1

Funkcja odwrotna. Funkcje cyklometryczne.

Przygotowa la Izabela Wardach 1

Funkcja odwrotna

Definicja odwzorowania X NA Y

N A

Mówimy, że funkcja f : X → Y odwzorowuje zbiór X NA Y , co zapisujemy f : X → Y , jeżeli:

V

W

f (x) = y

y∈Y

x∈X

Definicja funkcji różnowartościowej Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze X, jeżeli: V

[x

x

1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)]

1,x2∈X

Definicja funkcji odwrotnej N A

N A

Niech funkcja f : X → Y b¸

edzie różnowartościowa. Funkcj¸

e f −1 : X → Y spe lniaj¸

ac¸

a

warunek:

V

V

f −1(y) = x ⇔ f (x) = y

x∈X

y∈Y

nazywamy funkcj¸

a odwrotn¸

a.

Wnioski:

V

f −1 (f (x)) = x

x∈X

V

f f −1(y) = y

y∈Y

f −1 f −1 = f

Uwaga: Funkcja odwrotna x → y = f −1(x) do funkcji f ma wykres symetryczny wzg¸

edem

prostej y = x do wykresu funkcji f .

Twierdzenie: Niech funkcja nieparzysta ma funkcj¸

e odwrotn¸

a to funkcja odwrotna jest

także funkc¸

a nieparzyst¸

a.

Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest ci¸

agla i rosn¸

aca na przedziale ha, bi, to funkcja odwrotna f −1 jest ci¸

ag la i rosn¸

aca na przedziale hf (a), f (b)i.

Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest ci¸

agla i malej¸

aca na przedziale ha, bi, to funkcja odwrotna f −1 jest ci¸

ag la i malej¸

aca na przedziale hf (b), f (a)i.

FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE:

1. ARCUS SINUS:

Rozważmy funkcj¸

e

1na podstawie:

1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory, przyk lady, WNT, Warszawa 1994.

2. W. Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT, Warszawa 1994.

1

y = sinx,

x ∈ − π , π ,

y ∈ h−1, 1i

2

2

jest ona nieparzysta, ci¸

ag la i rosn¸

aca zatem posiada funkcj¸

e odwrotn¸

a - także nieparzystca,

ci¸

ag l¸

a i rosn¸

ac¸

a. Nazywamy j¸

a arcus sinus i zapisujemy: y = arcsinx, x ∈ h−1, 1i,

y ∈ − π , π

2

2

Z definicji funkcji odwrotnej mamy: V

V

x∈h−1,1i

y∈h− π , π i [y = arcsin(x) ⇔ sin(y) = x]

2

2

V

y∈h− π , π i arcsin(siny) = y 2

2

V

x∈h−1,1i sin(arcsinx) = x

2. ARCUS COSINUS:

Rozważmy funkcj¸

e

y = cosx,

x ∈ h0, πi,

y ∈ h−1, 1i

jest ona ci¸

ag la i malej¸

aca zatem posiada funkcj¸

e odwrotn¸

a - także ci¸

ag l¸

a i malej¸

ac¸

a. Nazy-

wamy j¸

a arcus cosinus i zapisujemy: y = arccosx, x ∈ h−1, 1i,

y ∈ h0, πi

Z definicji funkcji odwrotnej mamy: V

V

x∈h−1,1i

y∈h0,πi [y = arccos(x) ⇔ cos(y) = x]

V

y∈h0,πi arccos(cosy) = y

V

x∈h−1,1i cos(arccos) = x

3. ARCUS TANGENS:

Rozważmy funkcj¸

e

y = tgx,

x ∈ − π , π ,

y ∈ R

2

2

jest ona nieparzysta, ci¸

ag la i rosn¸

aca zatem posiada funkcj¸

e odwrotn¸

a - także nieparzystca,

ci¸

ag l¸

a i rosn¸

ac¸

a. Nazywamy j¸

a arcus tangens i zapisujemy: y = arctgx, x ∈ R,

y ∈ − π , π

2

2

Z definicji funkcji odwrotnej mamy: V

V

x∈R

y∈(− π , π ) [y = arctg(x) ⇔ tg(y) = x]

2

2

V

y∈(− π , π ) arctg(tgy) = y 2

2

V

tg(arctg) = x

x∈R

4. ARCUS COTANGENS:

Rozważmy funkcj¸

e

y = ctgx,

x ∈ (0, πi,

y ∈ R

2

jest ci¸

ag la i rosn¸

aca zatem posiada funkcj¸

e odwrotn¸

a - także ci¸

ag l¸

a i rosn¸

ac¸

a. Nazywamy j¸

a

arcus cotangens i zapisujemy: y = arcctgx, x ∈ R,

y ∈ (0, π)

Z definicji funkcji odwrotnej mamy: V

V

[y = arcctg(x) ⇔ ctg(y) = x]

x∈R

y∈(0,π)

V

arcctg(ctgy) = y

y∈(0,π)

V

ctg(arcctg) = x

x∈R

Zachodz¸

a tożsamości:

V

x∈h−1,1i arcsinx + arccosx = π

2

V

arctgx + arcctgx = π

x∈R

2

3