności takiego krążka wynosi:

dI

dmy

====

2

2

dm

m

y dx

R

====

ρπ

ρπ

ρπ

ρπ

ρρρρ ππππ

2

3

4

3

((((

))))

dm

m y dx

R

R

x

mdx

R

====

====

−−−−

3

4

3

4

2

3

2

2

3

((((

))))

dI

m

R

R

x

dx

====

−−−−

3

8

3

2

2

((((

))))

I

dI

m

R

R

x

dx

R

R

====

====

−−−−

∑

∑

∑

∑

∫∫∫∫

−−−−

3

8

3

2

2

2

((((

))))

((((

))))

I

m

R

R

R x

x

dx

m

R

R

R

R

m

R

R

R

====

−−−−

++++

====

−−−−

++++











====

−−−− ++++

∫∫∫∫

2

3

8

2

3

4

2

3

1

5

3

4

15

15

8

3

3

4

2

2

4

3

0

5

5

5

3

5

I

mR

====

2

5

2

5. Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności pewnej bryły względem osi przechodzącej przez środek masy
tej bryły wynosi I

0

, a względem innej osi , równoległej do pierwszej i położonej w

odległości r wynosi I. Twierdzenie Steinera określa związek między tymi
momentami:

(x,y)

R

dx

x

44

I

I

mr

====

++++

0

2

Korzystając z twierdzenia Steinera i posługując się
metodą tzw. analizy wymiarowej, można wyprowadzić
wzór określający moment bezwładności cienkiego,
jednorodnego pręta. Moment bezwładności ma wymiar
kg m

2

, a zatem dla pręta o masie m i długości l musi być

wyrażony wzorem:

I = k m l

2

, gdzie k - współczynnik o nieznanej wartości.

Pomiędzy momentami bezwładności względem zaznaczonych osi zachodzi związek:

I

I

m

l

====

++++

0

2

4

kml

k

m l

m

l

k

2

2

2

2

2 4

4

1

3

====

++++

⇒

⇒

⇒

⇒

====

I

ml

====

2

3

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Przyspieszenie kątowe ciała jest wprost proporcjonalne do momentu działającej
siły i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności.

I

M

r

r

====

εεεε

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Jeśli na ciało działa kilka sił, to M oznacza wypadkowy moment wszystkich sił
działających na ciało.

Bryła jest zbiorem punktów o masie dm. Energia kinetyczna jednego punktu bryły
wynosi:

dE

dmV

k

====

2

2

V

r

==== ω

ω

ω

ω

dE

dm

r

k

====

1

2

2

2

ω

ω

ω

ω

Energia kinetyczna bryły stanowi sumę energii
kinetycznych poszczególnych jej punktów.

E

dm

r

dmr

k

====

====

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

1

2

1

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

m

I

0

I

r

1 / 2 l 1 / 2 m 1 / 2 l 1 / 2 m

r

ω

ω

ω

ω

dm

r

V

45

dmr

I

2

∑

∑

∑

∑

====

E

I

k

==== ω

ω

ω

ω

2

2

Toczenie się jest szczególnym ruchem obrotowym. Oś obrotu toczącego się ciała
przechodzi przez punkt styczności z podłożem.

E

I

k

==== ω

ω

ω

ω

2

2

I

I

mr

====

++++

0

2

((((

))))

E

I

mr

I

mr

k

====

++++

====

++++

0

2

2

0

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

r

V

ω

ω

ω

ω ====

E

I

mV

k

====

++++

0

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

Toczenie się można zatem traktować jako złożenie ruchu postępowego i ruchu
obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy ciała. Energia toczącego się
ciała stanowi sumę energii ruchu obrotowego i energii ruchu postępowego.

1.Energia kinetyczna toczącej się obręczy. (I

0

= m r

2

)

E

mr

mV

k

====

++++

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

E

mV

k

====

2

2.Energia kinetyczna toczącego się walca.

I

mr

0

2

2

====

E

mr

mV

k

====

++++

2

2

2

4

2

ω

ω

ω

ω

E

mV

k

====

3

4

2

3.Energia kinetyczna toczącej się kuli.

I

0

I

r

V

r

V

r

V

46

I

mr

0

2

2

5

====

E

mr

mV

k

====

++++

2

10

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

E

mV

k

====

7

10

2

Moment pędu bryły

Punkt bryły o masie dm poruszający się z prędkością V ma moment pędu:

dK

dmVr

dm r

====

====

ω

ω

ω

ω

2

Moment pędu bryły stanowi sumę momentów pędu
poszczególnych jej punktów.

K

dK

dm r

====

====

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

ω

ω

ω

ω

2

ω

ω

ω

ω

====

r

r

I

K

Kierunek i zwrot momentu pędu bryły jest zgodny z
kierunkiem i zwrotem wektora prędkości kątowej.

Zasada zachowania momentu pędu.

Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

ω

ω

ω

ω

====

⇒

⇒

⇒

⇒

ω

ω

ω

ω

====

ω

ω

ω

ω

====

εεεε

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

εεεε

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Id

K

d

I

K

I

dt

d

I

M

I

M

.

const

K

0

K

d

0

M

dt

K

d

M

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

====

r

r

r

r

r

Jeśli na bryłę działają siły. których wypadkowy moment jest równy zeru, to moment
pędu bryły pozostaje stały.

W szczególności momentu pędu nie mogą zmienić tzw. siły centralne, tj. siły,
których prosta działania przechodzi przez oś obrotu. Nie mogą również zmienić

r

V

dm

r

d

K

r

r

ω

ω

ω

ω

r

V

47

momentu pędu siły wewnętrzne, tj. siły działające między różnymi punktami tego
samego ciała.