Twierdzenie Talesa

background image

„Jak ty rodzicom, tak dzieci
tobie.”

Tales z Miletu

background image

TWIERDZENIE TALESA.

Tales z Miletu to jeden z najwybitniejszych
mędrców starożytności. Zasłynął nie tylko
jako filozof ale także jako matematyk i
astronom. Potrafił przewidywać zaćmienia
słońca, czym prawdopodobnie przyczynił się
do wyniku bitwy nad rzeką Halys.
Twierdzenie Talesa przedstawione w tej
prezentacji to potężne narzędzie w geometrii.
Tales dzięki swojej wiedzy już w VI w p. n. e.
potrafił obliczać wysokość m. in. piramid tylko
w oparciu o pomiar długości ich cienia…

background image

TALES Z MILETU

background image

ODCINKI

PROPORCJONALNE.

Co to oznacza, że dane odcinki są
proporcjonalne?

Oznacza

to,

że

jeśli

podzielimy przez siebie ich długości, to
otrzymamy tę samą liczbę.
PRZYKŁAD:

|AB|= 0,9
|BC| = 0,4
|AD| = 1,8
|DE| = 0,8

background image

ODCINKI

PROPORCJONALNE.

Jeżeli zachodzi powyższa proporcja, to o
odcinkach AD I DE mówimy, że
proporcjonalne
do odcinków AB i BC.

background image

TWIERDZENIE TALESA.

Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi

równoległymi, to odcinki wyznaczone przez

te proste na jednym ramieniu kąta są

proporcjonalne do odpowiednich odcinków

na drugim ramieniu kąta.

m ||
n

background image

PROPORCJE WYNIKAJĄCE Z

TWIERDZENIA TALESA.

background image

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Oblicz długość odcinka oznaczonego literą x.

Rozwiązujemy

proporcję

wynikającą

z

twierdzenia Talesa:

2,4 ∙ 3,5 = 1 ∙ x
x
= 8,4

background image

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Oblicz długość odcinka oznaczonego literą a.

Rozwiązujemy

proporcję

wynikającą

z

twierdzenia Talesa:

2 ∙ (2 + 6) = 2a
16 = 2a
a
= 8

background image

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3.
Oblicz długość odcinka oznaczonego literą y.

25 ∙ (y + 30) = 30 ∙ 70
25y + 750 = 2100
25y = 1350 | : 25
y = 54

background image

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 4.
Oblicz długość odcinka oznaczonego literą b.
W tym przypadku także „działa”
twierdzenie Talesa.
Układamy proporcję dla odpowiednich
odcinków.

12 ∙ 7 = b ∙ 6
6b = 84 | : 6
b = 14

background image

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 5.
Oblicz długość odcinka oznaczonego literą z.

8 ∙ (13 + z) = (9 + z) ∙ 10
104 + 8z = 90 + 10z
8z – 10z = 90 – 104
-2z = -14 | : (-2)
z = 7

background image

DOWÓD TWIERDZENIA
TALESA.

Dowód tego twierdzenia jest dość prosty.
Opiera się na dwóch faktach:
1.Pola trójkątów, które mają wspólną
podstawę i równe wysokości, są takie same.
2. Stosunek pól trójkątów, które mają taką
samą wysokość, jest równy stosunkowi ich
podstaw.

background image

DOWÓD TWIERDZENIA
TALESA.

Trójkąty ADB i
DEB mają
wspólną
wysokość h

1

.

Zgodnie z
podanymi
powyżej
faktami
zachodzi:

P

ΔADB

P

ΔDEB

=

b

d

k || l

background image

DOWÓD TWIERDZENIA
TALESA.

Trójkąty ADB i
DCB mają
wspólną
wysokość h

2

.

Analogicznie:

=

k || l

P

ΔADB

P

ΔDCB

a

c

background image

DOWÓD TWIERDZENIA
TALESA.

Godnie z
pierwszym
faktem
zachodzi:

k || l

P

ΔDEB

=

P

ΔDCB

Mamy zatem:

P

ΔAD

B

P

ΔDC

B

=

a

c

P

ΔDEB

=

P

ΔDCB

P

ΔAD

B

P

ΔDE

B

=

b

d

background image

DOWÓD TWIERDZENIA
TALESA.

Po uporządkowaniu dostajemy:

,

zachodzi więc równość:

co kończy dowód.

P

ΔAD

B

P

ΔDC

B

=

a

c

P

ΔAD

B

P

ΔDE

B

=

b

d

=

a

c

=

b

d

background image

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Maszt rzuca cień długości 164 m. Na maszcie
umieszczono anteny stacji nadawczych
telefonii komórkowej. Najniżej umieszczona
antena jest na wysokości 15m nad ziemią.
Cień anteny zaczyna się w odległości 12m od
masztu. Jak wysoki jest maszt?
Rozwiązanie najlepiej zacząć od wykonania
rysunku pomocniczego

background image

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

Zgodnie z twierdzeniem
Talesa zachodzi równość:

Rozwiązujemy proporcje:
15 ∙ 164 = x ∙ 12
12x = 2460 |: 12
x = 205 (m)
Odpowiedź: Maszt ma 205 m wysokości.

background image

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Przy drodze rosło samotne drzewo. Aby
poznać jego wysokość, uczniowie dokonali
odpowiednich

pomiarów.

Następnie,

korzystając ze schematu, obliczyli jego
wysokość. Przedstaw ich obliczenia.
Uzyskane przez gimnazjalistów pomiary:
długość cienia drzewa – 5,6 m
długość cienia Basi – 1,4 m
wzrost Basi – 1,7 m

background image

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.

Zgodnie

z

twierdzeniem Talesa
zachodzi proporcja:

Po

podstawieniu

danych otrzymujemy:

1,7 ∙ 5,6 = x ∙ 1,4
1,4x = 9,52 |: 1,4
x = 6,8
Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 6,8 m.


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ściąga matematyka twierdzenie talesa pojęcie
twierdzenie Talesa, Matematyka, Gimnazjum
TWIERDZENIE TALESA
gim TWIERDZENIE TALESA GIMNAZJUM
Twierdzenie Talesa, Nauka, Matematyka
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Praktyczne wykorzystanie Twierdzenia Talesa
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Trojkaty podobne wielokaty podobne twierdzenie Talesa zadania
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa mathedupl
Tales twierdzenie
Analiza Matematyczna Twierdzenia
Czas nie istnieje, to iluzja – twierdzą (niektórzy) fizycy cz 2
10 2009 Twierdzenia mod n

więcej podobnych podstron