TWIERDZENIE
TALESA
Zastosowanie w
matematyce i życiu
codziennym
Tales z
Miletu
Był on gr. filozofem i matematykiem.
Uważany był za jednego z siedmiu mędrców
czasów starożytnych i za ojca nauki
greckiej. Być może ze względu na jego
wielostronne zainteresowania. Jeden z
twórców jońskiej teorii filozofii przyrody.
Zapoczątkował poszukiwanie pierwszej
zasady w filozofii. Interesował się
astronomią i matematyką, dowodem na to
jest np.: przewidzenie przez Talesa
zaćmienia słońca, które miało miejsce w dn.
18 maja 585 roku.
Tales założył jońską szkołę filozofii przyrody,
był aktywny politycznie i gospodarczo
szczególnie w stosunku do Babilonu, Egiptu
i Fenicji. Zasady geometrii przyswoił sobie
będąc w Egipcie, tam obliczył wysokość
piramid za pomocą ich cienia.
Przypisuje mu się
następujące odkrycia:
• o przepołowieniu koła przez średnicę,
• dwa kąty przy podstawie trójkąta
równoramiennego są równe,
• jeżeli dwie linie proste przecinają się,
przeciwległe kąty są równe,
• kąt wpisany w półkole jest kątem
prostym
• trójkąt jest określony, jeżeli dana jest
jego podstawa i kąty przy podstawie.
Tales jako filozof
W zakresie filozofii Tales stworzył ogólną zasadę z której
powstała wszelka natura, nosiła ona miano „arche”. Wg
niego była to woda. Woda jest przyczyną wszelkiego
życia. Ziemia pływa na wodach oceanu. Woda w jego
kosmologii odgrywała rolę wiecznej substancji nadającej
żywotność wszelkiej materii.
Nie uznawał on bogów mitologicznych. W jego
racjonalistycznych koncepcjach nie było na to miejsca.
Interpretacja świata była świecka: sztormów morskich
nie powodował Posejdon, ale wiatry.
Platon wspomina anegdotę dotyczącą Talesa, który jakoby
poszedł wraz ze służącą obserwować w ciemności
gwiazdy. Nie spostrzegł on dołu, wpadł do niego i potłukł
się. Pomocnica zaś miała mu dogryźć, iż chciał zobaczyć,
co się dzieje na niebie, a nie dostrzegł, co znajduje się
pod jego nogami.
proporcje
Proporcja – równość dwóch stosunków
postaci
lub
W zapisie tym a i d nazywamy wyrazami
skrajnymi, b i c – środkowymi.
Własności proporcji
•Podstawowa własność
proporcji mówi,
że iloczyn wyrazów
skrajnych jest równy
iloczynowi wyrazów
środkowych.
Treść
Twierdzenia
Talesa
Jeżeli
ramiona kąta przec
ięte są prostymi
równoległymi,
to odcinki
wyznaczone przez
te proste na jednym
ramieniu kąta,
są proporcjonalne
do odpowiednich
odcinków na
drugim ramieniu
kąta.
A TAK WYGLĄDA RYSUNEK
OZNACZONY POJEDYNCZYMI
LITERAMI
• Jeżeli k || l,
to: a:b = c:d , a:c = b:d , a:
(a+b)=x:y, c:(c+d)=x:y
KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE
CZĘŚCI
Zaczynamy od narysowania
półprostej k zaczynającej się w
jednym z końców odcinka AB.
KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE
CZĘŚCI
Teraz cyrkiel rozstawiamy na dowolną
rozwartość. Stawiamy nóżkę cyrkla na
złączeniu odcinka AB i półprostej k (tutaj
punkt A) i zaznaczamy odległość na
półprostej k. Tak powstaje punkt M.
KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE
CZĘŚCI
Dalej, nie zmieniając rozwartości cyrkla, stawiamy nóżkę w
punkcie M i odmierzamy ponownie odległość na półprostej k.
Powstaje punk N. Całość powtarzamy tyle razy, na ile części
musimy podzielić odcinek. Nasz dzielimy na 3 części. Dwie już
mamy odmierzone, więc zaznaczamy jeszcze jedną stawiając
nóżkę cyrkla w punkcie N. Powstaje punkt L.
KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE
CZĘŚCI
Rysujemy prostą przechodzącą
przez ostatni zaznaczony punkt i
drugi koniec odcinka (tutaj punkty
L i B).
KONSTRUKCYJNYPODZIAŁ
ODCINKA NA RÓWNE
CZĘŚCI
Rysujemy proste równoległe do tej
pierwszej, przechodzące przez wyznaczone
wcześniej punkty (tutaj N i M)
Twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Talesa
Jeżeli ramiona kąta przecięte są
kilkoma prostymi i stosunki
długości odcinków na jednym
ramieniu kąta równe są
stosunkom długości
odpowiednich odcinków na
drugim ramieniu kąta, to te
proste są równoległe.
Odcinki
proporcjonalne
Jeżeli narysujemy kąt
np.: ostry i ramiona
tego kąta przetniemy
dwoma prostymi
równoległymi to
długości odcinków
wyznaczonych przez te
proste na jednym
ramieniu kata są
proporcjonalne do
długości odpowiednich
odcinków na drugim
ramieniu. A co to
znaczy proporcjonalne?
To znaczy, że zachodzi
proporcja pomiędzy ich
długościami ( AB do
BC, ma się tak jak AD
do DE).
Zastosowanie
twierdzenia Talesa
Twierdzenie (o
odcinku
łączącym
środki boków
trójkąta):
W każdym
trójkącie
odcinek łączący
środki dwóch
boków jest
równoległy do
trzeciego boku i
równy jego
połowie.
A’
B’
Zastosowanie
twierdzenia
Talesa
• Biorąc krótki przedmiot, np.
kij o znanej długości "A",
stawiamy go pionowo i
mierzymy jego cień "B", oraz
cień "C" rzucany przez
drzewo. Z twierdzenia szybko
ustalimy iż wysokość drzewa
"D" wyliczymy z proporcji:
D:A = C:B
• Możemy też doczekać chwili,
w której cień kija "B" będzie
równy jego wysokości.
Zgodnie z twierdzeniem
Talesa w tym samym czasie
cień "C" drzewa będzie równy
jego wysokości "D". Według
tego rozumowania
wystarczyło tylko, właśnie w
tym momencie, zmierzyć
długość cienia na odcinku "C"
by poznać wysokość drzewa.
Jak zmierzyć
wysokość drzewa nie
wchodząc na nie?
Zastosowanie
twierdzenia
Talesa
Pomiar odległości
statku od brzegu
Nieco inne
rozumowanie pozwala
obliczyć odległość
statku znajdującego
się na morzu. Z
wniosku z twierdzenia
Talesa mamy: (|A′A|
+x):|B′A′| = x:|BA|
skąd x=|A′A|·|BA|:(|B′A
′|- |BA|).
Mierząc długości
odcinków
występujących w tej
równości
wyznaczamy x.
Linia brzegu
Wykonała :
Martyna Gawryś
uczennica klasy III
Publicznego Gimnazjum
w Klwowie