Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
1
Logiczne podstawy prawoznawstwa
Piotr Łukowski
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
2
WYKŁAD 12
rozumowania
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
3
Jan Gregorowicz, Zarys logiki dla prawników, Grand Gamma, Łódź 1995.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
4
PRZYPOMNIENIE:
Definicja wynikania
Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, jeśli implikacja
Z
→
W
jest zdaniem prawdziwym na mocy związku jaki zachodzi między tym o czym orzeka
zdanie W a tym o czym orzeka zdanie Z.
Z nazywamy racją, a W następstwem.
Z definicji wynikania wnioskujemy, iż istnieją różne rodzaje wynikania W z Z w
zależności od rodzaju związku będącego podstawą prawdziwości implikacji Z
→
W.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
5
Związek zachodzący między Z i W, będący podstawą prawdziwości Z
→
W może być:
- przyczynowo-skutkowy (ze względu na wiedzę o rzeczywistości)
Jeśli zaleję herbatę zimną wodą, to jej nie zaparzę.
- strukturalny (w sensie czasu lub przestrzeni)
Jeśli wczoraj był poniedziałek, to jutro jest środa. (także analityczny)
Jeśli obraz a wisi nad obrazem b, to obraz b wisi pod obrazem a. (także analityczny)
Jeśli stoję twarzą na północ, to po prawej ręce mam wschód.
- tetyczny (ze względu na obowiązywanie pewnych norm)
Jeśli w sklepie płacę za towar, to część mojej zapłaty jest przeznaczona na podatek.
- analityczny (ze względu na sens słów - węższe rozumienie analityczności)
Jeśli ta figura jest kwadratem, to [ta figura] ma cztery boki równe.
- logiczny (ze względu na budowę zdań - nieprecyzyjne określenie, patrz wcześniejsze
wykłady)
Jeśli Jan jest łysym adwokatem, to Jan jest adwokatem.
(Jeśli Jan jest łysy i Jan jest adwokatem, to Jan jest adwokatem.)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
6
Wnioskowanie niezawodne to takie, które prawdziwe przesłanki zawsze łączy z
prawdziwymi wnioskami.
KONIEC PRZYPOMNIENIA
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
7
Rozumowanie to myślenie uzasadniające, czyli takie, w którym przyjmujemy jakieś
zdanie (zdania) za prawdziwe i dochodzimy do przeświadczenia o prawdziwości
jakichś innych zdań.
Ogólniej:
Rozumowanie to myślenie uzasadniające, w którym przyjmujemy określone wartości
pewnych zdań i dochodzimy do przeświadczenia o określonych wartościach
logicznych innych zdań.
Rozumowanie niezawodne to takie, które od prawdziwych przesłanek zawsze prowadzi
do prawdziwych wniosków.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
8
UWAGA:
Wynikanie to relacja, która zachodzi mi
ę
dzy zdaniami.
Rozumowanie to czynno
ść
wykonywana przez człowieka.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
9
Uwaga:
Dotychczas, słowo „dedukcja” oznaczało wnioskowanie, w którym wniosek wynika
logicznie z przesłanek. Miało więc ono formalno-logiczne znaczenie.
Obecnie, słowa „dedukcja” będziemy używali w znaczeniu ogólniejszym.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
10
Dedukcja i redukcja jako czynno
ść
.
Dedukcja
1
(rozumowanie dedukcyjne) to rozumowanie, w którym racja jest znana jako
prawdziwa, a następstwo jako prawdziwe nieznane.
Redukcja
1
(rozumowanie redukcyjne) to rozumowanie, w którym następstwo jest znane jako
prawdziwe, a racja jako prawdziwa nieznana.
Dedukcja
1
jest rozumowaniem (niezawodnym) bazującym na wynikaniu (logicznym).
Przykład
{Jeśli deszcz pada to ulice są mokre, Deszcz pada} |
−
Ulice są mokre
Redukcja
1
jest rozumowaniem zawodnym bazującym na wynikaniu (logicznym).
Przykład
{Jeśli deszcz pada to ulice są mokre, Ulice są mokre} |
∼
Deszcz pada
p
→
q
p
q
p
→
q
q
p
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
11
Dedukcja i redukcja jako stan.
Dedukcja
2
to funkcja reprezentująca poszerzenie zbioru przekonań.
Redukcja
2
to funkcja reprezentująca zmniejszenie zbioru przekonań.
Przykładem dedukcji
2
jest operacja konsekwencji logicznej, zaś redukcji
2
operacja eliminacji
logicznej.
1.
X
⊆
C(X)
2.
jeśli X
⊆
Y, to C(X)
⊆
C(Y)
C: P(L)
→
P(L) jest operacją konsekwencji logicznej
wtw dla dowolnych zbiorów X,Y
⊆
L
3.
CC(X)
⊆
C(X)
1.
E(X)
⊆
X
2.
jeśli X
⊆
Y, to E(X)
⊆
E(Y)
E: P(L)
→
P(L) jest operacją eliminacji logicznej
wtw dla dowolnych zbiorów X,Y
⊆
L
3.
E(X)
⊆
EE(X)
L jest zbiorem wszystkich zdań języka.
P(L) jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru L.
Prosta uwaga: Z 1 i 3 wynika,
ż
e C(X) = CC(X) oraz E(X) = EE(X).
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
12
W dalszym ci
ą
gu wykładu, słowa „dedukcja” i „redukcja” b
ę
d
ą
oznaczały dedukcj
ę
i
redukcj
ę
w pierwszym znaczeniu, czyli jako czynno
ść
my
ś
lenia. Zatem:
dedukcja = dedukcja
1
i redukcja = redukcja
1
.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
13
Podział rozumowa
ń
Uwaga:
Naturalnie, w tym schemacie zarówno rozumowanie dedukcyjne jak i redukcyjne jest
pojmowane jako czynność.
rozumowanie
dedukcyjne
redukcyjne
wnioskowanie
dowodzenie
tłumaczenie
sprawdzanie
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
14
Wnioskowanie,
to dobieranie nast
ę
pstwa do racji znanej sk
ą
din
ą
d jako prawdziwa.
1 1
R
→
→
→
→
N
m sz
(m = mamy, sz = szukamy)
Zatem, wnioskuje ten, kto uznaje prawdziwość następstwa na mocy prawdziwości
racji. Innymi słowy, poszukuje (różnych) skutków/konsekwencji danej racji.
Uwaga: Niezawodno
ść
(warto
ść
) wnioskowania zale
ż
y od niezawodno
ś
ci (warto
ś
ci) zwi
ą
zku
wynikania. Wnioskowanie oparte na wynikaniu logicznym jest niezawodne.
[na pewno?]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
15
Przykłady wnioskowania:
1.
Wiem, że prawdą jest zdanie A = „Liście herbaty zostały zalane wrzątkiem”. Czy prawdziwe będzie zdanie
B = „Otrzymaliśmy napar herbaty”? Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku przyczynowo-skutkowego uznaję, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest A, to prawdą jest także B. Wiem więc, że B jest prawdziwe na mocy wnioskowania.
2.
Wiem, że Jan prowadzi samochód będąc w stanie upojenia alkoholowego (A). Czy prawdą jest, że Jan
popełnia przestępstwo (B)? Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku tetycznego wiem, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest A, to prawdą jest także B. Wiem więc, że B jest prawdziwe na mocy wnioskowania.
3.
Wiem, że Marek został osadzony w więzieniu (A). Czy prawdą jest, że Markowi udowodniono popełnienie
przestępstwa (B)? Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku tetycznego wiem, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest A, to prawdą jest także B. Wiem więc, że B jest prawdziwe na mocy wnioskowania.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
16
4.
Wiem, że wczoraj był poniedziałek, więc na mocy związku strukturalnego wnioskuję, że jutro będzie środa.
5.
Wiem, że ulice nie są mokre (A). Czy prawdą jest, że deszcz nie pada (B)? Jeśli tak to na mocy jakiego
rozumowania?
Odp.
Na mocy związku przyczynowo-skutkowego wiem, że prawdą jest implikacja
¬
B
→
¬
A. Ta zaś, na mocy
krz, jest równoważna implikacji A
→
B. Zatem jeśli prawdą jest A, to prawdą jest także B.
Wiem więc, że B jest prawdziwe na mocy wnioskowania. Naturalnie, wywnioskuję także, że ani nie jeździła
polewaczka, ani nie było awarii wodociągowej.
6.
Wiem, że prawdziwe są zdania A
→
(
¬
A
→
B) oraz A. Czy prawdą jest zdanie
¬
A
→
B? Jeśli tak to na
mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Wiem, że prawdą logiczną krz jest implikacja ((A
→
(
¬
A
→
B))
∧
A)
→
(
¬
A
→
B). Zatem, zdanie
¬
A
→
B
wynika logicznie na mocy krz, z dwóch zdań A
→
(
¬
A
→
B) oraz A. Skoro one są prawdziwe, to wnioskuję,
ż
e prawdziwe jest
¬
A
→
B.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
17
7.
Tytus jest poza kręgiem osób podejrzanych o popełnienie zbrodni.
Wiem, że prawdą jest zdanie A = „Na miejscu zbrodni znaleziono odciski palców Tytusa”. Czy prawdziwe
będzie zdanie B = „Tytus był na miejscu zbrodni”? Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku przyczynowo-skutkowego uznaję, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest A, to prawdą jest także B. Wiem więc, że B jest prawdziwe na mocy wnioskowania.
[Pytanie: A co z Kramerem z Vabanku?
Odpowiedź: Spoko, spoko, mała blaszka, to nie miejsce zbrodni.]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
18
Dowodzenie
,
to dobieranie racji znanej sk
ą
din
ą
d jako prawdziwa do danego nieznanego
jeszcze jako prawdziwe nast
ę
pstwa.
1 1 ?
R
→
→
→
→
N
sz m
Zatem, dowodzi ten, kto chce przekonać się o prawdziwości następstwa przez
znalezienie prawdziwej dla niego racji.
Uwaga: Niezawodno
ść
(warto
ść
) dowodzenia zale
ż
y od niezawodno
ś
ci (warto
ś
ci) zwi
ą
zku
wynikania. Dowodzenie oparte na wynikaniu logicznym jest niezawodne.
[na pewno?]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
19
Przykłady dowodzenia:
1.
Kasjusz jest głównym podejrzanym o popełnienie zbrodni.
Zastanawiam się, czy prawdziwe jest zdanie B = „Kasjusz był na miejscu zbrodni”. Po pewnym czasie
dowiaduję się jednak, że prawdą jest zdanie A = „Na miejscu zbrodni znaleziono odciski palców Kasjusza”.
Czy mogę uznać prawdziwość zdania B? Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku przyczynowo-skutkowego uznaję, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest A, to prawdą jest także B. Ale A jest prawdą, udowodniłem więc, że B jest
prawdziwe.
2.
Agrypa jest podejrzanym o popełnienie w Łodzi zbrodni a.
Zastanawiam się, czy prawdziwe jest zdanie A = „Agrypa popełnił w Łodzi zbrodnię a”. Po pewnym czasie
dowiaduję się jednak, że prawdą jest zdanie B = „W chwili popełnienia w Łodzi zbrodni a, świadek X
widział Agrypę w Krakowie”.
Czy mogę uznać fałszywość zdania A (czyli prawdziwość zdania
¬
A)? Jeśli tak to na mocy jakiego
rozumowania?
Odp.
Na mocy związku strukturalnego uznaję, że prawdą jest implikacja B
→
¬
A.
Zatem jeśli prawdą jest B (a to zależy od wiarygodności świadka X), to udowodniłem, że prawdą jest także
¬
A, czyli że A jest fałszem.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
20
3.
Są wakacje i straciłem rachubę czasu. Zastanawiam się czy dziś jest wtorek. Przypomniałem sobie jednak, że
przedwczoraj byłem na niedzielnym obiedzie u rodziców, więc na mocy związku strukturalnego
udowodniłem samemu sobie, że faktycznie dziś jest wtorek.
[ale czy na pewno dobrze sobie przypomniałem?]
4.
Zastanawiam się, czy prawdziwe jest zdanie A.
Zauważam jednak, że prawdziwe są zdania B i (¬A
→
¬B). Wiem też, że prawdą logiczną jest implikacja
(¬A
→
¬B)
→
(B
→
A). Na mocy związku logicznego krz udowodniłem zatem prawdziwość zdania A.
[a co z paradoksami logiki klasycznej?]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
21
UWAGA ISTOTNA:
Przykłady 6 wnioskowania i 4 dowodzenia pokazuj
ą
swoist
ą
„dwustopniowo
ść
” charakteru wynikania, a
zatem i „podwójny” charakter uzasadnienia, zarówno wnioskowania, jak i dowodzenia.
Warto wi
ę
c zauwa
ż
y
ć
, co nast
ę
puje. W tym celu rozwa
ż
my przykład z deszczem i ulicami.
A
→
B = „Jeśli deszcz pada to ulice są mokre”,
A = „Deszcz pada”.
Przesłanką niewypowiedzianą jest tu tautologia odpowiadająca regule Modus Ponens, czyli (A
∧
(A
→
B))
→
B.
Naturalnie, tautologia ta jest implikacją w której z racji A
∧
(A
→
B) wynika następstwo B. To wynikanie jest
logiczne - na mocy odpowiedniego kształtu zdań (struktury zdań). Dlatego powiemy, że
- wnioskujemy B z A
∧
(A
→
B) na mocy związku logicznego krz
oraz
- A
∧
(A
→
B) dowodzi B na mocy związku logicznego krz.
Jak widać, zawsze ilekroć korzystamy z reguły Modus Ponens, a także innych reguł logiki klasycznej, możemy
stwierdzić, że bazujemy na związku logicznym krz. A jednak tak nie mówimy, gdyż akceptacja implikacji (A
→
B)
dokonuje się na mocy wynikania nie logicznego, lecz jakiegoś innego. W naszym przypadku, na mocy wynikania
przyczynowo-skutkowego.
Dlatego w powyższym przypadku mimo, iż korzystamy z reguły Modus Ponens, naszą uwagę skupiamy na
charakterze uzasadnienia implikacji A
→
B i stwierdzamy, że A wynika z B (np.) tetycznie, strukturalnie,
analitycznie lub przyczynowo-skutkowo.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
22
Sprawdzanie
,
to dobieranie nast
ę
pstwa znanego sk
ą
din
ą
d jako prawdziwe do nieznanej jako
prawdziwa racji.
? 1 1
R
→
→
→
→
N
m sz
Zatem, sprawdza ten, kto chce wzmocnić swoją wiarę w prawdziwość racji (czyli
uprawdopodobnić prawdziwość racji) znajdując dla niej prawdziwe następstwo.
Pozytywny wynik sprawdzania danej tezy, zwiększa szansę na jej prawdziwość, ale nie
dowodzi jej prawdziwości.
Uwaga: Ka
ż
de sprawdzanie jest zawodne, tak
ż
e to oparte na wynikaniu logicznym:
je
ś
li A
→
B oraz B s
ą
prawdziwe, to A nie musi by
ć
prawdziwe.
Zatem, warto
ść
sprawdzania, które z natury rzeczy jest zawodne mo
ż
e jeszcze by
ć
pomniejszona
przez nisk
ą
warto
ść
(czyli niepewno
ść
) implikacji
R
→
N.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
23
Przykłady sprawdzania
1.
Leżąc jeszcze w łóżku, zastanawiam się, czy wczorajsza prognoza pogody mówiąca, że rano będą opady
deszczu się sprawdziła. Innymi słowy, zastanawiam się, czy prawdziwe jest zdanie A = „Rano padał deszcz”.
W tym celu wyglądam przez okno i widzę, że moja ulica jest mokra, czyli prawdziwe jest zdanie B = „Moja
ulica jest [rano] mokra”.
Czy na tej podstawie mogę uznać prawdziwość zdania A? Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku przyczynowo-skutkowego uznaję, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest B, to prawdą może być także A. Jednak A nie musi być prawdą, nawet jeśli prawdą
jest B. Prawdziwość A stała się dla mnie bardziej prawdopodobna, gdyż jeśli A jest prawdą, to prawdą jest i
B. Jednak prawdziwość zdania A zaledwie sprawdziłem: deszcz mógł padać, gdyż ulica jest mokra.
2.
Zastanawiam się, czy Marek jest na wolności, czy może jest osadzony w więzieniu. Interesuje mnie
prawdziwość zdania A = „Marek został osadzony w więzieniu”. Po pewnym czasie dowiaduję się, że Marek
miał proces, w wyniku którego udowodniono mu winę. Zatem, prawdą jest B = „Markowi udowodniono
popełnienie przestępstwa”.
Czy na tej podstawie mogę uznać prawdziwość zdania A? Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku tetycznego wiem, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest B, to prawdą może być, choć nie musi, także A. Oznacza to, że jedynie sprawdziłem,
iż Marek może być w więzieniu, bo udowodniono mu, że popełnił przestępstwo.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
24
3.
Zastanawiam się, czy prawdziwe jest zdanie A = „Pan X o godz. Y spotkał się w parku z panią Z”.
Dowiaduję się (sprawdzam), że prawdziwe jest zdanie B = „O godz. Y pan X był nieobecny w pracy”.
Czy na tej podstawie mogę uznać prawdziwość zdania A? Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku strukturalnego uznaję, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest B, to prawdą może być także A. Jednak A nie musi być prawdą, nawet jeśli prawdą
jest B. Prawdziwość A stała się dla mnie bardziej prawdopodobna, gdyż jeśli A jest prawdą, to prawdą jest i
B. Jednak prawdziwość zdania A zaledwie sprawdziłem: pan X mógł o godz. Y spotkać się w parku z panią
Z.
[przykład jest nieprecyzyjny, bo nie jest w nim wykluczone, że pan X pracuje w parku]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
25
Tłumaczenie,
to dobieranie racji do znanego sk
ą
din
ą
d jako prawdziwe nast
ę
pstwa.
? 1 1
R
→
→
→
→
N
sz m
Zatem, tłumaczy ten, kto chce znaleźć przyczynę prawdziwego następstwa przez
znalezienie jakiejś dla niego racji. Ponieważ, dana teza może wynikać z różnych racji
(dane zjawisko może mieć różne przyczyny), każde tłumaczenie jest zawodne.
Uwaga: Ka
ż
de tłumaczenie jest jedynie prób
ą
znalezienia przyczyny zaj
ś
cia danego
zjawiska.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
26
Przykłady tłumaczenia
1.
Wyglądają rano przez okno widzę, że moja ulica jest mokra, innymi słowy, prawdziwe jest zdanie B =
„Moja ulica jest [rano] mokra”. Zastanawiam się, czemu jest mokra.
Czy na podstawie prawdziwości zdania B mogę uznać prawdziwość zdania A = „Rano padał deszcz”? Jeśli
tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku przyczynowo-skutkowego uznaję, że prawdziwa jest implikacja A
→
B.
Zatem skoro prawdą jest B, to prawdą może być także A. Jednak A nie musi być prawdą, nawet jeśli prawdą
jest B. Zdarzenie opisane zdaniem A jest jedną, lecz nie jedyną możliwą przyczyną zajścia zdarzenia
opisanego zdaniem B.
Zatem zdarzenie wyrażone przez B (prawdziwość zdania B) tłumaczę w jeden z możliwych sposobów, czyli
w tym przypadku przyjmując prawdziwość zdania A: moja ulica jest mokra, ponieważ rano padał deszcz.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
27
2.
Zastanawiam się, dlaczego pan X był nieobecny w pracy w godz. Y. Czyli zastanawiam się dlaczego (jak
wytłumaczyć) prawdziwość zdania B = „O godz. Y pan X był nieobecny w pracy”.
Czy na tej podstawie mogę uznać prawdziwość zdania A = „Pan X o godz. Y spotkał się w parku z panią Z”?
Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku strukturalnego uznaję, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest B, to prawdą może być A. Jednak A nie musi być prawdą.
Zatem zdarzenie wyrażone przez B (prawdziwość zdania B) tłumaczę w jeden z możliwych sposobów, czyli
w tym przypadku przyjmując prawdziwość zdania A: pan X był w godz. Y nieobecny w pracy, bo spotkał się
z panią Z w parku.
3.
Zastanawiam się, dlaczego budynek X postrzegamy jako mniejszy od Y, czyli zastanawiam się dlaczego (jak
wytłumaczyć) prawdziwość zdania B = „Budynek X postrzegamy jako mniejszy od Y”.
Czy na tej podstawie mogę uznać prawdziwość zdania A = „Budynek X stoi dalej od nas niż budynek Y”?
Jeśli tak to na mocy jakiego rozumowania?
Odp.
Na mocy związku strukturalnego uznaję, że prawdą jest implikacja A
→
B.
Zatem jeśli prawdą jest B, to prawdą może być A. Jednak A nie musi być prawdą.
Zatem zdarzenie wyrażone przez B (prawdziwość zdania B) tłumaczę w jeden z możliwych sposobów, czyli
w tym przypadku przyjmując prawdziwość zdania A: budynek X postrzegamy jako mniejszy od Y, bo X stoi
dalej od nas niż Y.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
28
Przypomnienie
Entymemat, to przesłanka niewypowiedziana z powodu oczywistości jej prawdziwości.
Przykład
Zamiast wypowiedzieć na głos argumentację:
A. Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates jest człowiekiem. Zatem, Sokrates jest śmiertelny.
Można powiedzieć krócej:
B. Sokrates jest człowiekiem. Zatem, Sokrates jest śmiertelny.
W rozumowaniu B, oczywista przesłanka „Każdy człowiek jest śmiertelny” została pominięta
jako prawdziwa w sposób oczywisty.
[jest to przykład rozumowania opartego na zwi
ą
zku przyczynowo-skutkowym]
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
29
Rozumowanie indukcyjne (indukcja) to szczególny przypadek tłumaczenia -
tłumaczenie uogólniające. Polega ono na tym, że na podstawie szeregu zdań
szczegółowych formułuje się zdanie ogólne.
Przykład
Ten wróbel jest szary.
I ten wróbel jest szary.
I tamten wróbel także jest szary.
...
Zatem,
każdy wróbel jest szary.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
30
1. Indukcja przez wyliczenie (enumeracyjna) polega na tym, że sprawdza się
prawdziwość szeregu zdań ogólnych podpadających pod pewien ogólny schemat i na
tej podstawie formułuje się zdanie ogólne odpowiadające temu schematowi.
Ponieważ,
S
1
jest P
i S
2
jest P
i S
3
jest P
i S
4
jest P
i S
5
jest P
i S
6
jest P,
więc,
Każde S jest P.
Jeśli wykorzystane w rozumowaniu indukcyjnym zdania szczegółowe wyczerpują
wszystkie przypadki spełnienia zdania ogólnego, będącego wnioskiem tego
rozumowania, to indukcję taką nazwiemy wyczerpującą (zupełną). W przeciwnym
razie, indukcja jest niewyczerpująca (niezupełna).
Oczywiście, indukcja wyczerpująca jest rozumowaniem niezawodnym, zaś
niewyczerpująca, zawodnym.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
31
Podany wcześniej przykład z wróblami, ilustruje indukcję niewyczerpującą - nie jesteśmy w
stanie sprawdzić koloru upierzenia wszystkich wróbli - a więc zawodną.
Przykład indukcji wyczerpującej:
Pierwsza osoba siedz
ą
ca w tej sali ma mniej ni
ż
80 lat.
Druga osoba siedz
ą
ca w tej sali ma mniej ni
ż
80 lat.
Trzecia osoba siedz
ą
ca w tej sali ma mniej ni
ż
80 lat.
...
Dwudziesta ósma osoba siedz
ą
ca w tej sali ma mniej ni
ż
80 lat.
...
Wypowiadanie zdań szczegółowych dotyczących osób znajdujących się w auli podczas naszego
wykładu z logiki kończymy wówczas, gdy wypowiemy się na temat każdej osoby przebywającej
w auli podczas wykładu. Zatem, zdania szczegółowe wyczerpują wszystkie możliwe przypadki
spełnienia zdania ogólnego „Każda osoba przebywająca w auli ma mniej niż 80 lat”. Zatem,
zdanie „Każda osoba przebywająca w auli ma mniej niż 80 lat” jest wnioskiem wyciągniętym na
mocy indukcji wyczerpującej z wszystkich zdań szczegółowych.
Naturalnie, wniosek ten jest niezawodny chociaż jałowy (nieciekawy, nieistotny).
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
32
2. Indukcja matematyczna bazuje na dwóch przesłankach:
- sprawdzającej czy dana własność W jest spełniona w przypadku pierwszym z całóej
serii przypadków
oraz
- indukcyjnej, stwierdzającej dziedziczenie własności W, czyli stwierdzającej że jeśli
którykolwiek z przypadków ma własność W, to własność W ma przypadek
bezpośrednio po nim następujący.
Zatem, istotną rolę w indukcji matematycznej odgrywa uporządkowanie wszystkich
możliwych przypadków. Standardowo, w celu uporządkowania tych przypadków
wykorzystuje się zbiór liczb naturalnych.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
33
Przykłady tez dowodzonych w oparciu o indukcję matematyczną:
n(n + 1)
∀
n
∈
N 1 + 2 + 3 + ... + n =
2
n(n + 1)(2n + 1)
∀
n
∈
N 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=
6
Każdy człowiek jest łysy.
Każdy człowiek jest niełysy.
Każdy człowiek jest staruszkiem.
Każdy człowiek jest noworodkiem.
Jest to dość poważny problem logiczno-filozoficzny, który wiąże się ściśle z tak zwaną
tolerancyjnością wyrażeń języka naturalnego.
Wyrażenie jest tolerancyjne, jeśli z faktu jego zastosowania w danym przypadku P
wynika, że może ono być zastosowane w przypadku zbliżonym do P.
Z konieczności wszystkie pozamatematyczne wyrażenia języka naturalnego są
tolerancyjne. Zatem, niestety, każde z nich daje się wykorzystać w rozumowaniu przez
indukcję matematyczną, co w konsekwencji prowadzi do paradoksu.
Czy zatem, indukcja
matematyczna mo
ż
e by
ć
stosowana poza matematyk
ą
?
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
34
3. Indukcja eliminacyjna to rozumowanie uogólniające, którego celem jest wykrycie
związków jakie zachodzą między faktami. Uogólnienie jest typu:
„Zawsze ilekroć jest (względnie zmienia się w określony sposób) A,
to jest (względnie zmienia się w określony sposób) B.”
John Stuart Mill
(1806 - 1873)
Przykładami indukcji eliminacyjnej są Kanony Milla (A System of Logic, 1843):
- kanon jedynej zgodności
- kanon jedynej różnicy
- kanon zgodności i różnicy
- kanon zmian towarzyszących
- kanon reszt
(obecnie odrzucony - i bardzo dobrze)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
35
Kanon jedynej zgodno
ś
ci
Jeśli okoliczność O stale towarzyszy występowaniu zjawiska Z mimo, iż inne
okoliczności nie zachodzą stale, to między O i Z zachodzi związek przyczynowo-
skutkowy:
albo O jest przyczyną Z,
albo O jest skutkiem Z,
albo O jest niezbędną częścią przyczyny wywołującej Z,
albo Z jest niezbędną częścią przyczyny wywołującej O.
Schemat kanonu jedynej zgodności:
jest A,B,C - jest Q
jest A,C,D - jest Q
jest A,B,D - jest Q
Zatem, ilekroć jest A, to jest i Q
Oczywiście, rozumowanie bazujące na kanonie jedynej zgodności jest zawodne, gdyż
np. nie zawsze jesteśmy w stanie uwzględnić (rozpoznać) wszystkie istotne
okoliczności zajścia danego zjawiska.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
36
Przykład trafnego zastosowania kanonu jedynej zgodności
1. Jest (A) ukąszenie przez zakażoną wesz, (B) brud, (C) głód - jest (Q) tyfus plamisty.
2. Jest (A) ukąszenie przez zakażoną wesz, (C) głód, (D) złe warunki mieszkaniowe - jest (Q)
tyfus plamisty.
3. Jest (A) ukąszenie przez zakażoną wesz, (B) brud, (D) złe warunki mieszkaniowe - jest (Q)
tyfus plamisty.
Zatem, jedynym czynnikiem stale poprzedzającym (Q) zachorowanie na tyfus plamisty jest (A)
ukąszenie przez zarażoną wesz.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
37
Przykład 1 nietrafnego zastosowania kanonu jedynej zgodności
1. Jest (A) herbata zielona, (B) nieświeża wędlina, (C) stary ser - są (Q) problemy.
2. Jest (A) herbata zielona, (C) stary ser, (D) przeterminowany jogurt - są (Q) problemy.
3. Jest (A) herbata zielona, (B) nieświeża wędlina, (D) przeterminowany jogurt - są (Q) problemy.
Zatem, jedynym czynnikiem stale poprzedzającym (Q) problemy układu pokarmowego jest (A) herbata
zielona.
Przykład 2 nietrafnego zastosowania kanonu jedynej zgodności
1. Jest (A) herbata zielona, (B) wędlina, (C) ser - są (Q) problemy układu pokarmowego.
2. Jest (A) herbata zielona, (C) ser, (D) owoce - są (Q) problemy układu pokarmowego.
3. Jest (A) herbata zielona, (B) wędlina, (D) owoce - są (Q) problemy układu pokarmowego.
Zatem, jedynym czynnikiem stale poprzedzającym (Q) problemy układu pokarmowego jest (A) herbata
zielona.
Przykład 3 nietrafnego zastosowania kanonu jedynej zgodności
1. Mając na sobie (A) niebieską koszulę w kratkę zjadłem (B) wędlinę - (Q) zatrułem się.
2. Mając na sobie (A) niebieską koszulę w kratkę zjadłem (C) ser - (Q) zatrułem się.
3. Mając na sobie (A) niebieską koszulę w kratkę zjadłem (D) jogurt - (Q) zatrułem się.
Zatem, jedynym czynnikiem stale poprzedzającym zatrucie pokarmowe (Q) jest to, że (A) mam na sobie
niebieską koszulę w kratkę.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
38
Kanon jedynej ró
ż
nicy
(Mill uwa
ż
ał ten kanon za najwa
ż
niejszy)
Jeśli okoliczność O zachodzi, gdy występuje zjawisko Z i O nie zachodzi, gdy Z nie
występuje, przy czym wszystkie inne okoliczności zachodzą stale, to między O i Z
zachodzi związek przyczynowo-skutkowy.
Schemat kanonu jedynej różnicy:
jest A,B,C - jest Q
nie ma A, jest B,C - nie ma Q
Zatem, ilekroć jest A, to jest i Q
Oczywiście, rozumowanie bazujące na kanonie jedynej różnicy jest zawodne.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
39
Przykład trafnego/nietrafnego zastosowania kanonu jedynej różnicy
1. Zjadłem (A) pomidory, (B) ser pleśniowy, (C) saszimi - miałem wysypkę.
2. Zjadłem (B) ser pleśniowy, (C) saszimi - nie miałem wysypki.
Zatem, jedyną spośród A, B i C potrawą, na którą jestem uczulony są (A) pomidory.
Przykład nietrafnego zastosowania kanonu jedynej różnicy
Załóżmy, że na niezakłóconą pracę silnika ma wpływ jednoczesne funkcjonowanie trzech
elementów systemu: A, B i C.
1. Elementy A, B i C systemu działają - silnik pracuje.
2. Elementy B i C systemu działają, a element A systemu nie działa - silnik nie pracuje.
Zatem, jedynym czynnikiem mającym wpływ na działanie silnika jest element A systemu.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
40
Kanon zgodno
ś
ci i ró
ż
nicy
Kanon powstały z połączenia kanonu jedynej zgodności z kanonem jedynej różnicy.
Ma zdaniem Milla większą wartość niż każdy z tych dwóch kanonów zastosowany
oddzielnie. W praktyce stosuje się najpierw jeden kanon, potem drugi.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
41
Kanon zmian towarzysz
ą
cych
Jeśli w zaobserwowanych przypadkach odpowiednim zmianom A towarzyszą
odpowiednie zmiany B, gdy pozostałe czynniki nie ulegają zmianie, to między A i B
zachodzi związek przyczynowo-skutkowy.
Schemat kanonu jedynej różnicy:
jest A
1
,B,C - jest Q
1
jest A
2
,B,C - jest Q
2
jest A
3
,B,C - jest Q
3
jest A
4
,B,C - jest Q
4
jest A
5
,B,C - jest Q
5
Zatem, ilekroć w określony sposób zmienia się A,
to w określony sposób zmienia się Q.
Oczywiście, rozumowanie bazujące na kanonie zmian towarzyszących jest zawodne.
Kanon zmian towarzyszących bazuje na zasadzie jedyności przyczyn - dla każdego
zjawiska istnieje jego nieodłączna przyczyna.
(obecnie odrzucona - i bardzo słusznie)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
42
Przykłady trafnego zastosowania kanonu zmian towarzyszących
♠
Przekręcam gałką ściemniacza (A) - zwiększa się jasność świecenia żarówek w żyrandolu (Q).
♠
Przekręcam gałką grzejnika (A), inny sprzęt elektryczny pracuje bez zmian - zwiększa się
obserwowany na liczniku pobór prądu (Q).
Przykład nietrafnego zastosowania kanonu zmian towarzyszących
♠
Postępujące zmiany klimatyczne są wywołane rosnącą liczbą latających samolotów. (przykład
autentyczny - podsłuchany)
♠
Obserwowany od pewnego czasu stały spadek wagi swojego ciała Jan tłumaczy jakąś
nierozpoznaną jeszcze poważną chorobą i zaczyna podejrzewać, że ma nowotwór. Tymczasem,
stały spadek wagi jest wywołany rosnącym stresem w pracy, spowodowany wdrażaniem nowych
metod funkcjonowania firmy.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
43
Kanon reszt
(dzi
ś
uwa
ż
any za szczególnie kontrowersyjny)
Jeśli jakaś całość AB jest przyczyną całości ab i B jest przyczyną b, to A jest przyczyną
a.
Wadą tego rozumowania jest sztuczne (czysto spekulatywne) rozdzielanie całości na
części, które samodzielnie nie powinny być brane pod uwagę.
Jeśli
procesy górotwórcze, erozja spowodowana wiatrami, osadnictwo europejskie w
Ameryce, śluby pradziadków Johna, śluby dziadków Johna, ślub rodziców Johna, ...
☺, zepsucie się dachu, złe samopoczucie Johna i deszcz
spowodowały, że
John kupił ziemię, wybudował dom, robotnicy wadliwie wykonali dach, John nie był
w pracy z powodu złego samopoczucia, stracił życie (bo wchodził na drabinę
postawioną na śliskiej od wody skale, na której stał dom),
to jak tu przyporządkować oddzielne skutki do oddzielnie pojmowanych przyczyn?
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa
44
Analogia
(wyj
ą
tkowo inspiruj
ą
ce, a przez to twórcze rozumowanie)
to rozumowanie, w którym na zasadzie wspólności kilku cech dwóch lub więcej
przedmiotów domyślamy się wspólności innych cech tych przedmiotów. Analogia nie
jest ani rozumowaniem dedukcyjnym, ani redukcyjnym.
Konkretnie:
Jeśli przedmiot A jest podobny do przedmiotu B o tyle, że cechom a, b, c przedmiotu A
odpowiadają cechy a, b, c przedmiotu B, a ponadto przedmiot A posiada cechę d, to
przypuszczamy, że przedmiot B także posiada cechę d.
Przykłady
♣
Jeśli Paryż jest stolicą, wielkim miastem, posiadającym metro i biedne przedmieścia, to skoro
Londyn także jest stolicą, wielkim miastem, posiadającym metro, to Londyn prawdopodobnie
także posiada biedne przedmieścia.
♣
Jeśli sosna jest drzewem iglastym, które nie gubi igieł na zimę, to skoro modrzew też jest
drzewem iglastym, to modrzew także nie gubi igieł na zimę.
Wartość analogii polega nie na uzasadnianiu, bo do tego analogia się raczej nie nadaje, lecz na
roli inspirującej poszukiwania trafnych rozwiązań. Analogia nie uzasadnia tez, lecz naprowadza
na nowy trop, podpowiada gdzie szukać nowych rozwiązań.