Rozkład normalny

Spotkanie 3

Rozkład normalny

Na osi odciętych mamy możliwe wartości zmiennej X

Na osi rzędnych widzimy gęstość –
częstość występowania danych wartości

Rozkład jednomodalny

Charakterystyki rozkładu
normalnego



Krańce rozkładu normalnego stykają się
z osią x w nieskończoności



Ma kształt dzwonu, jest symetryczny
wokół średniej



Jest funkcją średniej i odchylenia
standardowego



Znając średnią i odchylenie standardowe
możemy wyznaczyć krzywą rozkładu
normalnego

Powinien być symetryczny wokół
średniej

Średnia,
mediana i
modalna są
sobie równe

Wszystkie są
symetryczne,
chociaż, nie są
takie same,
różnią się
rozproszeniem
wyników,
spiczatością

Rozład normalny może nie tylko być przesunięty w lewo
lub prawo ze względu na średnią, ale i rozciągnięty lub
ściśnięty przez odchylenie standardowe

Standaryzowany rozkład
normalny



Rozkłady zależą od wartości średniej i odchylenia

standardowego, wygodnie jest więc wystandaryzować nasz

rozkład,



aby móc, np powiedzieć jaki procent obserwacji leży poniżej lub

powyżej pewnego wyniku, jakie jest prawdopodobieństwo

uzyskania wyniku z danego przedziału



Można to odczytać z tabel dla wystandaryzowanego rozkładu

normalnego



Zamieniamy wszystkie wartości X na wartości standaryzowane

z



tak, aby średnia wynosiła 0, a odchylenie standardowe równało się

1



Powierzchnia pod krzywą jest

równa 1

Sposób na rozkład normalny



Im bardziej zwiększamy naszą próbkę,
dodajemy obserwacje, tym bardziej
zbliża się on do normalnego



http://www.seeingstatistics.com

68% przypadków mieści się w ramach 1 odchylenia od średniej (-1; 1)
Między 1 a 2 odchyleniem – 13,5%
Około 95% w 2 odchyleniach od średniej, w 3 odchyleniach – około 99%

Możemy określić prawdopodobieństwo uzyskania wyniku z danego przedziału
Cała powierzchnia pod krzywą to 100%, więc do średniej (mediany) mamy 50%

Wartości „z”



W celu porównania wyników, np który
jest wyższy, czy zaszła zmiana w
stosunku do obiektu postawy,



przekształca się wyniki surowe na wyniki
wyrażone w jednostkach odchylenia
standardowego



są to wyniki standardowe czy
standaryzowane (SPSS),

wartości „z”

Standaryzacja wyników



Proste przekształcenie liniowe X



Wartość standaryzowana “z” danego
wyniku “X” = wynik surowy (X) minus
średnia dzielone przez odchylenie
standardowe

SD

X

X

z





Właściwości wyników
standaryzowanych “z” dla
próby



Średnia danych wystandaryzowanych jest

równa 0



Wariancja (i odchylenie standardowe) dla

danych wystandaryzowanych jest równa 1



wyniki dokładnie równe średniej



są równe zeru



wartości „z” zbliżone do średniej



są bliskie wartości “0”



wartości “z” mniejsze od średniej



są ujemne



wyniki “z” większe od średniej



są dodatnie

Ćwiczenie



Józia w teście praktycznym na kierowcę
skutera dostała 20 punktów



(średnia w grupie zdających wyniosła 25,
odchylenie standardowe 5).



Natomiast w teście teoretycznej wiedzy
o pojazdach mechanicznych dostała 10
punkty (średnia w grupie wyniosła 12,
wariancja 4)



W którym teście wypadła lepiej?

odpowiedź

1

2

12

10

1

5

25

20





















z

z

SD

X

X

z

Ćwiczenie



Hrabina Zenobia de’Ouhę w teście
znajomości zasad savoir-vivre’u
otrzymała 20 punktów



(średnia w badanej grupie hrabin wyniosła
25, odchylenie standardowe 5).



Natomiast w teście teoretycznej wiedzy
o tańcach towarzyskich dostała 5
punkty (średnia w grupie wyniosła 3,
odchylenie standardowe 2)



Na czym hrabina zna się lepiej?

odpowiedź



Widać, że
hrabinie lepiej
wychodziło
tańczenie niż
dobre obyczaje

1

2

3

5

...

tan

1

5

25

20

...



















z

z

savoir

SD

X

X

z

Tabele wartości z



Korzystamy z tabel, aby znaleźć obszar pod krzywą

normalną, w tabeli są tylko pozytywne wartości z

(ale skoro rozkład jest symetryczny to to samo

odnosi się do wartości ujemnych z)

0,0668

Mniejsza

część

0,4332

od średniej

do wartości

z

Większa część

pod krzywą

normalną

0,9332

Patrząc na Tabele wartości z



Możemy obliczyć dokładnie



Jaki procent obserwacji będzie mieścił się w przedziale

między dowolnymi dwoma punktami na krzywej

normalnej wyrażonymi w wartościach z



Np procent między z= -1,5 a z= -1.0



Powierzchnia między średnią a z=-1,5 = 0.4332



Powierzchnia między średnią a z=-1.0 =

0.3413



Odejmujemy obszary 0.0919



Widzimy, że około 9% obserwacji będzie mieściło się

w przedziale między z = -1.0 and z = -1.5

Patrząc na Tabele wartości z



Możemy obliczyć dokładnie



Jaki procent obserwacji będzie mieścił się w przedziale

między dowolnymi dwoma punktami na krzywej

normalnej wyrażonymi w wartościach z



Np procent między z= -1,5 a z= 1.0



Powierzchnia między średnią a z=-1,5 =

0.4332



Powierzchnia między średnią a z=1.0 =

0.3413



Dodajemy obszary 0.7745



Widzimy, że około 77% obserwacji będzie mieściło się

w przedziale między z = 1.0 and z = -1.5

Wracając do surowych
wyników x



Załóżmy że M= 100
and SD = 15,



77% populacji mieści
się w granicach



(85, 122.5)

5

,

122

15

5

,

1

100

85

15

0

,

1

100



























x

x

SD

z

M

x

M

SD

x

z

Przykład 2, procent przypadków



Jaki procent obserwacji znajduje się
między z = 0,70 i z = -1.70



Od M do z=0,70 jest 0,2580 czyli 25,80%



Od M do z=-1,70 jest 0,4554 czyli 45,54%,



A ponieważ są po różnych stronach rozkładu
dodajemy procenty i wychodzi 71,34%



Dokładnie 71,34% przypadków znajduje
się między z = 0,70 i z = -1.70

Przedziały



W ostatnim przykładzie M=100, SD=15



Chcemy odciąć skrajne 2,5% obserwacji z

każdego krańca rozkładu (2,5% osób o

najwyższym ilorazie int i 2,5% o najniższym) –

osoby z jakimi wynikami odetniemy



Sprawdzamy w tabeli wartości z



z = + 1.96

6

,

70

15

96

.

1

100

4

,

129

15

96

.

1

100

















x

x

SD

z

M

x







Procent wyników w danym
przedziale



Szukamy przedziału w którym będzie
mieściło się 95% wyników.



W naszym przykładzie 95% wyników
będzie się mieścić w przedziale (70,6;
129,4)



Stąd w 95% przypadków wynik losowo
wybranej z populacji osoby będzie się
mieścić w tym przedziale

95% wyników
mieści się w tym
przedziale

z=1,9

6

z=-

1,96

POPULACJA

POPULACJA

PRÓBA

PRÓBA

Losowanie próby

1

X

2

X

4

X

3

X



(statystyka w próbie)







X

Średnia z próby średnich

Średnia z próby średnich

N

X







Błąd standardowy średniej

Błąd standardowy średniej

N

s

s

X



Oszacowanie błędu standardowego średniej

Oszacowanie błędu standardowego średniej

POPULACJA

POPULACJA

PRÓBA

PRÓBA

Losowanie prób

1

X

2

X

4

X

3

X



1

X

2

X

4

X

3

X

n

X

Standaryzujemy naszą średnią i
porównujemy ze standaryzowanym
rozkładem normalnym

STANDARYZOWANY ROZKŁAD NORMALNY

STANDARYZOWANY ROZKŁAD NORMALNY

Teoretyczny ROZKŁAD ŚREDNIEJ Z

Teoretyczny ROZKŁAD ŚREDNIEJ Z

PRÓBY

PRÓBY

(zawsze normalny)

(zawsze normalny)

Jakie jest prawdopodobieństwo, że
średnia w naszej próbie pochodzi z
ogólnej populacji, przy założeniu, że
H

o

jest prawdziwa?

X

X

z









Z tabeli wartości z odczytujemy

prawdopodobieństwo

prawdopodobieństwo

uzyskania naszego wyniku.

Jak znaleźć procent
przypadków znajdujący
się poniżej lub powyżej
danego wyniku

W oparciu o wyniki surowe i tabelę
wartości z

Test Coopera – test 12 minut



Jest to test stosowany przez
amerykańskich kosmonautów dla
sprawdzenia kondycji fizycznej, wydolności



Opracowany przez Kennetha Coopera,
polega na przemierzeniu jak największego
dystansu w ciągu 12 minut



Zakładamy, że zmienna ta ma rozkład
normalny

Kondycja Jasia



W wieku 20-29
średnia= 2400 metrów,
SD=300 metrów



Jaś przebiegł 3000, jaki
procent panów biega
szybciej od Jasia



z=2, w przedziale od
średniej do z mieści się
47,72%,



Czyli 50 – 47,72=2,28%



Od Jasia szybciej biega
jedynie 2,28%

2

300

2400

3000











z

M

SD

x

z

A wolniej biega 97,72%

50+47,72=97,72

Kolejne kroki – procent
powyżej



Aby obliczyć procent przypadków
znajdujących się powyżej danego wyniku



Zamieniamy wyniki surowe na wartości z.



w tabeli dla danej wartości z znajdujemy jej
odległość od średniej



Jeśli nasze z jest dodatnie wtedy,
odejmujemy odczytany procent od 50,



a jeśli jest ujemne, dodajemy ten wynik do
50.

Kondycja Zbyszka



W wieku 20-29 średnia=

2400 metrów, SD=300

metrów



Zbyszek przebiegł 2100,

jaki procent panów biega

szybciej od Zbyszka, jaki

% jest poniżej wyniku

Zbyszka



z=-1, w przedziale od

średniej do z=-1 mieści się

34,13%,



Czyli 50 + 34,13 = 84,13%



84,13% biega szybciej



84,13% osób znajduje się

powyżej wyniku Zbyszka

1

300

2400

2100













z

M

SD

x

z

A wolniej biega 15,87%

50-34,13=15,87%

Kolejne kroki – procent osób
poniżej danego wyniku



Aby obliczyć procent przypadków

znajdujących się poniżej danego wyniku:



Zamieniamy wynik surowy na wartość z



w tabeli dla danej wartości z znajdujemy jej

odległość od średniej



Jeśli nasze z jest dodatnie wtedy dodajemy

odczytany % do 50%



jeśli z jest ujemne, odejmujemy odczytany %

od 50



Zawsze dobrze jest sobie narysować

rozkład i umiejscowić naszą watrość z

Ile metrów trzeba przebiec w
ciągu 12 minut, żeby..



Znaleźć się w grupie 5% najlepszych biegaczy?



średnia=2400, SD=300



Odległość między wynikiem odcinającym górne 5% a
średnią wynosi 45%, odczytujemy z tabeli wartość z
dla odległości najbardziej zbliżonej =44,95%,



wartość z dla tej odległości wynosi 1,64



i podstawiamy dane do wzoru

2892

300

64

,

1

2400















x

SD

z

M

x

Żeby zmieścić się w 5% najlepszych biegaczy
trzeba przebiec co najmniej 2892

Ile metrów trzeba biegać,
żeby..



Znaleźć się w grupie 2% najgorszych biegaczy?



średnia=2400, SD=300



Odległość między wynikiem odcinającym dolne 2% a
średnią wynosi 48%, odczytujemy z tabeli wartość z
dla odległości najbardziej zbliżonej =47,98%,



wartość z dla tej odległości wynosi 2,05, ale wynik jest
poniżej średniej więc z=-2,05



i podstawiamy dane do wzoru

1785

300

05

,

2

2400















x

SD

z

M

x

Żeby zmieścić się w 2% biegaczy z najsłabszą
kondycją nie można przebiec więcej niż 1785
metrów