RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
CZĘŚĆ I: Równania różniczkowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współ-
czynnikach
Równanie różniczkowe jednorodne II rzędu o stałych współczynnikach to równanie nastę-
pującej postaci:
ay00 + by0 + cy = 0 ,
gdzie a, b, c ∈ R .
Symbol y00 oznacza drugą pochodną funkcji y, czyli ( y0) 0.
Metoda rozwiązania:
Etap 1. Rozwiązujemy równanie charakterystyczne:
ar 2 + br + c = 0 ,
to znaczy "zwykłe" równanie kwadratowe, w którym współczynniki a, b, c pochodzą z równania jednorodnego, natomiast r jest symbolem zmiennej.
Etap 2. W zależności od wyróżnika (delty) mogą zajść trzy przypadki:
* ∆ > 0, równanie charakterystyczne ma zatem dwa różne pierwiastki rzeczywiste r 1
oraz r 2. Wtedy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma następującą postać: y = Aer 1 x + Ber 2 x,
gdzie A, B ∈ R;
* ∆ = 0, równanie charakterystyczne posiada wtedy jedno podwójne rzeczywiste rozwią-
zanie r 1 , 2. Zaś rozwiązanie ogólne równania jednorodnego wygląda następująco: y = ( Ax + B) er 1 , 2 x,
gdzie A, B ∈ R
* ∆ < 0, równanie charakterystyczne ma w takim przypadku dwa różne rozwiązania zespolone:
½ r 1 = α + βi ,
r 2 = α − βi
gdzie
√
−b
−∆
α =
,
β =
,
zaś i jest jednostką urojoną .
2 a
2 a
Natomiast rozwiązanie ogólne równania jednorodnego przyjmuje postać następującą: ³
´
y = eαx A cos ( βx) + B sin ( βx) , gdzie A, B ∈ R .
1
Przykład 1. Rozwiąż równanie jednorodne II rzędu:
y00 + 4 y0 + 3 y = 0 .
Rozpoznajemy, że stałe współczynniki występujące w ogólnej postaci równania jednorodnego są następujące:
a = 1 ,
b = 4 ,
c = 3 .
Etap 1. Rozwiązujemy równanie charakterystyczne:
r 2 + 4 r + 3 = 0 .
Obliczamy wyróżnik (deltę):
∆ = b 2 − 4 ac = 42 − 4 · 1 · 3 = 4 > 0 .
Równanie charakterystyczne posiada zatem dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
√
√
−b −
∆
4 −
4
r 1 =
=
= 1
2 a
2 · 1
oraz
√
√
−b +
∆
4 +
4
r 2 =
=
= 3 .
2 a
2 · 1
Etap 2. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego dane jest zatem wzorem:
y = Aer 1 x + Ber 2 x = Ae 1 ·x + Be 3 ·x = Aex + Be 3 x, A, B ∈ R .
Warto w tym miejscu zwrócić uwagę, że w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego, czyli takich, w których występuje symbol drugiej pochodnej szukanej funkcji y00, zawsze w rozwiązaniu występować będą dwie stałe (w naszym zadaniu A, B) - tak jak w przypadku równań pierwszego rzędu była tylko jedna stała (używaliśmy wtedy najczęściej litery C).
Przykład 2. Rozwiąż równanie jednorodne II rzędu:
y00 − 6 y0 + 9 y = 0 .
Stałe współczynniki występujące w ogólnej postaci równania jednorodnego są następujące: a = 1 ,
b = − 6 ,
c = 9 .
Etap 1. Rozwiązujemy równanie charakterystyczne:
r 2 − 6 r + 9 = 0 .
Obliczamy wyróżnik (deltę):
∆ = b 2 − 4 ac = ( − 6)2 − 4 · 1 · 9 = 0 .
Równanie charakterystyczne posiada zatem jedno rozwiązanie rzeczywiste:
−b
−( − 6)
r 1 , 2 =
=
= 3 .
2 a
2 · 1
2
Etap 2. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego dane jest zatem wzorem: y = ( Ax + B) er 1 , 2 x = ( Ax + B) e 3 x, A, B ∈ R .
.
Przykład 3. Rozwiąż równanie jednorodne II rzędu:
y00 + 2 y0 + 10 y = 0 .
Współczynniki równania jednorodnego są następujące:
a = 1 ,
b = 2 ,
c = 10 .
Etap 1. Rozwiązujemy równanie charakterystyczne:
r 2 + 2 r + 10 = 0 .
Obliczamy wyróżnik (deltę):
∆ = b 2 − 4 ac = 22 − 4 · 1 · 10 = − 36 < 0 .
Równanie charakterystyczne posiada zatem dwa różne pierwiastki zespolone: r 1 = α + βi,
r 2 = α − βi,
dla
√
p
−b
− 2
−∆
−( − 36)
α =
=
= − 1 ,
β =
=
= 3 .
2 a
2 · 1
2 a
2 · 1
Zatem
r 1 = − 1 + 3 i oraz r 2 = − 1 − 3 i.
Etap 2. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego wygląda następująco:
³
´
³
´
y = eαx A cos ( βx) + B sin ( βx) = e− 1 ·x A cos (3 · x) + B sin (3 · x) =
³
´
= e−x A cos (3 x) + B sin (3 x) ,
A, B ∈ R .
.
Przykład 4. Podaj postać równania charakterystycznego poniższych równań jednorodnych rzędu drugiego o stałych współczynnikach.
a) 2 y00 − 5 y0 = 0
Odpowiedź. Równanie charakterystyczne przyjmuje postać: 2 r 2 − 5 r = 0; b) −y00 + y = 0
Odpowiedź. Równanie charakterystyczne przyjmuje postać: −r 2 + 1 = 0; 3
Odpowiedź. Równanie charakterystyczne przyjmuje postać: r 2 + π 2 = 0; d) 3 y00 − y0 − 5 y = 7
Odpowiedź. Podane równanie nie jest równaniem jednorodnym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Liczba 7 - jako wyraz wolny - nie występuje w omawianym typie równania różniczkowego.
CZĘŚĆ II: Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach - metoda przewidywań
Równanie różniczkowe liniowe II rzędu o stałych współczynnikach to równanie, którego postać jest następująca:
ay00 + by0 + cy = f ( x) ,
gdzie a, b, c ∈ R .
W przypadku omawianej w tej lekcji metody przewidywań funkcja f ( x) występująca z prawej strony równania nie jest dowolna. Może ona być wyłącznie: wielomianem, funkcją wykładniczą postaci αeβx lub funkcją trygonometryczną postaci α sin( βx), α cos( βx) , gdzie α, β ∈ R .
Metoda rozwiązania:
Etap 1. Rozwiązujemy równanie jednorodne:
ay00 + by0 + cy = 0
w sposób przedstawiony w poprzedniej lekcji. Otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, które oznaczamy symbolem y 1.
Etap 2. Przewidujemy postać rozwiązania szczególnego y 2 równania liniowego (niejednorodnego)
ay00 + by0 + cy = f ( x) .
Przewidywanie zależy od postaci funkcji f ( x). Mogą zajść trzy przypadki.
* Jeśli f ( x) jest wielomianem, tzn.
f ( x) = α 0 + α 1 x + α 2 x 2 + . . . + αkxk, to przewidywane rozwiązanie szczególne równania liniowego jest też wielomianem stopnia k, czyli
y 2 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + akxk.
Aby wyznaczyć stałe a 0 , . . . , ak, obliczamy y0 2 , y00 2, wstawiamy y 2 , y0 2 , y00 2 do równania liniowego i porównujemy z f ( x). Współczynniki wyrazów podobnych obu stron równania muszą być sobie równe.
4
f ( x) = αeβx,
to przewidywanie ma następującą formułę:
y 2 = aeβx.
Znajdujemy współczynnik a analogicznie do podpunktu wcześniejszego.
* Jeśli f ( x) jest postaci
f ( x) = α sin( βx) lub f ( x) = α cos( βx) , to przewidywanie jest następujące:
y 2 = a sin( βx) + b cos( βx) .
Podobnie, jak w poprzednich podpunktach, znajdujemy współczynniki a, b.
Etap 3. Podajemy rozwiązanie ogólne równania liniowego, którym jest
y = y 1 + y 2 .
.
Przykład 1. Rozwiąż równanie liniowe II rzędu:
y00 + 4 y0 + 3 y = 3 x 2 − x + 2 .
Etap 1. Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego
y00 + 4 y0 + 3 y = 0
jest (proszę porównać przykład 1. poprzedniej lekcji)
y 1 = Aex + Be 3 x,
A, B ∈ R .
Etap 2. Przewidywanym szczególnym rozwiązaniem równania liniowego jest:
y 2 = ax 2 + bx + c,
zaś występujące w nim współczynniki a, b, c należy znaleźć. W tym celu obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji y 2:
y0 2 = 2 ax + b,
y00 2 = 2 a.
Następnie wstawiamy formuły określające y 2 , y0 2 , y00 2 do równania liniowego y00 + 4 y0 + 3 y = 3 x 2 − x + 2 .
5
Dokładniej: w miejsce y00 w równaniu liniowym wstawiamy 2 a, w miejsce y0 wstawiamy 2 ax + b oraz w miejsce y wstawiamy ax 2 + bx + c. Otrzymujemy wtedy: 2 a
|{z} +4(2 ax + b
| {z }) + 3( ax 2 + bx + c
|
{z
}) = 3 x 2 − x + 2 .
y00
y
2
y0 2
2
Po lewej stronie równania porządkujemy wyrazy względem malejących potęg zmiennej x: 3 a · x 2 + (8 a + 3 b) · x + 2 a + 4 b + 3 c = 3 · x 2 − 1 · x + 2 .
Powyższe dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki stojące przy odpowiednich potęgach x są równe. Porównujemy więc te współczynniki, tworząc układ równań:
3 a = 3
8 a + 3 b = − 1
2 a + 4 b + 3 c = 2 .
Jego rozwiązaniem jest trójka:
a = 1
b = − 3
c = 4 .
Wstawiamy zatem wyznaczone a, b, c do y 2 = ax 2 + bx + c. Nasze przewidywanie, czyli szczególne rozwiązanie równania liniowego, ma w takim razie następującą postać: y 2 = 1 · x 2 − 3 · x + 4 = x 2 − 3 x + 4 .
Etap 3. Podajemy rozwiązanie ogólne równania liniowego, którym jest:
y = y 1 + y 2 = Aex + Be 3 x
|
{z
} + x 2 − 3 x + 4
|
{z
} ,
A, B ∈ R .
y 1
y 2
.
Przykład 2. Rozwiąż równanie liniowe II rzędu:
y00 − 6 y0 + 9 y = 7 sin(2 x) .
Etap 1. Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego
y00 − 6 y0 + 9 y = 0
jest
y 1 = ( Ax + B) e 3 x,
A, B ∈ R .
Etap 2. Przewidywanym szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (liniowego) jest: y 2 = a sin(2 x) + b cos(2 x) .
6
Szukamy wartości współczynników a oraz b. Wyznaczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji y 2:
y0 2 = 2 a cos(2 x) − 2 b sin(2 x) , y00 2 = − 4 a sin(2 x) − 4 b cos(2 x) .
Wstawiamy formuły określające y 2 , y0 2 , y00 2 do równania liniowego: y00 − 6 y0 + 9 y = 7 sin(2 x) .
Ściślej: w miejsce y00 w równaniu liniowym wstawiamy − 4 a sin(2 x) − 4 b cos(2 x), w miejsce y0 wstawiamy 2 a cos(2 x) − 2 b sin(2 x) oraz w miejsce y wstawiamy a sin(2 x) + b cos(2 x).
Otrzymujemy wtedy:
³
´
³
´
− 4 a sin(2 x) − 4 b cos(2 x) − 6 2 a cos(2 x) − 2 b sin(2 x) +9 a sin(2 x) + b cos(2 x) = 7 sin(2 x) .
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
y00
y0
y
2
2
2
Po lewej stronie równania grupujemy wyrazy w dwie grupy: zawierające sin(2 x) oraz zawierające cos(2 x) :
( − 4 a + 12 b + 9 a) · sin(2 x) + ( − 4 b − 12 a + 9 b) · cos(2 x) = 2 sin(2 x) .
Po uproszczeniu wyrażeń w nawiasach, mamy:
(5 a + 12 b) · sin(2 x) + (5 b − 12 a) · cos(2 x) = 2 · sin(2 x) + 0 · cos(2 x) .
Obydwie strony równania są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki stojące przy wyrazach zawierających sin(2 x) oraz cos(2 x) są równe. Porównujemy więc te współczynniki, tworząc układ równań:
½ 5 a + 12 b = 7
5 b − 12 a = 0 .
Jego rozwiązaniem jest dwójka:
½ a = 710
b = 7 .
24
Wstawiamy zatem wyznaczone a, b do y 2 = a sin(2 x)+ b cos(2 x). Przewidywane szczególne rozwiązanie równania liniowego przyjmuje przeto postać:
7
7
y 2 =
sin(2 x) +
cos(2 x) .
10
24
Etap 3. Rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jest:
7
7
y = y 1 + y 2 = ( Ax + B) e 3 x +
sin(2 x) +
cos(2 x) ,
A, B ∈ R .
|
{z
}
10
24
|
{z
}
y 1
y 2
.
Przykład 3. Rozwiąż równanie liniowe II rzędu:
y00 + 2 y0 + 10 y = 390 e− 3 x.
7
Etap 1. Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego
y00 + 2 y0 + 10 y = 0
jest
³
´
y 1 = e−x A cos (3 x) + B sin (3 x) , A, B ∈ R .
Etap 2. Przewidywanym szczególnym rozwiązaniem równania liniowego jest:
y 2 = ae− 3 x.
Aby znaleźć współczynnik a, postępujemy analogicznie do poprzednich dwóch przykła-dów. Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji y 2:
y0 2 = − 3 e− 3 x,
y00 2 = 9 ae− 3 x.
Dalej wstawiamy formuły określające y 2 , y0 2 , y00 2 do równania liniowego y00 + 2 y0 + 10 y = 390 e− 3 x.
Otrzymujemy:
9 ae− 3 x
| {z } +2( − 3 ae− 3 x
| {z }) + 10( ae− 3 x
| {z }) = 390 e− 3 x.
y00
y
2
y0
2
2
Porządkujemy lewą stronę równania:
(9 a − 6 a + 10 a) e− 3 x = 390 e− 3 x.
Po uproszczeniu:
13 ae− 3 x = 390 e− 3 x.
Porównujemy współczynniki stojące przy wyrażeniu e− 3 x i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą:
13 a = 390 .
Jego rozwiązaniem jest liczba a = 30, którą wstawiamy do y 2 = ae− 3 x: y 2 = 30 e− 3 x.
Etap 3. Ujawniamy rozwiązanie ogólne równania liniowego:
³
´
y = y 1 + y 2 = e−x A cos (3 x) + B sin (3 x) + 30 e− 3 x
| {z } ,
A, B ∈ R .
|
{z
}
y 2
y 1
8